ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 427, № 3, с. 380-383
= ГЕОФИЗИКА =
УДК 550.831.017
ТРЕХМЕРНЫЕ МОНТАЖНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ
© 2009 г. П. И. Балк (ФРГ), А. С. Долгаль
Представлено академиком В.Н. Страховым 25.02.2009 г. Поступило 19.01.2009 г.
При всем многообразии математически строгих методов решения обратных задач основным рабочим инструментом интерпретации данных гравиметрических измерений на практике остаются диалоговые системы моделирования, в которых подбор параметров модели геологической среды осуществляется интерпретатором, а формализованная составляющая представлена алгоритмами решения прямой задачи для пробных распределений масс. При поиске единичного допустимого варианта интерпретации диалоговые системы себя вполне оправдывают. Другое дело, что в силу практической неоднозначности обратных задач для извлечения достоверной информации об источниках поля знания какого-то одного приемлемого варианта интерпретации недостаточно, каким бы признаком оптимальности он ни обладал. Такая информация может быть получена лишь в результате совместного анализа достаточно широкого (репрезентативного) подмножества допустимых решений обратной задачи. При таком подходе разумной альтернативы автоматизированным технологиям поиска отдельных допустимых вариантов решения обратной задачи уже не существует. Однако вывод этот будет справедлив лишь при условии восприимчивости указанных технологий к различным типам априорной информации об источниках поля.
Применительно к обратным задачам "рудного" типа указанному условию в наибольшей степени отвечают монтажные алгоритмы поиска допустимых решений обратной задачи, основу которых составляет единство сеточного (конечноэлементно-го) описания плотностной среды и особого способа структурирования итерационного процесса подбора, позволяющего эффективно следить за соблюдением всех априорных ограничений на модель среды и поля. Концепция монтажного подхода была заложена в работах A.B. Овчаренко [1] и
В.Н. Страхова [2], и, хотя в дальнейшем исследования в этом направлении велись довольно активно, они не выходили за рамки двумерной постановки (см. библиографию в [3]), ограничиваясь преимущественно моделью одиночного возмущающего тела. В настоящей работе предлагается опробованный на модельных и практических примерах обобщенный 3Б-монтажный метод решения обратной задачи для группы возмущающих объектов, рассчитанный на применение при изучении сугубо трехмерных геологических тел и структур: гранитоидных батолитов, вулкано-тек-тонических депрессий, соляных куполов, аст-роблем и т.п.
Введем ряд определений, придерживаясь терминологии и стандартных обозначений, принятых в теории множеств. Пусть ц - классическая мера Лебега в пространстве К3. Скажем, что счетное семейство 3 замкнутых связных односвязных подмножеств Тп с К3, ц(Тп) > 0, п е М с N с дизъюнктивными внутренностями образует замощение множества £ с К3, а подмножества Тп - его элементы, если их объединение содержит £. Замощение является моноэдральным, если каждое подмножество Тп, п е М, конгруэнтно некоторому множеству Т, называемому протоэлементом замощения. Простейший тип моноэдрального замощения - покрытие правильными геометрическими фигурами. Классом конфигураций, опреде-
С4-1 « А
ленном на 3, назовем семейство А всевозможных связных объединений Оа конечного числа его элементов. Множества
Я[йа] = {Тп е 3: Тп сПа|,
0[йа] = {Тп й Я[Оа]: Тп иОае А},
3 [Оа] = { Тп е Я[Оа] : О [ Тп ] ф Я[Оа]}
назовем соответственно ядром, оболочкой и замыканием конфигурации Оа. Установим, что объединение элементов семейства = {Т1, Т2, ..., Тш} связно, если для любого семейства 32 = {Т -н , Т^ , ..., } с выполняется неравенство ^^О[Т^п (31х^2) Ф 0,
Горный институт
Уральского отделения Российской Академии наук, Пермь
а множество Я[Оа] является ядром односвязной конфигурации, если 0[Оа] представляет собой ядро некоторой конфигурации, определенной на замощении З. Содержательно понятия связности и односвязности ассоциируются с представлениями о локальном характере источника поля и отсутствии в нем "пустот".
Перейдем непосредственно к изложению алгоритма. Пусть измерения иг = и(Х), Xг = (хг, уг, zi), г = 1, 2, ..., п, гравитационного поля, среднее значение помехи в которых предположительно не превосходит е0, выполнены на произвольном рельефе и обусловлены массами, распределенными
т
с заданными плотностями ск > 0 по неизвестным
т
связным объемам (парциальным носителям) Вк, к = 1, 2, ..., К, подлежащим оценке. Пусть, как обычно, постановка обратной задачи включает некий объем априорной информации, обязательным для которой является задание отдельных фрагментов
г>0 г>Т
ик каждого парциального носителя ик.
