ИЗВЕСТИЯ РАИ. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2007, том 71, № 10, с. 1388-1391
УДК 537.226
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕРМОДИНАМИКЕ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКОВ
© 2007 г. Б. М. Даринский1, А. А. Дьяченко2, А. П. Лазарев2
E-mail: darinskii@math.vsu.ru; lazarev@phys.vsu.ru
Изложен топологический метод исследования фазовых переходов в сегнетоэлектрических кристаллах, позволяющий наглядно представить закономерности изменения различных макроскопических характеристик кристалла в условиях наличия каскада фазовых переходов.
ТЕОРИЯ МОРСА ОБ ИНДЕКСАХ ОСОБЫХ ТОЧЕК ОТОБРАЖЕНИЯ
Зависимость термодинамического потенциала Ф от компонент векторного параметра порядка р (1 = 1, 2, 3) представляет собой отображение трехмерного пространства параметра порядка в одномерное пространство значений термодинамического потенциала. Отображения такого типа -предмет исследования в ряде разделов математики, прежде всего геометрии и топологии [1-5].
Функциональной зависимостью Ф = Ф(рг) в пространстве параметра порядка задается также векторное поле градиента этого термодинамического потенциала. Последнее имеет физический смысл обобщенной силы, удерживающей в равновесии данное значение параметра порядка. Для сегнето-электрического кристалла в качестве обобщенной силы выступает напряженность электрического поля е. Точка общего положения в пространстве параметра порядка характеризуется тем, что вектор УгФ Ф 0. Особой точкой отображения Р , ^ Ф называется такая точка, в которой выполняется условие УгФ = 0. Вещество с таким параметром порядка в отсутствие электрического поля будет находиться в равновесии, которое может быть устойчивым или неустойчивым, в зависимости от строения векторного поля в окрестности особой точки. Важным классом особых точек, в котором, как правило, находятся реальные физические системы, является класс изолированных особых точек, не имеющих других особых точек в малой окрестности. Термодинамический потенциал в окрестности такой особой точки представляют в виде квадратичной формы:
Ф = ФУхХу >
где Фу = УгУ,Ф называется матрицей Гессе. В формуле значения вторых производных берутся в особой точке, а координаты х , отсчитываются от положения особой точки. Если все собственные зна-
1 Воронежский государственный технический университет.
2 Воронежский государственный университет.
чения этой матрицы отличны от нуля, то такую особую точку называют невырожденной, причем невырожденная особая точка всегда изолированная [1].
Невырожденные особые точки классифицируются по количеству положительных и отрицательных собственных значений матрицы Гессе. Если все три собственных значения положительны, то такая особая точка является минимумом потенциала Ф, а кристалл с соответствующим значением параметра порядка находится в локально устойчивом равновесном состоянии, которое будет глобально устойчивым, если минимум Ф абсолютный. Последнее соответствует стабильному состоянию вещества. В случае, если минимум Ф не является глобальным, фазу называют метастабильной.
Особая точка с тремя отрицательными значениями собственных значений матрицы Гессе является точкой максимума потенциала Ф, который также может быть локальным и абсолютным. Если какое-либо внешнее воздействие выведет систему из этого состояния, она не вернется обратно, независимо от направления первоначального смещения.
Два оставшихся класса особых точек, для которых характерно наличие положительных и отрицательных собственных значений одновременно, принадлежат к классам седловых точек. Эти состояния также неустойчивы. Седлом первого типа называют особую точку с одним отрицательным собственным значением, седло второго типа - точка с двумя отрицательными собственными значениями.
Для невырожденной особой точки введена важная топологическая характеристика - ее индекс 1. Индекс 1 принимает значения -1, знак индекса совпадает со знаком произведения собственных значений матрицы Гессе. В случае трехмерного пространства параметра порядка 1 = 1 для минимума или седла второго типа и 1 = -1 для седла первого типа или максимума.
Особую точку называют вырожденной, если ее матрица Гессе имеет хотя бы одно нулевое собственное значение. Классификация таких точек проводится по количеству нулевых собственных значений от 1 до 3. Всем вырожденным особым точкам приписывается индекс, равный нулю.
Наряду с изложенным выше понятием индекса особой точки в теории Морса [6] о топологическом строении гладкого многообразия дается определение еще одной характеристики особой точки, а именно индекса Морса i, которым называется число отрицательных собственных значений.
В случае отображения я3 ^ я1 индекс Морса может принимать значения 0 (точка минимума), 1 (седловая точка первого типа), 2 (седловая точка второго типа), 3 (точка максимума). Для данной работы наиболее важный результат теории Морса - вывод о том, что всякая функция, имеющая конечное число невырожденных особых точек, эквивалентна некоторому клеточному комплексу, клетки которого находятся в однозначном соответствии с особыми точками этой функции, причем размерность каждой клетки равна индексу Морса соответствующей особой точки. Понятие клетки - одно из основных топологических понятий. Не вдаваясь в его подробное математическое разъяснение, укажем конкретные примеры, которые будут встречаться в настоящей работе. Точка в пространстве аргумента - это клетка нулевой размерности, линия - размерности единица, поверхность - размерности два и т.д.
