ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 72. Вып. 1, 2008
УДК 539.3
© 2008 г. В. М. Александров, Д. А. Пожарский
ТРЕХМЕРНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА
С ПОКРЫТИЕМ
Исследуются трехмерные контактные задачи для упругого клина, одна грань которого армирована нелинейным покрытием винклеровского типа при разных граничных условиях на другой грани клина. Для зависимости нормального перемещения покрытия от давления принят степенной закон. При использовании метода нелинейных граничных интегральных уравнений и метода последовательных приближений определены область контакта, давление в этой области, связь между силой и осадкой штампа. Анализируются результаты расчетов при разных значениях угла раствора клина, относительной удаленности штампа от ребра клина, отношения радиусов кривизны штампа (эллиптического параболоида), показателях нелинейности покрытия. Проводится сравнение с решениями аналогичных задач для клина без покрытия.
Ранее изучались [1, 2] задачи о действии заданной нагрузки на одной грани трехмерного клина при разных граничных условиях на другой его грани, а также ряд контактных задач для трехмерного клина без покрытия. Эффективным методом решения трехмерных контактных задач с неизвестной областью контакта является метод нелинейных граничных интегральных уравнений [3, 4]. Для клина этот метод применялся как без учета трения [5], так и с учетом сил трения, перпендикулярных ребру клина [6]. Известно, что нелинейное покрытие может моделировать шероховатую поверхность при контакте [7], при этом область контакта может быть задана [8]. При помощи метода последовательных приближений рассматривались трехмерные контактные задачи с неизвестной областью контакта для шероховатого упругого слоя при учете сил трения [9]. В случае удаления штампа от ребра клина распределение контактного давления под штампом начинает определяться решением контактной задачи для упругого полупространства с покрытием, изучавшейся ранее в нескольких работах (см., например [10], § 3.5).
1. Постановка задачи и сведение ее к решению нелинейного интегрального уравнения. В цилиндрических координатах r, ф, г рассмотрим трехмерный упругий клин {0 < r < го, 0 < ф < а, |z| < го) с упругими характеристиками G (модуль сдвига) и v (коэффициент Пуассона). Ось г совпадает с ребром клина. Грань клина ф = 0 находится в условиях скользящей или жесткой заделки либо свободна от напряжений (задачи А, Б и В соответственно). Пусть в грань ф = а под действием силы P, приложенной на расстоянии H от ребра клина, вдавливается жесткий штамп - эллиптический параболоид, основание которого описывается функцией
f (r, г) = (r - a )2/(2R) + z2/(2R2)
Для простоты допустим, что задачи симметричны по координате z и R1 < R2. Под действием силы P штамп получает осадку 5 и поворачивается на угол у вокруг ребра клина. Силами трения в области контакта пренебрегаем. Между штампом и гранью клина имеется нелинейное покрытие винклеровского типа ([7], с. 363), которое может моделировать шероховатость поверхности контакта. Примем степенной закон зависимости меж-
ду контактным давлением оф = ^(г, г) и нормальным перемещением покрытия. Деформация покрытия дает дополнительный вклад ыф в нормальное перемещение в области контакта О, определяемый по формуле
ыф = г, г), (г, г )еА, 0 <р< 1 (1.1)
Величина А характеризует податливость и толщину покрытия (грубость обработки шероховатой поверхности).
Контактная задача А для клина при скользящей заделке эквивалентна симметричной контактной задаче для двух штампов на разных гранях клина вдвое большего угла раствора.
При заданных величинах а, О, V, 5, у, А, в и известной функции f(г, г) требуется найти область контакта О, давление q(г, г) в этой области, а также величины Р и Н.
