ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 3, 2004
УДК 539.3
© 2004 г. В. М. Александров, Д. А. Пожарский
ТРЕХМЕРНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ УЧЕТЕ ТРЕНИЯ И НЕЛИНЕЙНОЙ ШЕРОХОВАТОСТИ
Рассматриваются трехмерные контактные задачи для упругого слоя с шероховатой поверхностью при учете трения Кулона в заранее неизвестной области контакта. Принято, что деформация микровыступов упругой поверхности при контакте с жестким штампом происходит по нелинейному (например, степенному) закону [1, 2]. Решение задач сводится к исследованию нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна, для которых доказывается существование и единственность решения, а также применимость метода последовательных приближений. Приводятся численные результаты, показывающие влияние шероховатости и сил трения на контактное давление, размер области контакта, связь между вдавливающей штамп силой и осадкой штампа.
Плоская контактная задача для шероховатого упругого тела, по-видимому впервые, изучалась [3] на основе линейного закона деформации микровыступов. Однако ряд экспериментальных исследований [4, 5] показал, что имеет место степенная зависимость между сближением контактирующих шероховатых тел и давлением. На основе такой зависимости исследовались [1, 2] плоские и осесимметричные контактные задачи при известной области контакта и без учета сил трения, даны ссылки на ряд предыдущих исследований. Применяемый в данной работе метод решения контактных задач с неизвестной областью контакта был предложен [6] при анализе трехмерной задачи для шероховатого упругого полупространства при общем нелинейном законе деформации микровыступов без учета сил трения. При доказательстве существования и единственности решения использовались [6] монотонность некоторого нелинейного интегрального оператора и самосопряженность линейного интегрального оператора, порожденного функцией Грина для полупространства. Соответствующие доказательства, проводимые ниже, не опираются на указанные свойства, поскольку силы трения приводят к несамосопряженности, а монотонность нарушается для случаев, когда характерный размер области контакта имеет порядок толщины слоя. Трехмерные контактные задачи без учета шероховатости в квазистатической постановке, в которой силы трения учитываются, как и в данной работе, только в направлении движения штампа, рассматривались ранее [7-9]. Метод, предложенный в работе [6], применялся [8-10] для определения неизвестных областей контакта упругих тел различной формы. Имеются попытки изучения контакта шероховатых поверхностей на основе статистического и фрактального подходов для описания неизвестного распределения микровыступов [11].
1. Формулировка и сведение к нелинейному интегральному уравнению. Рассмотрим бесконечный слой < х, у < 0 < г < Н} с упругими параметрами О (модуль сдвига) и V (коэффициент Пуассона). Исследуется квазистатическая контактная задача о жестком штампе, который вначале внедрен в грань г = Н слоя, а затем начинает медленно двигаться по этой грани (без перекоса) вдоль оси х (см. фиг. 1). Нижняя грань г = 0 слоя фиксирована (задача А) или находится в условиях скользящей заделки (задача Б). Штамп имеет гладкое основание, описываемое функцией /(х, у), такой, что неизвестная область контакта О вытянута вдоль оси у (в смысле отношения параллельных осям х и у сторон минимального прямоугольника, содержащего О).
г = Н г = 0
Фиг. 1
Тогда можно пренебречь силами трения Кулона в направлении оси у и учитывать только силы трения, коллинеарные направлению движения. Вследствие гладкости основания штампа контактное давление должно обращаться в нуль на границе области контакта ЭО. На штамп действуют нормальная сила Р, приложенная на расстоянии \й\ от оси г, и касательная сила Т = цР, приложенная на высоте е над гранью г = 0 слоя; ц - коэффициент трения Кулона. Если й < 0, то сила Р приложена на отрицательной полуоси х. Задачи симметричны по координате у. При ц > 0 штамп движется в положительном направлении оси х, а при ц < 0 - в противоположном направлении. Неизвестное нормальное контактное давление ог = -д(х, у), (х, у) е О, связано с касательным напряжением по закону Кулона тхг = -цд(х, у). Поверхность слоя имеет микронеровности в результате обработки, которые при контакте со штампом дают до-
а
полнительный вклад иг в нормальное перемещение границы слоя, определяемый следующим образом:
< = -Ф[д(х, у)] (х, у) е О (1.1)
где Ф(0 (-го < г < тс) - непрерывная (нелинейная) функция, строго возрастающая при г > 0 и равная нулю при г < 0. При ? > 0 для функции Ф(0 существует обратная функция Я[Ф(01 = г.
