КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 3, с. 214-223
УДК 521.12
ТРЕХЧАСТОТНЫЕ РЕЗОНАНСЫ В ЗАДАЧЕ О БЫСТРОМ ВРАЩЕНИИ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ © 2013 г. В. А. Прошкин1, О. А. Филиппова2
1 МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет 2 ЗАО Авикомп Сервисез proschkin@mail.ru o.valkyr@gmail.com Поступила в редакцию 21.06.2011 г.
В работе представлены резонансные проблемы, порождаемые старшим членом возмущающей функции задачи о быстром вращении несимметричного твердого тела в центральном гравитационном поле на эллиптической орбите. Получены явные формулы, для гамильтонианов всех одномерных гамильтоновых систем, определяющих движение в окрестности резонансов. Описаны основные резонансные эффекты.
БОТ: 10.7868/80023420613020039
1. Пусть главные центральные моменты инерции тела удовлетворяют неравенству (В — А)(В — С) < 0 (В — между А и С), угловая скорость тела по модулю много больше среднего орбитального движения ю0 > 0, характерный размер тела много меньше перицентрического радиуса гп на орбите. Примем массу тела, его характерный размер и нижнюю границу для модуля угловой скорости
равными единице, а ю0 = 6 <§ 1 и гп > 1/е2. Тогда кинетическая энергия вращения тела отделена от нуля некоторой константой, а потенциальная энергия гравитационного поля есть величина порядка б2, причем слагаемые в ее ряде по сферическим функциям с гармониками выше второго порядка имеют величину ~б4.
В переменных действие-угол (I, w) задачи Эй-лера—Пуансо о вращении тела вокруг неподвижного центра масс [2, 8] гамильтониан рассматриваемой задачи имеет вид [3]
Н = Т + 62У2 + 0(б4), (1)
где Т — кинетическая энергия вращения, Т = = Т( I), I = (/1, /2), 62У2 = 62У2 (I, w, 10) - вторые сферические гармоники потенциальной энергии, выраженные через фазовые координаты и 10 = 61 — среднюю аномалию на орбите центра масс.
В работе идет речь о вращениях тела, которым соответствуют фазовые траектории, расположенные вблизи резонансных многообразий невозмущенной задачи
к0б + (к, ю) = 0, (2)
где к0 Ф 0, к = (к1, к2), ю = дТ/дI — вектор ненулевых частот задачи Эйлера—Пуансо, (к, ю) = к1ю1 + + к2ю2, к Ф 0 целые числа и |к2| < 2.
Подобная задача ставилась в [10, 13], но там рассматривались движения в окрестности резонанса только между двумя частотами ю1 и ю2.
В других работах, посвященных резонансным задачам, либо существенно использовалась динамическая симметрия тела, либо рассматривались частные случаи, например, плоские вращения (обзор см. в [3]).
2. Для получения гамильтоновой системы, описывающей движение в окрестности резонанса, необходимо выполнить приведение — последовательность канонических преобразований, переносящих зависимость гамильтониана от времени и от быстрых угловых переменных ^ = (^1, w2) в члены порядка 63. В [7] доказана осуществимость такого приведения во всей области Б аналитичности Н. Здесь понадобится явная формула для нового гамильтониана с точностью до членов порядка 63. Приведем ее, опустив технические подробности и сохранив для новых переменных и гамильтониана прежние обозначения (это не порождает недоразумений, т.к. все преобразования близки к тождественным при малом б):
н = Т + б2 V 2 + 63Н3 + 0(б4), (3)
Я3 = + { ^ + ^ *}, (4)
где {,} — скобка Пуассона.
Входящие сюда функции определяются с помощью тригонометрического ряда Фурье функции У2 по переменным (10, *)
¥9
а именно:
= X еХР(1 (к010 + (к, *))),
(5)
¥2 = ¥00 (I),
¥2 = X ¥ко,оехр(¿ко 1о), ¥ко,о = о(I, -з). (6)
к,, ф о
Оставшуюся часть ряда обозначим ¥2:
¥2 = X ¥ко,кехр(¿(ко 1о + (к, *))),
к ф о
(7)
¥ко, к = к(1' -з).
