ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 631-640
УДК 519.634
ТРАНСФОРМАЦИЯ СОЛИТОНОВ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА В МОДЕЛЯХ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Исследована динамика солитонов уравнения синус-Гордона при наличии внешней силы, затухания и пространственной модуляции периодического потенциала. С помощью численных методов показана возможность генерации локализованных нелинейных волн солитонного и бризерного типа. Изучена их эволюция и найдены зависимости амплитуды и частоты колебаний от параметров системы. Библ. 50. Фиг. 7.
Ключевые слова: кинк, бризер, солитон, уравнение синус-Гордона, пространственная модуляция периодического потенциала.
В последние годы динамика солитонов привлекает все большее внимание исследователей (см. [1]), так как с ее помощью можно описать большое количество физических приложений (см. [2]—[4]). Например, солитоны уравнения синус-Гордона (УСГ) в физике твердого тела описывают доменные границы в магнетиках, дислокации в кристаллах, флюксоны в джозефсонов-ских контактах и т.д.
С точки зрения построения моделей, описывающих реальные физические процессы, интерес представляет вопрос изучения влияния различного вида возмущений на динамику и структуру солитонов УСГ. Например, много работ посвящено изучению влияния внешней силы, зависящей от координат и времени, и пространственной модуляции периодического потенциала (или ПМПП) (см., например, [2]—[9]). Если исследование влияния малых возмущений на решения УСГ можно проводить с помощью хорошо разработанной теории возмущений для солитонов [3]—[6], [9]—[10], то влияние больших возмущений, в общем случае можно проводить только с помощью численных методов (см. [6], [11]—[14]).
Рассмотрим модифицированное уравнение синус-Гордона, появляющееся, например, при описании динамики доменных границ в многослойных ферромагнетиках, следующего вида
Здесь A(x) и K(x) — некоторые функции, характеризующие пространственную модуляцию параметров, h — параметр внешней силы, а — константа затухания. Для случая произвольных изменений параметров K и A решение уравнения (1) можно получить только с помощью численных методов.
В случае A(x) = K(x) = 1, h = а = 0 уравнение (1) переходит в известное уравнение синус-Гордона, которое имеет решение в виде кинка:
DOI: 10.7868/S0044466915040031
ВВЕДЕНИЕ
(см. [15]):
(1)
0(x,t) = 2arctg(exp[A(v0)(x - v0t)]),
(2)
где A(v) = 1/V1 - v2, v0 — непрерывный параметр 0 < v0 < 1, определяющий скорость движения
кинка. Есть также пространственно локализованные решения УСГ — покоящийся бризер:
( _ ^
2 •
ю sin ю?
^breather
(х, t, ю) = 2arct g
4\-r2
(3)
U
(4)
ю еИ (1 - ю2 (х - х0))
где ю — частота колебаний бризера, х0 — координата его центра и солитонное решение вида
О (х ' ю) - 2агС1 е
°ктк-апйктк (х,2агегg
0 ю еИ (Дуо)(х - хо))у
Аналитическими и численными методами подробно изучена динамика солитонов УСГ для случая А(х) = 1, к = а = 0 и "точечной ПМПП" ступенчатого вида К(х) = 1 - е8(х), где 8(х) — дельта-функция Дирака, 0 < е <1 (см. [3]—[6], [16]). Показано, что в случае приближения "недефор-мируемого кинка" ПМПП действует как потенциал. При соответствующем знаке константы е (е > 0), она действует на кинк как притягивающий потенциал, поэтому солитоны УСГ могут быть локализованы и излучать. Учитывалась и возможность возбуждения локализованной моды при рассеянии кинка, существенно влияющая на его динамику. В [17]—[19] численно и аналитически показана возможность резонансного взаимодействия кинка с возбуждаемой локализованной модой, при взаимодействии с протяженной ПМПП. Анализ структуры и свойств, возбуждаемых на одно- и двумерной ПМПП, локализованных нелинейных волн, проведен численно в [20], [21]. Для случая двух одинаковых ПМПП в [22]—[24] показана возможность сильных коллективных эффектов и зарождения четырехкинковых состояний в системе. Изучались также процессы прохождения, захвата и отражения пары кинков при наличии ПМПП (см., например, [25], [26]).
В случае А(х) и К (х) изучена динамика кинка, с помощью теории возмущений и численных методов, при наличии точечной ПМПП ступенчатого вида и использующего дельта-функцию Дирака протяженной ПМПП прямоугольного вида [15], [27], [28]. В настоящей работе проведено исследование динамики кинка с учетом возможности возбуждения на области ПМПП высокоамплитудных нелинейных локализованных волн при наличии внешнего поля и затухания.
1. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассмотрим кинк вида (2), движущийся с постоянной скоростью и0 и пересекающий область ПМПП. Пространственную модуляцию параметров А (х) и К (х) уравнения (1) будем моделировать, используя функцию гауссовского типа
К(х) = 1 + ДК • еИ -2(4 (х - х0)/V), (5а)
А(х) = 1 + ДА • еИ-2(4 (х - х0)/V), (5б)
где V — параметр, характеризующий ширину ПМПП, х0 — положение ее центра, АК = К — 1, К— значение параметра в точке х0, АА = А — 1, А — значение параметра в точке х0. Граничные условия задавались в виде
0(-да, г) = 0, 0(+да, г) = п. (6)
Точные решения (1) могут быть получены только в частных случаях, а аналитические методы (например, теория возмущений), как правило, работают лишь в ограниченных областях изменения параметров системы. На сегодняшний день разработано достаточно большое количество методов численного решения подобных уравнений. Например, в [29] используется компактная конечно-разностная схема и DIRKN-метод. Компактность первой схемы заключается в том, что ее рекуррентная формула для вычисления нового временного слоя содержит не более девяти точек шаблона, включая центральный узел, в окрестности которого аппроксимируются производные. Под DIRKN-методом понимается класс "диагонально-неявных методов Рунге-Кутты-Нистрё-ма" (подробнее об этих методах можно найти, например, в [30]). Авторы [31] предлагают для решения УСГ численный метод, использующий коллокации и радиально-базисные функции. В [32] используется метод линий. В ряде работ (см. [26], [33]—[35]) используются спектральный и псевдоспектральный методы Фурье для решения уравнений типа УСГ. В [36] представлена "бессеточная" схема с использованием "мультиквадратной" квазиинтерполяции. Данный метод
не требует решения крупномасштабных систем линейных алгебраических уравнений. В других численных работах (см. [37], [38]) используются различные варианты методов, основанные на схеме "предиктор-корректор". В работе [39] используется метод, основанный на воспроизводящих ядрах в гильбертовых пространствах.
В настоящей статье для численного решения уравнения (1) воспользуемся методом конечных разностей (см. [40]—[42]). Известно много вариантов данного метода, которые можно условно поделить на две группы "явных" и "неявных" методов. Выберем трехслойную явную схему решения, с аппроксимацией производных на пятиточечном шаблоне типа "крест", который применялся ранее для более простых модификаций УСГ (см., например, [22], [23]). Аппроксимация исходного дифференциального уравнения на данном шаблоне позволяет получить конечно-разностное уравнение в виде
A (x )9k+1 - 29k + 9U + А (x/+1) - А (x) 8f+1 -9 ( ') Ax2 2 Ax 2 Ax
tf+1 - 29k + 9k-1 f (■xi) . "k+1 -1
(7)
-sin29k = h sin 9k + a-
t2 2 ' ' 2t
здесь Ax — шаг по координате, т — шаг по времени. Данная численная схема является схемой второго порядка аппроксимации по Ax и т, и обладает условной устойчивостью (т/Ax) < 1/2.
В нашем случае схема является "одношаговой", использует сравнительно небольшое количество обращений к памяти и обладает потенциалом для оптимизации вычислительного алгоритма. Кроме того, используемая схема удобна тем, что с минимальными изменениями может быть адаптирована как для других модификаций одномерного уравнения типа (1), так и для многомерных вариантов УСГ.
Использование граничных условий (6) подразумевает задание жестких значений на краях сетки. Как показывает численное моделирование по итерационной схеме (7), происходит эффект отражения волн от края сетки, что вносит искажения в полученные результаты при длительном моделировании процесса. В подобных случаях (см., например, [43], [44]) обычно используется два подхода. Первый из них предполагает использование большой сетки по координате и ведение процесса исследования в ее центре до определенного критического момента времени, за которое излученные волны успеют дойти до границ сетки и после отражения, вернуться к центру. Идея второго способа заключается в "поглощении" волн в приграничной области, что более предпочтительно с точки зрения экономии вычислительных ресурсов. На сегодняшний день разработано много способов такого поглощения (см. [45]—[48]), в том числе, и для волновых уравнений второго порядка (см. [49]). Поведение волн вблизи границы, как правило, предлагается описывать специальными уравнениями (например, для реализации условий излучения Зоммерфельда см. [45]). Однако для уравнения (1) существует более простой способ, при котором диссипатив-ный параметр а задается в виде кусочно-постоянной функции
{1, x < xleft + Ddiss, x > xright — Ddiss,
(8)
a0, xleft + Ddiss < x < xright — Ddiss,
где Ddiss — ширина области поглощения (как правило, составляет 3—5% от ширины всей моделируемой области), а0 — значение диссипативного параметра в основной области. Использование (8) приводит к практически полному затуханию всех волн, дошедших до краев сетки.
Для оценки погрешности метода проведено сравнение результатов вычислений 0(x;-, tn) для фиксированных xt, при изменении tk, используя уравнение (1) с его точным решением (2) (при A(x) = K (x) = 1, h = а = 0). Абсолютную погрешность можно рассчитать по формуле
А0 = |0*j - 2arctg[ exp((x, - vtk)/А(^)]|, (9)
а приведенную погрешность можно рассчитать по формуле
е = Д0/Х„, (10)
где Xn — нормирующее значение, определяется равным верхнему пределу измерений, в нашем случае Xn = п. Численное моделирование показало, что с течением времени идет накапливание погрешности, но скорость ее роста достаточно медленная. Даже при больших значениях параметра t = 500 погрешность составляет s « 0.0125%.
2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КИНКА С ПРИМЕСЬЮ
Далее, вначале рассмотрим движе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.