Такая модель учета шероховатости поверхности в настоящее время общепринята [1-6]. Модель применяется, когда плотность фактических пятен контакта достаточно велика. В приложениях функцию Ф(г) часто аппроксимируют степенной функцией, что ниже и будет сделано. Заметим еще, что высота и плотность микронеровностей поверхности влияют также на выбор того или иного значения коэффициента трения Здесь этот вопрос остается открытым и будет изучен в дальнейшем. Условие контакта между телами можно записать в форме
г = Н: иг + иг = -[5 - /(х, у)] (х, у)е О (1.2)
где 5 - осадка штампа. Нормальное перемещение иг(х, у, г) должно удовлетворять трехмерным уравнениям равновесия Ламе и граничным условиям
г = Н: Ог = -д (х, у), Тху = ц^, т уг = 0, (х, у )еО
уг
"хг 0: их
0: и
уг
и
0, (х, у) г О иг = 0 (задача А) ■ Туг = 0 (задача Б)
(1.3)
Кроме того, напряжения должны исчезать на бесконечности.
Формулировка контактных задач следующая. При заданных функциях/(х, у), Ф(0 и величинах О, V, Н, ц и 5 требуется определить область контакта О, контактное давление q(x, у), внешние силы Р и Т, а также их плечи й и е. Возможно также задавать силу Р, считая неизвестной осадку 5.
Решая краевые задачи (1.3) при помощи двойного преобразования Фурье, получим, в частности, представление
илX у, Н) = -¿91К(х - у - 9 = О (1.4)
О
где
К(г,т) = К!(ит) - €К2(г,т), € = ц
Kn( t, т) = 2- J J L*(a, в) exp [-¿(ai + вт)] da dp, n = 1, 2 (1.5)
2n •
L*(a, в) = L1(y)/у, L*(a, в) = iaL2(у)/у2, у = Ja2 + p2 Функции Ln(u) (n = 1, 2) имеют вид
L1(m) = [2кsh(2uh)-4uh]/L0(u), L2(u) = [2кch(2uh)-4( 1 -2v)-Vh2-2k]/L0(u)
(1.6)
2 2 2
L0 (u) = 2 к ch (2 uh) + 4uh +1 + к , к = 3-4 v для задачи А и
L1 (u) = [ ch (2uh) -1 ] / L0( u), L2 (u) = [ sh (2uh) -2( 1-2 v)-1 uh] / L0( u) (
L0 (u) = sh (2uh) + 2 uh
для задачи Б.
