ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2007, том 33, № 6, с. 526-533
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.9
ТРАНСФОРМАЦИЯ БМЗ-ВОЛН В АЛЬФВЕНОВСКИЕ В ГИРОТРОПНОЙ ПРОДОЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
© 2007 г. Н. Г. Мазур, Е. Н. Федоров, В. А. Пилипенко*
Институт Физики Земли РАН, Москва, Россия *Институт космических исследований РАН, Москва, Россия Поступила в редакцию 08.07.2006 г. Окончательный вариант получен 22.09.2006 г.
Рассмотрена модель трансформации бегущих БМЗ-волн в альфвеновские в продольно-неоднородной гиротропной плазме в магнитном поле с незамкнутыми силовыми линиями. Получена и исследована система уравнений для амплитуд взаимодействующих мод в приближении ВКБ. В области синхронизации, где волновые векторы двух мод сближаются, происходит существенная перекачка энергии БМЗ-колебаний в альфвеновские волны. При этом волны согласуются по фазе таким образом, что их разность оказывается наиболее благоприятной для трансформации. Трансформация имеет резонансный характер, что может объяснить появление квази-монохроматических сигналов в магнитосферах Земли и планет-гигантов.
PACS: 94.30.cq
1. ВВЕДЕНИЕ
Механизм резонансной трансформации быстрых магнитозвуковых (БМЗ) колебаний в альфвеновские волны используется в термоядерных установках для нагрева плазмы [1, 2]. Этот же механизм применяется для интерпретации появления узкополосных ультра-низкочастотных (УНЧ) сигналов в магнитосфере Земли [3-5]. В стандартной модели альфвеновского резонанса генерация альфвеновских колебаний происходит в замкнутой плазменной ловушке в результате резонансной конверсии БМЗ-возмущений в поперечно-неоднородной плазме на силовой оболочке, где частота собственных альфвеновских колебаний юА совпадает с частотой БМЗ-возмущений, т.е. ю = юА. В такой системе область альфвеновского резонанса и область прозрачности для БМЗ-возмущений пространственно разнесены, поэтому конверсия мод имеет характер подба-рьерного просачивания. Возбуждаемые альфвеновские колебания имеют вид стоячих волн вдоль замкнутых силовых линий, ограниченных отражающими торцами (проводящими ионосферами). Однако, как отмечено в [6], трансформация распространяющихся БМЗ-волн в альфвеновские может происходить и в плазме без торцов, т.е. при ю > юА, благодаря эффекту гиротропии (~5 = ю/ю,, ю, = Б02в/т ,с - ионная гирочастота) и продольной неоднородности. Эффективное взаимодействие этих мод происходит в области синхронизации, где волновые векторы обеих мод сближаются. Однако эффективность такой трансформации в [6] не оценивалась, за исключением случая слабой синхронизации мод, когда коэффициент
трансформации оказывается экспоненциально малым.
В данной работе мы проведем полное рассмотрение взаимодействия бегущих БМЗ и альфвеновских волн в продольно-неоднородной гиротропной плазме и рассчитаем эффективность трансформации мод для модельного профиля плазмы.
2. МОДЕЛЬ
Рассмотрим следующую модель, схематично показанную на рис. 1. Холодная плазма находится в прямом однородном магнитном поле В0. Неоднородность альфвеновской скорости УА(£) = = Б0(4пр)-1/2 вдоль В0 создается неоднородным распределением плотности плазмы р(^) вдоль В0. На эту плазменную систему падают БМЗ-волны с частотой ю и поперечной компонентой волнового вектора кх = к±. При распространении БМЗ-волны в неоднородной плазме из-за рефракции ее волновой вектор поворачивается, что проявляется в изменении его продольной компоненты к(т). Предполагается, что частота волны мала по сравнению с ионной гирочастотой ю,, т.е. 5 = ю/ю, < 1. В этом случае можно использовать приближенные выражения для диэлектрической проницаемости £ и гиротропии g плазмы
1 , 2,2 2,-1 £ = 1 + юрг(юг - ю )
g = ююр1 ю,
1 2 2 -1 (ю, - ю )
2 -2 ■с Vл ,
5с2 УА2.
