ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 5, с. 704-709
УДК 551.466.8
ТРАНСПОРТНЫЕ СВОЙСТВА ЗАХВАЧЕННЫХ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ВОЛН ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ
© 2007 г. А. А. Слепышев
Морской гидрофизический институт НАН Украины 99011 г. Севастополь, ул. Капитанская, 2 E-mail: math@msusevastopol.net Поступила в редакцию 25.04.2006 г., после доработки 08.12.2006 г.
В приближении Буссинеска рассматриваются захваченные наклонным дном топографические волны при учете турбулентной вязкости и диффузии. Определяются средние течения, индуцированные волной за счет нелинейности. Коэффициенты турбулентного обмена выражаются через плотность турбулентной энергии по соотношениям полуэмпирической теории турбулентности. Уравнение для погранслойных волновых решений и уравнение баланса турбулентной энергии решаются совместно, что дало возможность определить вертикальное распределение плотности турбулентной энергии в области данной волны. В диффузионном приближении находится вертикальное распределение концентрации наносов, взвешенных волной при превышении тангенциальными напряжениями у дна критических значений, соответствующих началу движения наносов.
Захваченные наклонным дном топографические волны имеют максимум энергии у дна [1, 2] и поэтому оказывают активное воздействие на дно, генерируя турбулентность в придонном слое, осуществляя взвешивание и перенос донного осадочного материала. В настоящей работе определяются средние течения, индуцированные захваченной топографической волной за счет нелинейности при взаимодействии с турбулентностью придонного слоя. Исходные нелинейные уравнения гидродинамики для волновых возмущений при учете турбулентной вязкости и диффузии решаются методом возмущений: в первом порядке малости по амплитуде волны находятся решения линейного приближения и дисперсионное соотношение, во втором порядке находятся средние течения, индуцированные волной после осреднения уравнений движения по периоду волны. Коэффициенты турбулентного обмена выражаются через плотность турбулентной энергии по гипотезе замыкания полуэмпирической теории турбулентности. Уравнения для погранслойных волновых решений и уравнение баланса турбулентной энергии решаются совместно, что дало возможность определить плотность турбулентной энергии, генерируемой волной, и характерный масштаб турбулентности. В диффузионном приближении находится вертикальное распределение концентрации наносов, взвешенных волной при превышении тангенциальными напряжениями у дна критических значений, соответствующих началу движения наносов.
Уравнения гидродинамики для волновых возмущений запишем в системе координат, плоскость XOY которой совпадает с плоским наклонным дном, ось OX параллельна изобатам и составляет с западным направлением угол в, ось OY направлена вверх по склону, ось OZ совпадает с направлением внешней нормали. Положительному значению угла в соответствует поворот параллели к оси OX против часовой стрелки. Вектор угловой скорости вращения Земли имеет проекции на оси OZ, OY и OX соответственно: Qz = Q( sin ф cos у - cos ф cos в sin у), Q = Q( cos ф cos у cos в + sin ф sin у) и Qx = = Ц cos ф sin в , где у - наклон дна, ф - широта, Ц = 7.5 х 10-5 с-1 - угловая скорость вращения Земли.
Введем безразмерные переменные x = x /H, y = = y /H, z = z /H (H - характерная глубина), t = t ю* (ю* - характерная частота волны), размерные величины отмечены волнистой чертой сверху. Безразмерные величины компонент волновых возмущений скорости (u, V, w), давления P, плотности р, коэффициентов турбулентной вязкости K и диффузии M, проекций угловой скорости вращения Земли определяются следующим образом:
u = й/(ю* H), V = у/(ю* H), w = w/(ю* H),
P = P/(ро(ю* H)2), K = K/ц, M = M/ц, р = р g/(ро H ю*), Qx = Qx / ю*,
Ц y = Q y/ю*, Qz = Q z/ ю*
где р0 - характерная средняя плотность воды, ц -максимальное значение турбулентной вязкости в придонном слое. Система уравнений гидродинамики для волновых возмущений в безразмерных переменных в приближении Буссинеска имеет вид:
дu/дt + 2(Dyw - Dzv) + (uV)u = -dP/dx + + £2Qu + £2dK/dz • дw/dx + £2dK/dz • дu/dz,
(2a)
д v/д t + 2(Dzu - Dxw) + (u V) v =- д P/ду - p sin y +
2 2 2 (26) + £2Q v + £2дK/дz • дw/ду + £2дK/дz • д v/дz,
дw/дt + 2(Dx v - Dyu) + (uV)w = -дРtáz + + £2Qw + 2£2дw/дz • дK/дz - p cosy,
д u/д x + д v/ду + д w/д z = 0,
др^ + (uV)p + v др0/дy + w дp0/дz =
= £2 (Мд2р/д x2+ Mд2р/д y2 + Mд2 р/д z2 + + дM/дz •др/дz),
(2в)
(2г)
(2д)
где Q - дифференциальный оператор, определяемый по формуле:
Q = Кд2/д x2 + Kд2/дy2 + Кд2^2, (3)
Граничные условия: Ь = 0 на дне; = 0 - на
верхней границе придонного слоя (минимум Ь).
