ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 97, № 1, с. 96-9
ФИЗИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 535.2
ТРЕХСОЛИТОННАЯ СТРУКТУРА С СИЛЬНОМ И СЛАБОЙ СВЯЗЬЮ В ШИРОКОАПЕРТУРНОМ ЛАЗЕРЕ С НАСЫЩАЮЩИМСЯ ПОГЛОЩЕНИЕМ
© 2004 г. Н. Н. Розанов*, С. В. Федоров*, Ä. Н. Шацев*, Н. Ä. Лойко**
*Научно-исследователъский институт лазерной физики, 199034 Санкт-Петербург, Россия E-mail: rosanov@ilph.spb.su **Институт физики им. Б.И. Степанова НАН Белоруссии, 220072 Минск, Белоруссия E-mail: nloiko@dragon.bas-net.by Поступила в редакцию 22.12.2003 г.
С помощью численного моделирования пространственно-временной структуры поля в широко-апертурном лазере класса А с насыщающимся поглощением в приближении среднего поля по продольной координате найден солитонный комплекс, состоящий из трех лазерных солитонов. Два из них связаны сильно и вращаются, а третий слабо связан с этой парой солитонов и вращается вокруг нее с меньшей угловой скоростью. Приведен фазовый портрет поперечных энергетических потоков излучения, подтверждающий указанный характер связи солитонов.
Взаимодействие солитонов, в том числе оптических, является их важнейшим свойствам [1]. Со-литоны, понимаемые в узком смысле слова, взаимодействуют упруго, восстанавливая после столкновения все свои характеристики (допускаются лишь фазовые сдвиги). В настоящее время к солитонам относят более широкий круг локализованных за счет нелинейных механизмов устойчивых структур, к числу которых принадлежат и консервативные, и диссипативные структуры (с существенным энергообменом). В общем случае при взаимодействии солитонов может не сохраняться само их число и возникают весьма разнообразные комплексы, включая связанные состояния солитонов [2].
Аналитическое описание взаимодействия солитонов произвольного типа возможно в случае их слабого взаимодействия, характеризующегося слабым перекрыванием их полей [3]; другой вариант родственной теории возмущений справедлив и при существенном, но кратковременном перекрытии полей индивидуальных солитонов [4]. Вместе с тем значительный интерес представляют и случаи сильного взаимодействия солитонов. Примеры таких оптических структур представлены в [2, 5, 6] для случая диссипативных (лазерных) солитонов в широкоапертурном лазере с насыщающимся поглощением. Как показано в [7], можно четко разграничить случаи слабого и сильного взаимодействий диссипативных солитонов по анализу энергетических потоков в поперечном сечении лазера, причем в процессе формирования сильно связанных солитонов происходят бифур-
кации распределения этих потоков. Задачей настоящей работы является демонстрация нового типа комплекса лазерных солитонов, в котором один из них слабо связан с парой других, сильно связанных солитонов.
Как и в [5-7], мы будем рассматривать широ-коапертурный лазер класса А (времена релаксации среды много меньше времен установления поля в резонаторе) в приближении среднего поля (усредняя огибающую электрического поля Е по продольному направлению). Управляющее уравнение имеет безразмерный вид
IE = (i + d )Д± E + Ef (I E\2).
(1)
Здесь г - безразмерное время (нормировка указана в [5-7]), Д± = = Э2/Эх2 + д2/ду2 - поперечный оператор Лапласа с безразмерными поперечными координатами х и у, сС - малый эффективный коэффициент диффузии, а функция /(Г) интенсивности излучения Г = |Е |2 описывает безынерционное насыщение усиления и поглощения и в пренебрежении частотными расстройками определяется соотношением
f(IEl ) = -1 +
1 + |E|2 1 + b\E\Г
(2)
В (2) и а0 - линейные коэффициенты усиления и поглощения, Ь - отношение интенсивностей насыщения для усиления и поглощения, а нормированные нерезонансные потери представлены чле-
ТРЕХСОЛИТОННАЯ СТРУКТУРА С СИЛЬНОЙ И СЛАБОЙ СВЯЗЬЮ
97
У 40
У
40
-40-
-40
0 х г = 0
40 -40
0
х
500
40 -40
0 х 1250
40-40
0 х 1750
40 -40
0 х 2500
Ф
3 2 1 0 -1 -2 -3
40
Рис. 1. Мгновенные (безразмерное время г указано снизу) поперечные распределения интенсивности (верхние рисунки) и фазы (нижние рисунки) лазерного излучения для режима трех солитонов с совпадающим топологическим зарядом т = -1. Шкала значений фазы приведена внизу справа.
ном -1. Приведенные ниже результаты получены численным решением (1) с нелинейной функцией (2) при следующих значениях параметров: й = = 0.06, g0 = 2.11, а0 = 2, Ь = 10.
Ранее найдены [8] и детально исследованы [2, 5-7] стационарные лазерные солитоны с осесим-метричным распределением интенсивности и винтовыми дислокациями волнового фронта различных порядков, а также асимметричные вращающиеся солитонные комплексы, которые могут быть интерпретированы как сильно связанные солитоны. В данной работе мы ограничиваемся случаем дислокаций волнового фронта с топологическим зарядом т = -1, так что огибающая поля одиночного солитона в полярных координатах (г, ф) имеет вид
Е(г, ф, г) = А (г) ехр (- г ф -).
