ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 438, № 6, с. 758-761
МЕХАНИКА
УДК 531.01
ТРЕНИЕ ПО ПЕНЛЕВЕ И ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
© 2011 г. Академик В. В. Козлов
Поступило 23.03.2011 г.
1. ТРЕНИЕ ПО ПЕНЛЕВЕ
Пусть х = {х'}, 1 < ' < п, — обобщенные координаты, Т(х, х, 0 — кинетическая энергия системы, х, х, 0 — обобщенная сила. Предположим, что на систему наложена связь
(а, х) = а ¡х' = Ь, (1)
в общем случае неинтегрируемая. Все сказанное ниже просто переносится на общий случай нескольких независимых связей. Компоненты ко-вектора а = {а} гладко зависят от положения и времени; предполагается, что а Ф 0.
Положим
А = {А':} , А': =
д2 Т
(2)
= 0 + Я,
(4)
С учетом (3) получаем
Я = Ха ,
а множитель X однозначно находится из уравнения движения (4) с учетом уравнения связи (1) как однозначная скалярная функция от состояния системы х, х и времени t. Величину
N = {А1 Я, Я )1/2
(6)
дх дхХ
Ясно, что А — дважды ковариантный симметричный тензор. Предполагается, что п х п-матрица А положительно определена для всех состояний системы и времени. Следовательно, этот тензор определяет евклидову метрику в касательном пространстве (пространстве скоростей). Положим
<а, р> = (Аа, р) = А':а в;
это — скалярное произведение векторов а и р, задаваемое метрикой (2). В дуальном пространстве ковекторов (куда входят, в частности, силы) евклидова метрика задается обратной матрицей А-1. Введем еще векторы возможных перемещений = {£,'}. Они удовлетворяют линейному однородному уравнению
(а, %) = а£ = 0. (3)
Уравнение движения рассматриваемой системы можно записать в виде уравнения Лагранжа
с-дт - дТ
Сдх дх
где Я — реакция связи (1). Если эта связь идеальная, то работа реакции на всех возможных перемещениях системы равна нулю:
(Я, %) = Я£ = 0. (5)
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской Академии наук, Москва
можно назвать давлением системы на связь.
Если связь (1) не идеальная ("шероховатая"), то соотношение (5) уже не справедливо. Можно ли и в этом случае однозначно разделить силу Я собственно на реакцию связи и на силу трения? Положим
Я = Ха + Я', X е К, (7)
причем ковекторы а и Я ортогональны во внутренней метрике:
< а, Я'> * = (А'1 а, Я') = 0.
Разложение (7), очевидно, однозначное. Силу Я назовем силой трения по Пенлеве. В частности, вектор А—1Я' будет одним из возможных перемещений. Если мы говорим о трении, то должно выполняться неравенство
(Я', х)< 0.
Сам Пенлеве рассматривал системы, состоящие из конечного набора материальных частиц в трехмерном евклидовом пространстве, с наложенными голономными связями [1]. Следующее утверждение — простое обобщение наблюдения Пенлеве.
Те о р е м а 1. Ковектор Ха в (7) — реакция связи (1) в предположении, что она идеальная.
Другими словами, не решая уравнений движения (1) и (4), множитель X можно найти как функцию от х, х и t, причем она не зависит от слагаемого Я'.
Действительно, уравнение (4) имеет следующий явный вид:
Ах = Ф + X а + Я', (8)
где Ф — известная вектор-функция от состояния и времени. Продифференцируем уравнение связи по t : (а, х) = с, где с — известная скалярная функ-
ция от х, х, t. Подставим сюда ускорение, найденное из (8):
Х(а, А-а) + (а, А^Ф) + (а, А'1 Я') = с.
Остается заметить, что (а, А-1а) Ф 0 и (a, A 1К) = 0 ввиду предположения об ортогональности ковек-торов a и К.
Замечание. Если в разложении (7) ковекто-ры a и К считать ортогональными в какой-либо другой евклидовой метрике, то теорема 1 уже, как правило, не будет справедливой: множитель X обязательно будет зависеть от силы К.
Согласно (7) работы сил К и К на всех возможных перемещениях совпадают. С другой стороны, по теореме Пифагора,
<Я, Я)* = X2<а, а)* + <Я', Я')*,
поскольку ковекторы а и К ортогональны. Следовательно,
<Я, Я)* ><Я', Я')*, (9)
причем равенство имеет место, лишь когда К = К'. Неравенство (9) можно записать в виде
(А1 Я, Я) > (А'1 Я', Я'). Отсюда вытекает
Теорем а 2. Среди сил с одной и той же работой на возможных перемещениях сила трения по Пенлеве имеет наименьшую длину во внутренней метрике.
Для движения в трехмерном евклидовом пространстве эта теорема также имеется у Пенлеве [1].
СУХОЕ ТРЕНИЕ В ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМАХ
Развиваемый подход позволяет сформулировать обобщенный закон Амонтона—Кулона сухого трения для лагранжевых систем общего вида с однородными связями (когда Ь = 0):
Я' = -^Х. (10)
|Х|
Здесь N — давление системы на связь — дается формулой (6), причем реакция связи вычисляется без учета трения,
|х| = (Ах, х)1/2
есть величина скорости, а Ф — оператор анизотропного сухого трения, который может зависеть от положения системы х и времени t. Этот оператор удовлетворяет следующим двум условиям:
1°. (Фх, х) > 0 для всех скоростей х, удовлетворяющих уравнению связи (а, х) = 0;
2°. ФгА-1а = ца для некоторого ц е К.