Решение системы (2) в линейном приближении будем искать в виде:
у = у 1 (г)A(x, t)ехр(ikx + iny - /аt) + k.c., р = р 1 (г)А(х, t)ехр(ikx + iny - /аt) + k.е., (6) Р = Р1 (г)А (х, t) ехр (ikx + iny - /а) + k.с.,
где у - функция тока, k.c. - комплексно-сопряженные слагаемые, А(х, 0 - амплитудная функция, медленно меняющаяся на масштабе волны.
Из (2) следуют уравнения для р1(г) и у1(г):
[ia + £2дМ^ • д/дz - £2M(к2„- д2/дz2)] = = iN2kу j sin у,
[ i а + £2 дМ/ дz • д/д z - £2 М(к\ - д2/дz2)] х
(7)
х[ 2 i у 1 (к О x + n Dy)] =
= [ i а + £2 дМ/ дz • д/д z - £2 М(к2 - д2/дz2)] х (8)
х d/dz{ [ina - 2Dzk + £ nдК/дz • д/дz -- £2nK(k2h - д2/дz2)]у 1/к} - 0.5N2ikyj sin2y,
£2 = цДю^Я2) - малый параметр, пропорциональный максимальному значению турбулентной вязкости.
Граничные условия у дна:
u(0) = w(0) = v(0) = 0, р(0) = 0.
(4)
Следуя гипотезам замыкания полуэмпирической теории турбулентности, выразим коэффициенты турбулентной вязкости через плотность турбулентной энергии Ь [3]: К= ¡4Ь , I - масштаб турбулентности, М = %рК - коэффициенты турбулентной диффузии (х ~ 0.1), Къ = %К - коэффициенты диффузии турбулентной энергии (%ь ~ 0.1). Уравнение баланса турбулентной энергии, осредненное по периоду волны, имеет вид:
d(*'0+'4du) + (dv)) -
-^y^c4 b - N2%p ijb (sin y + cos y) = 0.
(5)
где к^ = к2 + п2. Граничные условия у дна для функций р1(г) и у1(г) имеют вид: у1(0) = 0, р1(0) = 0.
Следуя асимптотическому методу Люстерни-ка-Вишика, функции у1(г), р1(г) и частоту волны а будем искать в виде [4, 5]:
Vi(z) = Уj0(z) + £ у 12(z) + уп(z/£),
pj( z) = p 10 (z) + £2р12 (z) + p jj( z/£),
a = a0 + £ a2
(9)
(10)
где yio(z) = exp(mz) и p1()(z) = NP-к sin Yyio(z)/ao -"невязкие" решения, т.е. решения при £ = 0, Re(m) < 0, y11(z/£) и p11(z/£) - "погранслойные" решения, быстро убывающие (по сравнению с y10(z)) при удалении от дна, £2а2 - поправка к частоте, обусловленная турбулентной вязкостью и диффузией, a2 = N^2 sin2Y / к2, m = (2а0(кО}. + nDy) + + 0Мк sin 2 y )/(2ia0Dz + huN2 sin2Y / к\).
Уравнения для уп, рп имеют вид:
Э/Эп(КЭ/ЭпУп) + ¿о0уп = 0, п = г/г,
Эг)(МЭг1 )
+ iа0р11 = iN ksinу-уп,
Граничные условия для уп, р11:
¥и(0) + уш(0) = 0, рп(0) + рю(0) = 0, —- 0, р11 —- 0 при п —-
(11а) (116)
(12а) (126)
du/dt + u Vu + 2Qyw - 2Qzv = -ЭР/Эх -
£2 Qu
+ £2dK/dz - dw/дх + £2ЭК/dz - du/dz,
(13а)
+ 2Qzu - 2Qxw = -ЭР/dy + £2Q v -z x (136)
22
dv/dt + uVv - P Sin Y + £ "ЭК/dz - dw/dy + £2ЭК/dz - dv/dz,
dw/dt + uVw + 2Qx v -2 Qyu = -dP/dz -- p cos Y + £ -Qw + 2£2dw/dz -dK/dz,
dp/dt + uVp - N2( vsiny + w cosy) = = £2(Md2 p/d x2+ Md2 p/dy2+ Md2p/ dz2 + + dM/dz -dp/dz),
(13B)
(13г)
du/dx + dv/dy + dw / dz = 0.