Условие контакта имеет вид
ыф + мф = -[5 + уг - /(г, г)], (г, г) е О (1.2)
Для перемещения Ыф грани клина под действием давления на основании результатов для гладкого клина [1] справедливы формулы
Ыф(Г, а, г) = -^Пд |к(г, г, х, у)q(х, у)йО, 9 = О( 1- V) 1
О
К(г, г, х, у) = Я_1 + К*(г, г, х, у), Я = [(г - х)2 + (г - у)2]Ш Для задач А (т = 1) и Б (т = 2)
К * ( г, г, х, у) = Ц ей пы-! КЫ( ^х)[ ( ы, а) - сШ п ы ] +
(1.3)
0 0
Ы, а)
+ сЬ(п и/2)Ут(Ы, ях) ГК««(^с°8(г - у)(1.4)
Функции ¥т(ы, sx) (т = 1, 2) находятся из интегральных уравнений Фредгольма второго рода (0 < ы < ^ при фиксированном значении sx)
¥т(ы, sx) = (1-2V)}Ь(ы,т)
0
где
^т(Т, sx) + сЬ^уК1Т(SX)
йт (1.5)
Ь(ы, т) = 2сЬ—^Ь —Жт(т, а)1 —---—----
2 2 т сЬ пг + сЬ пы)(сЬ п г + сЬ пт)
0
(ы, а) = (ы, 2а), (г, а) = #+(г, 2а)
,„ , . 2к8Ь2аы-2ы8т2а _ .
(ы, а) = -;---;-2-> к = 3-^
2ксЬ2аы + 2ы -2ы с°82а + к +1
2
g2(г, а) = - g-(г, 2а) + {ап а(/о[2/г/2] - /3[2/2 + г/:]) -
-2 (1 - v) sin а[/0 (sin3a - sin а ch2at) - f3cos а sh2 at ] }/f4 (1.6)
2
. ch2ам - cos2a „ , , ^ ^±1 sin 2a
W±(м, 2a) = ± „ .. „ „ , , ^ , , „.,. „ , £±(t, 2a) = (cthat)
"sh2ам ± м sin2a' ± ch2at - cos4a
2
/0 = кsh2atcos2a -1sin2a, /1 = cos2a + sin 2a -ch2at f2 = sin2a th a t (1 + cos2 a), /3 = (к ch2a t -1) sin2a
/4 = [ /о + /з ](sh2 a t + cos22a) Для задачи В
W3(м, a) - W4(м, a)
K* (r, z, x, y) = 4 JJ shпм\кы(sx)
П 00 ^
- cthпм
W3(и, а)¥3(и, зх) - (и, а)¥4(и, зх)
+-2 еЬ ( пи /2)-К~( ЗГ) С°8 (г - ^) (1'7)
Функции ¥т(и, зх) (т = 3, 4) также удовлетворяют интегральным уравнениям Фред-гольма второго рода (1.5), в ядрах которых следует положить
W3,4(и, а) = W±(и, а), g3,4(г, а) = £+(г, а) (1.8)
Проведен [1] анализ интегральных уравнений Фредгольма (1.5). Для их численного решения используем метод коллокации по гауссовским узлам.
На основе формул (1.1)—(1.3) получаем следующее нелинейное интегральное уравнение относительно функции д(г, z):
г, z) + 2Л91 К( г, z, х, у)д(х, у)йО = 5 + уг - /(г, z), (г, z )еА (1.9)
п
К уравнению (1.9) следует присоединить два интегральных условия равновесия штампа
|д(х, у)йП = Р, |хд(х, у)йО = РН (1.10)
п п
служащих для определения связи между величинами 5, у и Р, Н.
2. Метод решения. Предположим, что неизвестная область контакта О содержится внутри прямоугольника
5 = {(г, z) : |г - а < с, < Ь} (Ь > с) который не выходит на ребро клина. Введем обозначения
М = (г, z), N = (х, у), g(М) = 5 + уг - /(М), К0(М, N) = К(г, ^ х, у)
м(М) = Адв(М), д(М) = [м(М)/А]Р°, Р0 = р-1, = (2я9А1/р)-1 .
и нелинейные операторы
*и(М) = |Н[и(М)] = ив0(М), и(М)> 0, 4и(М) =(М), и(М)> 0 (2.2) 10, и(М) < 0 I 0 и(М )< 0
Добавив к уравнению (1.9) условие непроникания, получим соотношения, которые в обозначениях (2.1), (2.2) запишем в виде
ъ(М) + X.*ЖЖw(N) = g(М) а ъ(М) > 0, М е О
- (2.3)
(N) > g(М) а ъ(М) = 0, М е (АО)
где _ - интегральный оператор вида = }К0 (М, N)и(N) й5д-
Система (2.3) эквивалентна одному интегральному уравнению Гаммерштейна
и + X* = g; и = и( М), g = g (М) (2.4)
Предположим, что существует ограниченная область 50 = {М : g(M) > 0}, такая, что О с 50 с 5. Решение задачи будем искать в банаховом пространстве ^(5) функций, непрерывных в прямоугольнике 5, полагая, что g(M) е #(5).