(3)
Комплексная амплитуда А обращается в нуль в центре солитона (А(0) = 0) и экспоненциально быстро убывает с возрастанием удаления от центра г. Частотный сдвиг V играет роль собственного значения и обладает дискретным спектром [2]. Для рассматриваемого солитона при указанных выше параметрах V ~ 0.08.
Стартуя от сильно связанной пары солитонов с совпадающим топологическим зарядом т1 = т2 = = -1 (см. [5-7]) и добавляя к ней на определенном удалении в начальный момент времени третий солитон с таким же топологическим зарядом т3 = = -1, мы придем после переходного периода к изображенной на рис. 1 установившейся, но не-
стационарной структуре. Здесь исходная сильно связанная пара солитонов (расположенная на рис. 1 при г = 0 внизу) вращается по часовой стрелке с периодом Т2 ~ 800, а третий солитон вращается вокруг нее также по часовой стрелке с периодом Т3 = 2400. Тем самым различные части комплекса вращаются с разными угловыми скоростями. Распределения интенсивности I и фазы Ф излучения ввиду отсутствия симметрии испытывают периодические изменения (точнее, эти изменения квазипериодические, так как периоды двух указанных типов вращения, по-видимому, несоразмерны).
Характер связи солитонов в комплексе следует из вида фазового портрета потоков энергии (поперечного вектора Пойнтинга 8± = А2У±Ф), который строится описанным в [7] образом. На рис. 2 представлен пример такого мгновенного портрета при г = 0, поскольку в другие моменты времени этот портрет топологически эквивалентен приведенному. Мы видим, что здесь сохраняются "индивидуальные" элементы как сильно связанной пары (включая два предельных цикла, охватывающих оба центра двух солитонов пары), так и отдельного (третьего) солитона (два предельных цикла, охватывающих центр солитона). Это и дает основание классифицировать комплекс как одиночный солитон, слабо связанный с парой сильно связанных солитонов. Между отдельным солитоном и парой расположены три особые точки - пара седел ^ и £2 и "устойчивый" узел соединенный с седлами исходящими из се-
7 ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ том 97 < 1 2004
98
РОЗАНОВ и др.
Рис. 2. Фазовый портрет поперечных энергетических потоков (направление указано стрелками) в момент времени г = 0. Вставка детализирует центральную часть портрета. Жирные сплошные замкнутые кривые отвечают "устойчивым" предельным циклам, жирные пунктирные замкнутые кривые изображают "неустойчивые" предельные циклы, сепаратрисы седел 5! и 52 показаны жирными штриховыми линиями, - "устойчивый" узел.
дел сепаратрисами. "Устойчивость" здесь понимается в смысле [7], характеризуя направление потоков энергии в фиксированный момент времени. Исходящие сепаратрисы разделяют потоки энергии, исходящие от одиночного солитона и от пары; в конце концов эти потоки уходят на периферию комплекса (на бесконечность). Вид распределения фазы на рис. 1 подтверждает наличие трех винтовых дислокаций волнового фронта в центрах солитонов (для фазы принят диапазон -п < Ф < п с разрывами в граничных значениях). Для вращения комплекса против часовой стрелки достаточно изменить знаки топологических зарядов солитонов. Характер представленной структуры сохраняется при изменении параметров задачи в определенных пределах (в том числе они существуют при коэффициенте усиления £0 = 2.105).
Найденный в данной работе трехсолитонный комплекс можно сравнить с механической задачей трех тел с соизмеримой массой, в которой вокруг вращающейся пары двух тел ("двойной звезды") вращается по удаленной орбите третье тело ("звезда"); более точно следовало бы говорить о вращении вокруг центра масс. Вообще говоря, такой режим допустим для трех классических тел. Однако здесь имеется существенное различие, связанное с консервативным характером механики и диссипативной природой лазерной схемы.
Поскольку в лазерном случае "орбиты" тел (солитонов) должны быть квантованы, система лазерных солитонов более близка квантовой задаче трех тел.
Работа поддержана грантом РФФИ № 02-0281045 и грантом БРФФИ Ф-02Р-011.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kivshar Yu.S, Agrawal G.P. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals. Amsterdam: Acad. Press, 2003. 540 p.
2. Rosanov N.N. Spatial Hysteresis and Optical Patterns. Berlin: Springer, 2002. 308 p.
3. Gorshkov K.A, Ostrovsky L.A. // Physica. D. 1981. V. 3. P. 428.
4. Высотина H.B., Нестеров Л.А., Розанов H.H., Смирнов В.А. // Опт. и спектр. 1998. Т. 85. < 2. С. 239-245.
5. Fedorov S.V., Rosanov N.N., Shatsev A.N., Vereten-ov N.A., Vladimirov A.G. // IEEE J. Quant. Electron.
2003. V. 39. < 2. P. 197-205.
6. Розанов H.H., Федоров С.В., Шацев А.Н. // Опт. и спектр. 2003. Т. 95. < 6. С. 902-907.
7. Розанов H.H, Федоров С.В, Шацев A.H. // ЖЭТФ.
2004. Т. 125. < 3. С. 486-498.
8. Розанов H.H., Федоров А.В, Федоров С.В, Ходо-ва Г.В. // Опт. и спектр. 1995. Т. 79. < 5. С. 868-870.
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ том 97 № 1 2004
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.