Перепишем ¥2 в виде
¥2
= X ¥кехр¿(к, *), ¥к = ¥к(I, -з, 1о).
ко ф о
51о
+ ¥2 = о
(10)
и является генератором осреднения б2 ¥2 по времени, входящему в ¥2 только через 10. В этом слу-
чае преобразование отличается от тождественного добавками порядка 6. При этом из того, что ¥2 не зависит от *, следует возможность выбрать Ж2 так же не зависящим от *:
Щ = —^ X "Т^ехР(¿ко 1о),
к„ ф о ко
(11)
В [7] показано, что
¥к = (к, *)Н-к, (8)
т.е. каждый коэффициент обращается в ноль на соответствующем резонансном многообразии для двух частот ю1 и ю2, причем функции Н^ ана-литичны в Б и, в частности, на всех множествах (к, *) = 0, кроме множеств, на которых ю1 = 0 или ®2 = 0.
Функция Ж1 в (4) является генератором канонического преобразования, осредняющего &2У2 по *. Она удовлетворяет уравнению
{Т, Щ} + ¥2 = о, (9)
решением которого является, например, функция
Щ = Щ (I, 1о) = X ехР ¿(к, *),
к ф о = -Нк.
Заметим, что здесь нет малых знаменателей, и во всей области Б аналитичности Н соответствующее преобразование отличается от тождественного добавками порядка 62.
Функция Ж2 = Ж2(1, w3,10) удовлетворяет уравнению
поэтому по переменным I последнее преобразование - тождественное.
Заметим, что, вообще говоря, в ряде (5) свободный член У00 зависит от (I, wз), точнее, от I и косинуса угла между векторами кинетического момента Ь вращательного и кинетического момента орбитального движений [7]. Но этот косинус будет равен — , если систему координат, с по-¡2
мощью которой определяются переменные (I, w), выбрать так, чтобы ее ось, проекцией Ь на которую является 13, была направлена вдоль орбитального кинетического момента. Мы предполагаем, что это именно так и поэтому У00 = У00(1). Напомним [2, 8], что 12 = |Ь|, а переменная 11 определяется в соответствии с процедурой введения переменных действие-угол по формуле 11 = ^ Л ЬМ,
2я Т)
где Ь — проекция Ь на одну из главных центральных осей инерции тела (у нас это ось с моментом инерции С), а I — сопряженная с ней угловая переменная из системы элементов Андуайе—Депри [6].
Явные формулы для У2, Щ, Ж2 приведены ниже. Используем некоторые их свойства.
3. Номером резонанса к0б + (к, *) = 0 или гармоники ехр/(к0б + (к, *)), к = (к1, к2) назовем ненулевую тройку чисел к = (к0, к1, к2). В области аналитичности функции Н3 коэффициенты ее ряда Фурье по (10, *) экспоненциально убывают с
ростом ||к|| = |к0| + |к1| + |к2|. Возьмем К0 = С01п(- ),
6
число С0 считается выбранным так, чтобы остаточный член ряда Н3, состоящий из гармоник с номерами, для которых ||к|| > К0, был величиной порядка 6. Тогда
Н = Т + б2 ¥2 + 63 Н* + 0(б4),
(12)
где Н" — часть ряда Н3 со всеми гармониками, для которых ||к|| < К0.
Резонанс с номером (к0, к1, к2) = (к0, к) называется возможным, если в области аналитичности функции гамильтона Н существует множество, на
котором к0б + (к, *) = 0, но коэффициент при
гармонике с тем же номером в в ноль не обращается (множество Пуанкаре [6]).
Самый поверхностный анализ формул (3)—(7) показывает, что резонанс с номером (к0, 0, 0), невозможен, т.к. 6 = const. Невозможен и никакой резонанс с номером (0, k), т.к. переменные w входят в H3 только через (5 W,/dl0), где нет гармоник с к0 = 0.