(13д)
Волновые напряжения и Ум , и Уу , иУр выражаются через решения линейного приближения Уъ Р1:
u Vu = n2 у1 у* Э(ЛЛ* )/dx -- kny 1 у * d( ЛЛ*) / dy,
Выше придонного слоя толщиной к величину коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии будем считать постоянными, равными К0, М0, внутри придонного слоя при г < к коэффициент турбулентного обмена определяется из решения уравнения (5). При г > к решение уравнения (11а)
имеет вид: у11 = Сехр(Хп), где X = -7 с0/2К 0 (1 - /).
Внутри придонного слоя при г < к уравнение (11а) решалось численно по неявной схеме Адамса третьего порядка при условии непрерывности функции у11 и ее производной на верхней границе придонного слоя при г = к. Постоянная С находилась из граничного условия (12а). За верхнюю границу придонного слоя принималось положение максимума амплитуды волновой орбитальной скорости. Уравнение (5) для плотности турбулентной энергии решалось численно методом Рунге-Кут-та, из условия выполнимости граничного условия на верхней границе придонного слоя находился масштаб турбулентности I. Величина М0 равна значению М на верхней границе придонного слоя.
Для определения средних течений, индуцированных волной, осредним исходные уравнения движения (2) по периоду волны, получим уравнения для (м, V, ^ , р , Р) в слабонелинейном приближении:
u Vv = -kny 1 у *d( ЛЛ*) / dx-+ k2y1y* d( ЛЛ*)/dy,
uVp = i(piy*- p*уi)x x (kd(ЛЛ*)/dy - nd(ЛЛ *)/dx)/2.
(14а)
(146)
(14в)
Из анализа системы (13) с учетом (14) следует, что индуцируемые волной средние поля плотности р, давления Р и скорости течения м, V, ^ следует искать в виде:
Р = р20 (z) ЛЛ*, Р = Р 20 (z) ЛЛ*, u = u 20 (z) ЛЛ*, v = v 20 (z) ЛЛ*, w = w20 ( z )d( ЛЛ*) / d£,,
(15)
где Э(ЛЛ*)/Э£, - градиент |Л2|, С£Э|Л2|/Э^ = а|Л2|,
H
а = -
2 khK у1у*- k ¡К
-k2 N2SsnJ. м
2^у* -
Э 2 у *
Э2у*
у1
2
-- d z 2-
у
Y
2
: Э ¥i --d-z 2-
H
,2 ЭК k2h-dz-
k2N2 sin YdM
2
dz
Э(у1у*)
x
2 |у1уг
-i
dz
dz ^x
коэффициент затухания волны. Функции Р20(г), р20(г), м20(г), у20(г), ^20(г) определяются из решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений восьмого порядка:
dY/dz = BY + F.
0
0
H
k
0
Элементы матрицы B(z), имеющей размерность 8 х 8, определяются по формулам:
¿41 = -CgJCg, Ö42 = -Cgy/Cg, bis = 1,
Ö26 = 1, Ьз7 = 1,
bs4 = 2&ya/(CgK) - Cgxa?/(Cg3K) • dK/dz, bss = b66 = -dK/dz/K, b77 = -dM/dz/M, bs2 = -2QJK, bs8 = aCgx/(KCg2), bs1 = b62 = -(a/Cg)2, b61 = 2QJK, b63 = sin (y) /K, b64 = -2Q,xa/(KCg) - Cgya2/(Cg3K) • 3K/3z, b68 = aCgy/(KCg2), b73 = -(a/Cg)2, b84 = K(a/Cg)3, b72 = -N2 sin (y) /M,
b74 = -N2 cos (y) a/(MCg), b81 = 2Ц - 2aCgJCg2 • 3K/3z, b82 = -2Ц. - 2aCgy/Cg2 • dK/dz,
b8s = -aKCgJCg2, b83 = - cos (y) , b86 = -aKCgy/Cg2.
Все остальные
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.