Монтажный алгоритм начинается с выбора замощения З. Часть априорной информации иногда удается учесть уже в самой его структуре. Так, априорные предположения о характере вытяну-тости тел, их ориентации в пространстве можно учесть в геометрии протоэлемента Т регулярного замощения и при необходимости работать одновременно с несколькими замощениями, приуроченными к отдельным парциальным носителям. В подобных случаях уместно говорить об адаптивных замощениях.
Семейства Зк = {Тп е З: Тп п Ф 0}, к = 1, 2, ..., К, могут не образовывать ядра связных од-носвязных конфигураций. В таком случае с помощью трехмерных аналогов уже известных итерационных процессов [4] их можно дополнить до минимальных ядер конфигураций О* 0, обладающих необходимыми топологическими свойствами. Они и принимаются за нулевые приближения к ядрам парциальных составляющих искомого приближенного решения обратной задачи. Собственно монтажный метод представляет собой итерационный
процесс, где каждое]-е приближение О* = {О*^}К
к искомому решению О* = {О* }К образуется из предшествующего путем взаимного обмена замыканий и оболочек связных компонент О* некоторыми подмножествами своих элементов:
Я[О* j ] = Я [О* j-1 ]и »й-Л»й _1,
як1)-1 с 3[О*j-1 ], Зк2)-1 с о[О*j-1 ].
Априори задается максимально допустимое число I элементов замощения, участвующих в обме-
не с обеих сторон при условии соблюдения монотонности процесса разрастания ядер текущих приближений. Это предопределяет структуру и мощность множества Р пробных вариантов перехода от О* 1 к О**, а заодно и специфику конкретного алгоритма.
В простейшем случае I = 1, О* ^ = О* ^ -1 иТп, Тп е 0[О*^-1 ] получим метод регулируемой направленной кристаллизации В.Н. Страхова [2], до сих пор являвшийся единственной известной формой реализации монтажного подхода. Далее из множества Р выделяется подмножество Р0 вариантов, удовлетворяющих всей априорной информации. При этом идентификация пробного варианта относительно принадлежности его множеству Р0 осуществляется весьма просто, путем прямой проверки подчинения его каждому из предписанных ограничений. В число таких ограничений могут быть, в частности, включены: значения предельно допустимых мощностей тел, диапазоны возможных глубин их залегания, условие допустимости контактирования между собой отдельных пар парциальных носителей (его удобно задавать с помощью бинарной симметрической матрицы, а проверка такого условия сводится к обнаружению элементов замощения, одновременно входящих в замыкание одного и оболочку другого парциального носителя), требование недопустимости включения в ядра текущих приближений элементов замощения, составляющих часть пространства, заведомо не содержащую по априорной информации источников поля, и т.д. Нетривиальной здесь следует признать разве что проблему учета ограничений топологического характера на связность и односвязность носителя. Однако в классе конфигурационных носителей она может быть успешно решена с помощью процедур, изложенных в [4] и не привязанных к определенной размерности задачи.
Отдельно следует упомянуть ограничение на гладкость приближенного решения, играющее ключевую роль при построении содержательных интерпретаций геофизического поля [5]. В нелинейной постановке оно отвечает за степень предполагаемой "изрезанности" границ изучаемого объекта. В классе конфигурационных носителей неустойчивость решения обратной задачи проявляется в бессодержательных ветвящихся цепочках, составленных из элементов замыкания подобранной конфигурации. Интегральные характеристики гладкости (типа аналога известного периметрического отношения), не обладающие достаточной чувствительностью к особенностям отдельных фрагментов границы носителя, могут оказаться в этом случае малоэффективными. Дифференцированный подход к проблеме гладкости приближенного решения предлагается связать со следу-
382
БАЛК, ДОЛГАЛЬ
Рис. 1. Гравитационное поле и контур возмущающего объекта.
ющим формализованным представлением о малосодержательных фрагментах конфигурационного носителя. Назовем связный фрагмент конфигурации О отростком длины Ь, если его ядро содержит Ь элементов, в оболочке каждого из которых не отыщется ни одной пары элементов ядра Я[Щ, объединение которых было бы связно. Количественной характеристикой гладкости приближенного решения обратной задачи может стать длина максимального отростка построенного конфигурационного носителя.
Из всех вариантов, представленных в множестве Р0, за очередное приближение к решению обратной задачи принимается тот из них, на котором достигается минимальное значение невязки. Оптимизируемыми параметрами при этом являются значения плотностей масс, заполняющих пробные парциальные носители. Такой не характерный для классической оптимизации прием с переводом известных параметров в разряд свободных геофизически вполне оправдан - используя свойственную обратным задачам е-эквивалентность, он уже на первых итерациях позволяет приблизиться к допустимому значению невязки е0. Величина невязки на нулевом приближении здесь, в отличие от большинства известных методов, не является определяющей. Критерием завершения итерационного процесса является одновременный выход на некотором шаге ] = ]0 значений плотностей
, минимизирующих невязку, в достаточно ма-
Рис. 2. Трехмерное изображение возмущающего объекта и конфигурации О*, построенной
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.