ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 739-741
УДК 519.61
ЦЕНТРОСИММЕТРИЧНОСТЬ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ, СОХРАНЯЮЩИХ МНОЖЕСТВО (T + Я)-МАТРИЦ ПУТЕМ ПОДОБИЯ
© 2015 г. А. К. Абдикалыков
(010010 Астана, ул. Мунайтпасова, 7, Казахстанский филиал МГУ) e-mail: adiko2008@gmail.com Поступила в редакцию 23.09.2014 г.
Рассматривается следующий вопрос: каковы унитарные n х n-матрицы U, которые отображают линейное пространство (T + Н)-матриц в себя посредством подобия. В недавних публикациях аналогичные вопросы были решены для пространств тёплицевых и ганкелевых матриц. Для (T + Н)-матриц задача описания подходящих матриц показалась значительно более сложной и до сих пор остается открытой. Ее полному решению может способствовать результат, доказываемый в данной статье: всякая такая матрица U центросимметрична либо косо-центросимметрична, причем для нечетных n возможен только первый вариант. Библ. 3.
Ключевые слова: унитарное подобие, (T + Н)-матрица, центросимметричная матрица.
DOI: 10.7868/S0044466915050026
1. ВВЕДЕНИЕ
Напомним, что матрица Tпорядка n называется тёплицевой, если для ее элементов верны соотношения ty = ti_ 1,j_ 1, i, j = 2, 3, ..., n, а матрица H — ганкелевой при соблюдении условий Ну = = Hi_1,у + 1, i = 2, 3, ..., n, j = 1, 2, ..., n — 1. В частности, ганкелевыми являются так называемая перъединичная матрица P, единственные ненулевые элементы которой равны единице и находятся на побочной диагонали, и матрицы E11 и Enn, где Ey — матричная единица с единственным ненулевым элементом в позиции (i, j). Квадратная матрица, представимая в виде суммы тёплицевой и ганкелевой, называется (T + Н)-матрицей, а множество всех таких матриц порядка n образует линейное подпространство THn. Для определения принадлежности матрицы A множеству THn проверяются простые локальные условия, называемые правилами ромба (см. [1]):
ai-1,j + ai +1,j = ai, j-1 + ait j +1, 2 < i, j < n - 1 .
Рассмотрим следующий вопрос: какие унитарные матрицы отображают пространство THn в себя посредством подобия. Будем писать U е UAut(THn), если унитарная матрица Uобладает таким свойством. Другими словами, если Uе UAut(THn), то VA е THn U*AUе THn. В [2] и [3] были доказаны приведенные ниже теоремы, касающиеся вида множеств UAut(Tn) и UAut(Hn).
Теорема 1. Всякая матрица W е UAut(Tn) имеет одну из следующих двух форм:
а) W = adiag(1, б, б2, ..., &n -1), где оба числа а и б по модулю равны единице;
б) W = aPndiag(1, б, б2, ..., sn-1), где |а| = |б| = 1.
Теорема 2. Пусть n > 3 — нечетное число. Тогда множество UAut(Hn) есть группа, изоморфная прямому произведению унитарной группы U1 и четвертой группы Клейна. При этом образующими элементами последней являются диагональная матрица Dn = diag(1, —1, 1, —1, ..., 1) и перъединичная матрица Pn.
В действительности (устное сообщение Х.Д. Икрамова) утверждение теоремы 2 остается верным и для четных n начиная с n = 4.
Напомним, что квадратная матрица A порядка n называется центросимметричной (косоцентро-симметричной), если A = PAP (A = —PAP). В разд. 2 данной статьи будет доказано следующее утверждение о центросимметричности матриц из UAut(THn).
740
АБДИКАЛЫКОВ
Теорема 3. При п > 2 любая матрица и е иАи!(ТНп) центросимметрична или косоцентросим-метрична, причем косоцентросимметричной она может быть только при четном п.
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3
Пусть п > 3. Определим множество матриц
Бп - {Б е ТНп\ УХ е ТНп БХ е ТНп, ХБ е ТНп}.
Очевидно, что при любых а, р е С матрицы вида а/ + рР принадлежат множеству Бп. Докажем, что другие матрицы в этом множестве не содержатся.
Лемма 1. Справедливо соотношение Бп = {а/ + рР | а, р е С}.
Доказательство. Пусть К — произвольная матрица из Бп. Тогда КЕ11 е ТНп, в то время как первый столбец этой матрицы совпадает с первым столбцом матрицы К, а все остальные столбцы нулевые. Применяя правило ромба, получаем, что в матрице КЕП, а значит и в матрице К, все элементы первого столбца, кроме угловых, обязаны быть нулевыми. Например, {КЕП}21 = = {КЕП}12 + {КЕП}32 — {КЕП}23 = 0. Рассмотрев матрицу Е11К, заключаем, что это же верно и для первой строки К. Аналогично получаем то же самое и для последней строки и последнего столбца. (Для этого рассматриваются матрицы КЕпп и ЕппК.) Таким образом, матрица К имеет вид
(
К -
кп 0 ... 0 ки
0
0
К
0 0
V кп1 0 ... 0 кпп )
где К' — матрица порядка п — 2.