Теорема 1. Если и* = и*(М) е #(5) - решение уравнения (2.4), то ъ = 4и*, О = {М : и*(М) > 0} - решение системы (2.3) и О Ф 0 при 50 Ф 0; наоборот, если ъ = ъ(М) е #(5) удовлетворяет системе (2.3), то
и* = g - X* ъ, М е 5 (2.5)
есть решение уравнения (2.4).
Перепишем уравнение (2.4) в форме
и = 8 и, 8 и = g - X* (2.6)
Теорема 2. Пусть функция g принадлежит открытому шару Вр с #(5) радиуса р с центром 0, < г. Пусть Т - граница Вр . Тогда 8Т с Вр для достаточно малых значений X*, и уравнение (2.6) имеет решение и* е Вр.
Доказательства теорем 1 и 2 повторяют соответствующие доказательства, приведенные ранее [9]. Используется принцип Шаудера [11] и то, что 8 - вполне непрерывный оператор.
Малость параметра X* в теореме 2 достигается за счет достаточно больших значений параметра А.
Будем решать уравнение (2.6) методом последовательных приближений. Заметим, что оператор 8 удовлетворяет в замкнутом шаре Вр условию Липшица с константой
q0 = X* ||^С||в0 рв° . Действительно,
||8ы - 8и|| = X*!_(*ы - *и)|| < X*!_||||*ы - =
(2.7)
= X*\m\\H4ы - наиП^М - аиЦ^т q1||Ы - и = qJ Ы - и||
для любых ы, и е Вр, поскольку оператор Н (2.2) удовлетворяет условию Липшица на множестве неотрицательных ограниченных функций {% е #(5) : 0 < % < р} с константой
и Рс-1
ql = р0 р .
Таблица 1
А q(x, 0) • 103 P • 103
x = -0.375 -0.25 -0.125 0 0.125 0.25 0.375
Задача А
0 - 1.12 20.7 24.5 21.1 2.58 - 8.98
0.3 0.00225 1.64 4.53 5.80 4.56 1.68 0.00378 2.12
0.5 0.0110 0.727 1.90 2.44 Задача Б 1.91 0.734 0.0119 0.891
0 - 8.82 24.3 27.2 23.7 6.61 - 12.6
0.3 0.0196 1.97 5.00 6.27 4.95 1.92 0.0140 2.40
0.5 0.0177 0.790 2.00 2.54 Задача В 1.99 0.782 0.0163 0.947
0 - - 19.2 23.6 20.4 1.48 - 8.15
0.3 0.000478 1.53 4.36 5.63 4.42 1.60 0.00193 2.03
0.5 0.00918 0.706 1.87 2.40 1.88 0.718 0.0106 0.873
Теорема 3. Пусть оператор % отображает замкнутый шар Вр с С(5) радиуса р с центром 0, в себя, и предположим, что а0 = А*|ВДР0< 1. Тогда для любого начального элемента и0 е Вр последовательные приближения
ип _ 8ипп _ 1, 2,... (2.8)
сходятся к единственному решению уравнения (2.6).
При доказательстве теоремы 3 следует учесть, что оператор 8 - сжимающий, а также использовать известные доказательства ([12], теоремы 1.1 и 1.2 и [13], с. 605, теорема 1).
Чем меньше норма ||#|| (чем меньше осадка штампа при отсутствии перекоса), тем меньшее число итераций требуется для получения решения заданной степени точности. 3. Численный анализ. При расчетах введем следующие безразмерные величины:
г - а _ х - а _ г _ у - _ а 5 _ 5 _ с '* _ _ТГ' х* _ г* _ й' у* _ А _ й' 5* _ Ь' е _ Ь
z b' У* = У b - a Л = т, b
А ( 2 п 9) в P* P
b ' 2п9Ь
А _ А В _ А А _ А(2П9)Р Р _ а (г г Л _ Ф,у)(3,1)
А° _ 2Я 1' В° _ 2Я2' А* _ Ь ' Р* _ 2п0Ь2' а*(Г*' г*Л _ 2п0
и т.д. При этом значение А* должно быть таким, чтобы параметр А,* = (А*Ь)-1/в был достаточно мал для соблюдения условий теоремы 2. Звездочки далее опускаем. Параметр А характеризует относительную удаленность штампа от ребра клина. Очевидно, А > е, так как прямоугольник 5 не вы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.