Эффекты слабой гиротропии плазмы становятся существенными при синхронизации мод и будут учтены, т.к. они определяют взаимодействие между БМЗ и альфвеновской модами.
3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ АЛЬФВЕНОВСКОЙ И БМЗ-ВОЛН
Система уравнений для амплитуд альфвеновской (/А) и БМЗ (/) волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля, в приближении ВКБ может быть представлена в виде [6]
dfAIdz = ikAfA - Cfs, dfsldz = iksfs + CfA.
(1)
(2)
,2 Ю « I 2,
кА = -7-Т(1 ^ + У ),
уА 2
2 ,2 _
= (1+^~2), уА 2
где у - нормированная гиротропия
Т 8 {кхе1 ® куА
Коэффициент зацепления между модами в уравнениях (1)
C=
k a + k s d yldz
4 JkAAks 1 + y 2
(3)
определяется продольной неоднородностью нормированной гиротропии ^dy/dz ^ dp/dz. Из системы (1) вытекает обобщенное уравнение Риккати для отношения амплитуд R = fA/fS
dRIdz = i( kA - kS) R - C(1+ R ).
(4)
Уравнения (1) и (4) получены в [6]. Мы используем их здесь в форме, отличающейся лишь обозначениями и направлением распространения волн. Для облегчения сравнения с [6] приведем соотношения, устанавливающие соответствие обозначений (в правых частях - переменные из статьи [6]),
/в = /1, /а = /2, кв = ® С-1,
kA = N || 2 ю c-, kx = N±юс_1,
y = q
iR = p C =
c 4JNN2 q2+1
grad p(z), y(z)
область синхронизации
Во
л
kx ~ kA
квазипродольное распространение
kX << kA
В рассматриваемом случае низких частот ю <§ ® продольные волновые числа альфвеновской (А) и БМЗ (В) волн определяются выражениями
Рис. 1. Схематическая иллюстрация рассмотренной модели с продольной неоднородностью плотности плазмы р(г) и гиротропии 8(7). Стрелками обозначены волновые векторы БМЗ (В) и альфвеновской (А) волн.
При исследовании довольно громоздких выражений (2) и (3) удобно ввести безразмерную переменную к(г) = ®(кхУА)-1, зависящую от г через УА(г). Выражения для волновых чисел кА и кв через к имеют вид
2
kA 2 1 I „2 4.
— = к - 2(1 - л/1 +45 к ),
x 2
^ = к2-2 (1 ^ л/ТТ^52К4).
x
(5)
Заметим, что, в то время как альфвеновская волна распространяется всюду, БМЗ-волна имеет
точки поворота: кВ < 0, если к(г)2 < (1 - 52)-1.
Нормированная разность волновых чисел представляется в виде
D(к; 5) = k-A-k :
н
24
45 к
1
2к2 - 1 + 2к- 52 -
:. (6)
к
На рис. 2 показано семейство графиков функции Б(к; 5) для нескольких значений 5. Эта зависимость немонотонна - волновые числа сильно разнятся (Б ~ 1) при малых и больших к и сближаются (Б < 1) при промежуточных к.
Из формул (5) видно, что при к > 1 (и 5 <§ 1) кА/кх ~ кв /кх ~ к > 1. Таким образом, величина к характеризует отклонение волновых векторов от направления внешнего магнитного поля В0: пре-
S
X
z
2
x
D 100
10-
10-
103 к
Приближенные формулы (7) и (8) позволяют оценить величину коэффициентов уравнения (10) в области квазипродольного распространения
а- 1 a,Jg "ч y 02 G,
C - yоG'(s)(1+ y2G2)л
(12)
где A = kxL к о1 = к] LVt
0 ш
-i
0 - у А
Точные выражения (11) для коэффициентов уравнения (10) зависят, кроме А и у0, еще и от малого параметра ц = УА0(Ью1)~1, смысл которого разъяснен ниже. Приведем их в явном виде
А
1 A,JG-l+ Y2 G х
Рис. 2. Семейство графиков функции П(к; 5) для нескольких значений 5, обозначенных около кривых.