Докажем, что К' е Бп - 2. Пусть X' — произвольная матрица из ТНп _ 2. Можно построить такую матрицу Xиз ТНп, что она содержит X' как главную подматрицу, расположенную на пересечении строк и столбцов с номерами 2, ..., п — 1. Чтобы доказать это, разобьем X' на сумму тёплицевой и ганкелевой матриц. Пусть X' = Х1 + Х2 Р, где матрицы Х1, Х2 — тёплицевы. Пространство тёпли-цевых матриц Тп линейно, и каждую матрицу из Тп можно представить в виде линейной комбинации матриц Znq, q = — п + 1, ..., п — 1, где
7 =
п"
Г^0), q - 0, ..., п - 1, {(Г-"(0))Т, q -- п + 1,.,-1. Здесь /п(0) — жорданова клетка порядка п с собственным значением 0. Тогда, если
Х1 - X
п - 2, " 1
" - - п + 3
Х2 - X
" - - п + 3
- 2,",
то матрицы
Х1- X
" - - п + 1
Х2 -
X
" - - п + 1
V 7
у " п"
будут содержать Х1 и Х2 соответственно как подматрицы при любых значениях vq, п — 3 < < < п — 1. Это следует из аналогичного соотношения для матриц и -2, q при q = — п + 3, ..., п — 3. Таким образом, искомая тёплицева матрица X = X1 + X2Р найдена.
Пусть L = XXе ТНп, тогда подматрица L', составленная вышеописанным образом, обязана содержаться в ТНп _ 2. При этом L' = К'X'. Аналогично доказывается, что и X'К' е ТНп _ 2. Следовательно, К' е Бп -2.
3
3
п
п
п
п
ЦЕНТРОСИММЕТРИЧНОСТЬ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ 741
Применяя к матрице K' те же рассуждения, что и к матрице K, и повторяя этот процесс редукции порядка, в конце концов получаем, что K = D1 + D2P, где D1, D2 — диагональные матрицы. Однако K обязана быть (T + Н)-матрицей, и поэтому можно применить правило ромба к ней самой. При четном n легко получается
k22 = k33 = — = kn -1, n -1 = a, k2, n - 1 = k3, n - 2 = — = kn - 1, 2 = P ,
и K можно представить в виде K = aI + pP + yuEn + Y^n + YnEn1 + YnEnn. Если n = 2l + 1 > 3 — нечетное число, то
k22 = k33 = — = kll = a1, kl + 2, l + 2 = kl + 3, l + 3 = — = k2l, 2l = a2, k2, 21 = k3, 21 - 1 = — = kl, l + 2 = P1, kl + 2, l = kl + 3, l - 1 = — = k2l, 2 = P2.
Выписывая правило ромба для элементов (l, l + 1), (l + 2, l + 1), (l + 1, l), (l + 1, l + 2), получаем a1 + p1 = a1 + p2 = a2 + p1 = a2 + p2 = kt +1, l +1. Следовательно,
a1 = a2 = a, p1 = p2 = p, kl +1, г +1 = a + p
и верно представление
К = aI + p P + Y11E11 + Y1nE1n + Yn1En1 + YnnEnn.
Наконец, если n = 3, то K приобретает тот же вид при коэффициентах a = 0, р = k22, y11 = k11,
y33 = k33, y13 = k13 — k22, y31 = k31 — k22.
Итак, в любом случае найдутся комплексные константы a, р, y11, Y1n, Yn1, Ynn, для котор^тх имеет место соотношение
К = aI + рP + Y11E11 + Y1nE1n + Yn1En1 + YnnEnn.
Но тогда K(E12 + E21) = (aI + pP)(E12 + E21) + y11E12 + Yn1En2 e THn, так что при n > 3 имеем y11 = = Yn1 = 0, поскольку y11E12 + Yn1En2 e THn. Рассмотрев аналогичным образом матрицу K(En n -1 + + En _ 1, n), заключаем, что и Y1n = Ynn = 0 при n > 3. Следовательно, в этом случае K = aI + pP.
Если же n = 3, то две рассмотренные выше матрицы дают лишь равенства y11 = —Y31 и y13 = —'Y33. Однако, применив правило ромба к матрице (E12 + E21)K, получим еще одно соотношение y11 = —Y13. Но тогда K = (a + Y11)I + (a — Y11)P и, значит, лемма верна и в этом случае. Таким образом, лемма 1 доказана.
Докажем еще одно вспомогательное утверждение, которое поможет нам в описании множества UAut(THn).
Лемма 2. Если U e UAut(THn), S e Sn, то U*SU e Sn.
Доказательство. Пусть U*SU = Б, X — произвольная матрица из THn. Тогда найдется матрица Xe THn такая, что U*XU = X. Поэтому SX = U*SU• U*XU = U*SXUe THn, так как Ue UAut(THn), а SXe THn. Аналогично доказывается, что XS e THn. Лемма доказана.
Пусть теперь U — произвольная матрица из UAut(THn). Тогда U*PU = K0 e Sn. Из леммы 1 следует, что K0 = aI + pP. Кроме того, нам известно, что К0 = I и спектры матриц K0 и P совпадают. Таким образом, K0 = ±P, причем при нечетном n возможен только верхний знак. Рассмотрим случай K = P. Тогда U = PUP — центросимметричная матрица. В случае же K0 = — P получаем U = —PUP, и матрица U — косоцентросимметричная. Доказательство теоремы завершено.
В заключение автор хотел бы выразить свою благодарность Х.Д. Икрамову за постановку задачи и внимание к данной работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Икрамов Х.Д., Чугунов В.Н., Абдикалыков А.К. О локальных условиях, характеризующих пространство (Т + Н)-матриц // Докл. АН. 2014. Т. 457. № 1. С. 17-18.
2. Икрамов Х.Д. Унитарные автоморфизмы пространства тёплицевых матриц // Докл. АН. 2014. Т. 456. №4. С. 389-391.
3. Икрамов Х.Д. Унитарные автоморфизмы пространства ганкелевых матриц // Матем. заметки. 2014. Т. 96. № 5. С. 687-696.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.