Теперь используем свойства частот ю1, ю2 задачи Эйлера—Пуансо, подробно описанные в [2, 6] для случая A > B > C и несложно продолжаемые на случай A < B < C.
На плоскости переменных I1, I2 действительным движениям соответствует область I2 > 0, |I1| < I2; перманентным вращениям вокруг оси с моментом инерции C соответствуют лучи (C):
Ill = I2, (13)
вращениям вокруг оси с моментом инерции A — луч (A):
Ii = 0, (14)
вращениям вокруг средней оси инерции — лучи (B):
|А| = 2harctgк, к п
= C (A - B) 'л(B - C)'
(15)
Под областью (I) на этой плоскости будем понимать множество
п
/2 arctg к < |I,| < /2,
под областью (II) — множество 2
0 < |I,| < -I2 arctg к. п
(16)
(17)
infY = lim Iy
|i,| ^ i2
в области (II):
inf Y = lim I'
i, ^ 0
JAB л - с
A-CNB-C
-1
B л -C
A - C4A - B
= Yi,
Y11.
В обеих областях |у| ^ да, если |/1| ^ 2/2аге1§к. От-
п
сюда следует, что в области (I) (соответственно
(II)) для любого у: |у| > ух (уп), существует множество ю2/ю1 = у. Оно представляет собой луч 12 = ¿(у)/1, причем, когда |у| ^ да, он приближается к одному из лучей (В) [6].
Вещественная часть области аналитичности Б функции н определяется условиями
I е( I )и( II), < /2, (w )е Я4, (18)
как это следует из [2, 6] и из свойств функций, описывающих движение по эллиптическим траекториям в задаче Кеплера [5].
Утверждение 1. Для любого целого п: |п| > ух(|п| >
> уп), в области I (II) на плоскости I при достаточно малом 6 существует множество точек, на котором к0б + (к, ю) = 0, если 0 < |к0| < К0 = = С01п1/б, к = (к1, к2), к1/к2 = п.
Справедливость этого следует из существования лучей 12 = Ь(п)11 , из аналитичности ю1 и ю2 в Б и из того, что бК0 ^ 0 при 6 ^ 0.
Приведенные ниже формулы показывают, что
в Н," входят только гармоники с номерами (к0,
к), в которых |к2| < 2, причем, если к2 Ф 0, то к1 = = пк2, п еZ.
Отсюда получаем
Утверждение 2. В данной задаче существуют любые резонансы с номерами вида
(ko, k) = (к*, k,, k2) = (k*, kn, k), k* ф 0, n ф 0, k = 1, 2,
(19)
Этим областям в задаче Эйлера-Пуансо соответствуют движения, в которых вектор угловой скорости перемещается по полодиям, охватывающим разные главные оси: в области (I) — ось с моментом инерции С, в области (II) — А.
В каждой из областей модуль у = ю2/ю1 ограничен снизу [6]: в области (I)
где |к0| + |к1| + |к2| < К0, и п удовлетворяет хотя бы одному из неравенств |п| > уь |п| > уП.
Замечание 1. Для быстрых вращений модуль кинетического момента /2, а вместе с ним и ю2 отделены от нуля некоторыми константами, не зависящими от 6, поэтому при достаточно малом 6 резонанса с номером (к0, 0, к2) не существует. Резонансное множество к0б + к1ю1 = 0 на плоскости
I в принципе существует, но на нем ю1 = о(1) при 6 ^ 0. Это значит, что его точки при 6 ^ 0 приближаются к лучам (В), состоящим из особых точек
Т( I) [6]. Резонансы с номерами (к0, к1, 0) в данной работе не рассматриваются.
4. В окрестности каждого из существующих резонансов можно получить эволюционную га-мильтонову систему, описывающую движение в этой окрестности. В данной задаче справедливо более точное
Утверждение 3. Для каждого из существующих резонансов с номером (к0, к) (19) в его окрестности, заданной неравенством
+ (к, ю)| < б/4, (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.