Топологические методы исследования успешно использовались для решения ряда задач. В частности, в теории акустики кристаллов они позволили определить строение акустического поля вблизи акустических осей, имеющих разные топологические индексы [7, 8], проанализировать реакции распада акустических осей [9, 10], возможные направления продольных нормалей [11, 12] и акустических осей [13, 14] в кристаллах различных синго-ний.
Цель настоящей работы - применение изложенных выше топологических представлений для решения задач, возникающих при исследовании фазовых переходов в кристаллах.
КЛЕТОЧНЫЕ КОМПЛЕКСЫ СИСТЕМЫ ОСОБЫХ ТОЧЕК
Отображение Ф = Ф(рг) обладает следующими свойствами, которые диктуются физическими соображениями:
а) при достаточно высокой температуре потенциал Ф имеет минимальное значение в точке Р, = 0. Другие особые точки отсутствуют. Клеточный комплекс, соответствующий такой зависимости, состоит из одной клетки нулевой размерности, т.е. точки;
б) при достаточно больших значениях параметра порядка термодинамический потенциал Ф = = Ф(рг) монотонно возрастает по степенному закону, поэтому в этой области особые точки отсутствуют.
Указанные свойства термодинамического потенциала позволяют применить теорию Морса к исследованию фазовых переходов в кристаллах и провести построение клеточных комплексов в каждом конкретном случае. Для сегнетоэлектри-ческих кристаллов клеточный комплекс системы особых точек строится в трехмерном пространстве компонент вектора поляризации кристалла. В этом пространстве могут быть следующие клетки:
точка - клетка нулевой размерности, имеющая индекс 1 = 1, индекс Морса I = 0. Она соответствует особой точке термодинамического потенциала, в которой достигается его минимум, необязательно глобальный;
линия - клетка размерности 1, для которой 1 = -1, I = 1 соответствует седловой точке первого типа;
поверхность - клетка размерности 2, для которой 1 = 1, I = 2, соответствует седловой точке второго типа;
объемная область - клетка размерности 3, для которой 1 = -1, I = 3, соответствует максимуму термодинамического потенциала, локального в силу свойства (•).
Полное число клеток в комплексе совпадает с числом вещественных решений уравнения равновесия. Поскольку термодинамический потенциал Ф = Ф(рг) принимается в виде полинома, условия равновесия представляются в виде системы алгеб-рагических уравнений. Максимально возможное число решений определяет строение наиболее сложного клеточного комплекса.
Описание фазового перехода с использованием развитых представлений происходит следующим образом. Равновесное состояние кристалла изображается на клеточном комплексе точкой, такой, что соответствующая ей особая точка в пространстве параметра порядка дает абсолютный минимум термодинамического потенциала. При изменении коэффициентов термодинамического потенциала может происходить смена типа особой точки в результате зарождения новых особых точек. Возможные перестройки комплекса изображены на рис. 1.
Другой вариант изменения клеточного комплекса, важный для физики фазовых переходов, представляет собой зарождение новой точки, что соответствует появлению метастабильной фазы кристалла (рис. 2).
1390
ДАРИНСКИИ и др.
Рис. 1. Перестройки клеточного комплекса при фазовых переходах второго рода в кристаллах.
X
Рис. 2. Перестройки клеточного комплекса при фазовых переходах первого рода в кристаллах.
Рис. 3. Перестройки клеточного комплекса при фазовом переходе первого рода в кубических кристаллах.
ОПИСАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В КРИСТАЛЛАХ КУБИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
Ниже рассмотрены термодинамические потенциалы Ф, представляемые полиномом шестой степени компонент Р , вектора поляризации:
Рис. 4. Перестройки клеточного комплекса при фазовых переходах первого рода в титанате бария.
А (Т - Т 0) 2 4 Ф = v 0 - р2 + В1Р +
+в 2 ( р\+р2+р4 ) + с р6 + + с2 р2 (р4+р4+р4 ) + сз р1 р2 р3,
р2 = р1
р2+рЗ.
При высоких температурах потенциал Ф имеет только один минимум, поэтому его клеточный комплекс состоит из одной точки. В случае фазового перехода второго рода при уменьшении тем-
пературы этот минимум сменяется на максимум, наряду с которым появляются минимумы с неравными нулю векторами спонтанной поляризации. Эти метаморфозы изображены на двух последних фрагментах рис. 1. В случае, когда коэффициент в2 < 0, реализуется переход, представленный на нижнем фрагменте рис. 1.
Отметим, что если термодинамический потенциал представляется полиномом четвертой степени, то возможны только указанные переходы, что следует из равенства числа клеток комплекса числу корней системы уравнений равновесия для компонент вектора спонтанной пол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.