Первое свойство отвечает общему условию диссипации энергии при наличии трения, а второе — условию, что вектор
А"1 Я' = рА_1Фх, р = -¡^,
|х|
есть возможное перемещение рассматриваемой системы. Тогда
0 = (а, А^Фх) = (Ф А а, х)
для всех х, удовлетворяющих уравнению (а, х) = 0. Отсюда вытекает условие 2°.
Если Ф = кА (к > 0), то условие 2° заведомо выполнено. Такое сухое трение естественно назвать изотропным. Положительное число к имеет смысл приведенного коэффициента трения.
Подчеркнем, что при условии 2° множитель X в (7) не зависит от тензора трения Ф. Однако в ряде примеров, предложенных самим Пенлеве и его последователями (см. [1, 2]), это условие не выполнено, что приводит к зависимости множителя X от коэффициента сухого трения. В частности, при достаточно больших коэффициентах трения давление системы имеет сингулярности. Поэтому движение системы не определено при всех начальных состояниях, что приводит к так называемым парадоксам Пенлеве. Однако настоящий парадокс Пенлеве заключается в том, что трение в примерах Пенлеве не является трением по Пен-леве.
Следует иметь в виду, что формула сухого трения Амонтона—Кулона (10) определена в случае движения системы (когда х Ф 0). Этот закон можно дополнить следующим "принципом покоя": сила сухого трения покоя по величине не превосходит возможной силы трения того же направления при движении системы. Такое дополнение закона Амонтона—Кулона (впрочем, как и сам закон) является приближенным, поскольку (как хорошо известно) коэффициент сухого трения при движении на самом деле меньше статического коэффициента трения (см. по этому поводу [3]).
ЗАДАЧА О ТОРМОЗНОЙ КОЛОДКЕ
В качестве примера развиваемой теории сухого трения рассмотрим известную задачу о тормозной колодке (см. [2, 4]). При традиционном подходе в этой задаче также имеет место парадокс Пенлеве (рис. 1).
Рассмотрим систему, состоящую из диска, вращающегося вокруг точки О, и собственно тормозной колодки, которая может вращаться вокруг неподвижной точки О1.
Если предположить, что диск и колодка взаимодействуют посредством горизонтальных сил сухого трения с коэффициентом ц, то при условии
ац - Ь > 0 (11)
760
КОЗЛОВ
----ф = 0
Рис. 1.
Рис. 2.
имеет место парадокс Пенлеве: элементарный анализ приводит к противоречиям и движение системы вообще не определено (см. [2, 4]). В [4] этот парадокс устраняется с помощью введения продольной или поперечной упругости взаимодействующих тел (например, колодки), как это делалось в ранних работах Лекорню и Прандтля.
В [5] утверждается, что при условии (11) диск вообще нельзя повернуть против часовой стрелки. Ниже дан анализ задачи в рамках развиваемого лагранжева формализма.
Эта система имеет две степени свободы; в качестве обобщенных координат примем углы поворота у и ф диска и колодки соответственно (рис. 1). На систему наложена односторонняя связь
Г = ф> 0.
(12)
Строго говоря, имеется еще одно одностороннее ограничение, отвечающее касанию колодки и диска с противоположной стороны. Но мы ограничимся изучением системы в окрестности связи (12). Точнее, будут рассматриваться движения системы с двусторонней связью / = 0 при учете возможности схода с этой связи. Так что координаты у и ф будут избыточными.
Кинетическая энергия системы равна
гт I .2 / .2 Т = 2у + /ф,
где 1(1) — момент инерции диска (колодки) относительно точки О(О1). Пусть т — масса колодки, g — ускорение свободного падения. Предположим, что на диск действует момент М. Следуя п. 2, введем еще тензор анизотропного сухого трения
Ф=
а р у 5
вид которого предстоит еще уточнить. Во-первых, матрица Ф + Фг должна быть неотрицатель-
но определенной. С другой стороны, согласно условию 2°,
а р у 5
Г о о I-1
Откуда р = 0. Условие диссипации сводится к неравенствам
а > 0, 5 > 0 и 4а5 > у2.
Запишем теперь уравнения движения с учетом формулы (10) для обобщенной силы сухого трения:
N
/ф = _ <? + х К _ дф
Iу = М - -
дф л//у2 + 1ф N
2
:аф,
(13)
:(у(р + 5у ).
л//уу2 + 1(р2
Здесь V — потенциальная энергия колодки в однородном силовом поле. К этим уравнениям надо добавить уравнение связи / = ф = 0. Ясно, что производная ^ при ф = 0 равна —mgЬ.
Подставляя ф = 0 в первое уравнение и считая диск вращающимся (у Ф 0), получим, что X = mgЬ.
Следовательно, N = — = тЬ и второе уравне-
4/ 4~/
ние принимает вид
У ^
1у = М - mgЬ ц ¡-¡¡-г
ц=
4й
Это — обычное уравнение вращения диска с сухим трением. Роль безразмерного коэффициента трения играет ц.
Главное во всем этом деле — равенство нулю коэффициента р. Именно благодаря этому множитель Лагранжа X не зависит от коэффициентов трения и задача в целом становится корректной. Отметим, что элементы а и у оператора трения Ф не оказывают никакого влияния на вращение
ц
диска. Так что сухое трение в этом примере можно считать изотропным (в смысле определения п. 2).
Условие р = 0 имеет ясный механический смысл: диск и колодка взаимодействуют в точке контакта с силами Ш и Ш', линия действия которых проходит через точку 01 (рис. 2). Силы Ш и Ш' в сумме дают нуль. При этом сила Ш, с которой диск действует на колодку, не оказывает никакого влияния на движение колодки (в рамках гипотезы о твердых телах). Однако сила Ш оказывает тормозящее действие на вращение диска: ее момент относительно т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.