Используя интеграл 8.411.2 [12]
п/2
J cos (a cos x) cos (b sin%)d% = a2 + b2) (1.8)
0
и соотношение J0 (z) = -J^z), где Jn(u) (n = 0, 1) - функция Бесселя, сведем выражения (1.5) к виду
Kх(х - у - n) = JL1 (u)J0(uR)du
0
x - ь (1.9)
K2(x - у - n) = —rt J L2(u)Jj(uR)du
0
R = V(x - ^)2 + (у - n)2
Учитывая асимптотическое поведение: Ьп(и) ^ 1 при и ^ (п = 1, 2) а также интеграл 6.511.1 [12]
[ 1п (иЯ)йи = 1 п = 0,1 (1.10)
•I Я
о
выделим главные члены в ядрах (1.9):
К1(х - у - п) = ЯЯ + |[^1(и)-1 ]1о(иЯ)йи
0 . (1.11)
К2(х - у - п) = ^ + ^ [[Ь2(и)-1 ]Т1(иЯ)йи Я Я
0
Подставляя теперь представления (1.1) и (1.4) в условие контакта (1.2), получаем следующее нелинейное интегральное уравнение относительно контактного давления д(х, у):
Ф[д(х, у)] +2-1--1К (х - у - п)д(^,п)й0^п = 5 - /(х, у), (х, у )еО (1.12)
о
2. Решение уравнения (1.12). Предположим, что неизвестная область контакта О содержится внутри прямоугольника Я = {(х, у) : |х| < а, |у| < Ь} (Ь > а). Контактное давление должно быть положительно внутри О и равно нулю в дополнительной области Я\О. Пусть О - открытое множество. Поскольку область свободна от контакта, в ней выполняется условие непроникания - иг(х, у, Н) > 5 -/(х, у). Объединяя все эти условия и распространяя интегрирование в формуле (1.12) на прямоугольник Я, сведем контактные задачи к следующим соотношениям:
ф[д(М)] + 2П-1К*(М, N)д(N)йЯм = g(М) а д(М) > 0, М е О
Я (2.1) ^|К(М, N)д(N)-Яу > g(М) а д(М) = 0, М е (Я\О)
Я
где использованы обозначения
М = (х, у), N = (£, п), g (М) = 5 - / (М), К * (М, N) = К (х - у - п) (2.2)
После определения функции д(х, у) и области О из системы (2.1) величины Р, й и е можно найти из трех следующих условий равновесия штампа (см. формулу (14) [7]):
|д(М)йОМ = Р, |хд(М)-ОМ = Рй, е - Н = - - (2.3)
Система (2.1) может быть сведена только к одному нелинейному уравнению в прямоугольнике Я. Область, в которой решение этого уравнения положительно, будет зоной контакта [6].
О
О
Предположим, что существует ограниченная область 50 = {М : g(M) > 0} такая, что О с 50 с Введем обозначения
ъ (М) = Ф^ (М)], q (М) = Н [ ъ (М)], = (2п9)-1 (2.4)
и (нелинейные) операторы
ГН[и(М)], и(М)> 0 Ги(М), и(М)> 0
Жи(М) := \ 1 у >и у ' , Эи(М) := \ у у > (2.5)
[ 0, и( М )< 0 [ 0, и( М )< 0
Перепишем систему (2.1) на основе формул (2.4), (2.5) в эквивалентной форме ъ(М) + К*(М, N)Жъ(N)йЗм = g(М) а ъ(М) > 0, М б О
5
(2.6)
| К * (М, N) Ж ъ (N) > g (М) а ъ (М) = 0, М е (5\О)
5
Рассмотрим интегральное уравнение Гаммерштейна
и( М) + К * (М, N) Жи( N) d5N = g (М), М еО (2.7)
5
Уравнение (2.7) можно также записать в операторной форме
и + Х*ЖЖи = g (2.8) где и = и(М), g = g(M), а Ж - интегральный оператор вида
Ж и := | К * (М, N )и( N) (2.9)
5
Далее предполагается, что g(M) е ^(5), где ^(5) - банахово пространство функций, непрерывных в прямоугольнике 5. В этом же пространстве будем искать решения системы (2.1) и уравнения (2.8).
Теорема 1. Если и* = и*(М) е ^(5) - решение уравнения (2.8), то ъ = Эи*, О = {М : и*(М) > 0} - решение системы (2.6), и О Ф 0 при 50 Ф 0; наоборот, если ъ = ъ(М) е е ^(5) удовлетворяет системе (2.6), то
и* = g - ЖЖъ, М е 5 (2.10)
есть решение уравнения (2.8).
Доказательство. Сперва покажем, что О Ф 0, если 50 Ф 0. Допустим противное. Тогда из уравнения (2.8) следует неравенство g < 0, противоречащее существованию 50 Ф 0. Здесь использовано первое определение (2.5).
Пусть и* - решение уравнения (2.8). Заметим, что Жи* = Жъ, где ъ = Эи* (см.
формулу (2.5)). При М е О имеем ъ = и* > 0 и ъ + ^*ЖЖъ = g. Если М е (5\О), тогда и* = g - Х*ЖЖь* < 0, Х*ЖЖч> > g, ц> = 0 и это доказывает прямое ут
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.