дельный случай к > 1 отвечает квазипродольному распространению. В этом случае выражение (6) значительно упрощается:
D (к; 8)«( 2 к)-У4 82к4
+ 1.
(7)
C
1 ¿Y/dz
21 + y 2'
(Y = 2 8к2).
(8)
Пусть распределение плотности плазмы рф характеризуется величиной р0 и линейным масштабом Ь
Р( z) = Ро G (z/L),
(9)
Va = VA о G
-1/2
к = к0 G
1/2
Y = Y оG,
где Va0 = B0(4np0)-1/2, к0 = ^VW"1 и Y0 = 28ко. В масштабе s = z/L уравнение (4) принимает вид
<dR = iАR - C( 1 + R2),
ds
(10)
где
А(s) = (кА - ks)L = kxLD^(s)), C(s) = CL. (11)
1 + 1 22
2 -2 -1 1 1- 8 - ко G -4 к
1 -2 -1 о G
1/2
(13)
C =
Ил + hs
l-YоG'(s)(1+ YоG )
2 -1
4 hAhs
где (знак минус относится к hA, знак плюс - к hs)
hA? hS =
Эта функция имеет минимум minD = 81/2 при к = ктЬ = (28)-1/2, когда происходит максимально возможное сближение волновых чисел кА и ks. В этом случае следует ожидать наиболее эффективного взаимодействия мод. Выражение для коэффициента связи (3) также становится проще при к > 1, когда кА - ks,
'1-! к о-2 G 1 (1 + J1+ Y о2 G2)
1/2
В (13) входят включающие малый параметр ц величины
-2 .. ч 1/2 1/2 ко = (2 А / Y о) Ц ,
где функция О и ее производная G - величины порядка единицы. Изменение величин УА(и), к(?) и У(е) определяется той же функцией О^/Ь)
52 = (А Уо/2 )ц. (14)
Смысл малого параметра ц состоит в следующем. Условием применимости приближения ВКБ
является неравенство юЬУА0 > 1. Это условие необходимо совместить с противоположным ограничением частоты ю < ю,. Диапазон частот
УА 0 Ь 1 < ю < ю,,
в котором одновременно выполняются оба эти условия, существует только в том случае, если
Уа 0 (Ь ю 1) 1 = ц < 1.
Таким образом, малость параметра ц лежит в основе самой возможности постановки исследуемой задачи.
Для аналитических оценок достаточно рассматривать уравнение (10) с простыми выражениями (13) для его коэффициентов, которые пригодны в области квазипродольного распространения, где преимущественно и происходит трансформация БМЗ в альфвеновскую волну. Для численных же расчетов мы используем точное (в рамках приближения ВКБ) уравнение с коэффициентами (13), что позволяет контролировать применимость приближения ВКБ при сни-
х
жении частоты или при значительных вариациях
функции G(s), а также условие прозрачности для
2
БМЗ-моды кв > 0.
Оба параметра у0 и А зависят как от ю, так и от кх. При изучении зависимости решения уравнения (10) от параметров волны удобно ввести нормированные частоту О и поперечное волновое число К при помощи соотношений
2
Y о = 2
(О (О
(k 2 V2
'KxyA0
= 2 Q3
A = KLV
A0
-1
ю = K Q ,
из которых получаются выражения
L ^1/2
Q = ю
(iVA 0^
K = k
L3 V
1/4
A0
(i
Формулы (14) для малых величин к0 и 5, входящих в точные выражения коэффициентов уравнения Риккати (10), приобретают вид
-2 „-2 „2 1/2 Ко = Q K | ,
52 = Q2|.
Уравнению (10) эквивалентна следующая система уравнений для модуля г и фазы ф отношения между амплитудами альфвеновской и БМЗ-волн R(s) = Г5)ехр^'ф(5)]:
dr = -C( 1
r )cos ф,
^ = A + C (r 1 - r) sin ф.
(15)
(16)
G 1.0
0
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 3. Модельный профиль плотности плазмы вдоль
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.