ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2009, том 45, № 1, с. 30-43
НАУЧНАЯ СЕССИЯ: ИННОВАЦИОННАЯ ЭКОНОМИКА: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
УЧЕТ ИННОВАЦИИ В МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОМ ДИНАМИКИ:
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД* © 2009 г. В. И. Аркин
(Москва)
ОПИСАНИЕ ПОДХОДА
Модели экономической динамики являются одним из краеугольных камней математической экономики. История их создания связана с именами нобелевских лауреатов В. Леонтьева, Л. Канторовича, Д. Гейла и одного из величайших математиков XX в. Джона фон Неймана. Формально эти модели могут описывать функционирование любого экономического объекта от предприятия до народного хозяйства.
На основе моделей экономической динамики была построена общая теория экономического равновесия. Именно поэтому включение инноваций в модели экономической динамики может служить методологической основой для разработки общей теории экономического развития с учетом "экономики знаний" (Макаров, 2003).
Основные результаты теории экономической динамики связаны с вопросами существования стимулирующих (теневых) цен и анализом асимптотического поведения оптимальных траекторий. С помощью указанных цен можно соизмерить между собой все затрачиваемые ресурсы и выпускаемые продукты, а также обеспечить балансовые ограничения по натуральным продуктам.
С математической точки зрения в основе многих моделей экономической динамики лежит некоторая оптимизационная задача с выпуклой структурой.
Общая модель экономической динамики может быть представлена в терминах многозначного отображения Q (•), переводящего точку х £ Л+, характеризующую запас продуктов в начале планового периода, в одну из точек множества Q(х) с в конце периода. Множество Q (х) описывает "технологические возможности" в состоянии х за один плановый период, т.е. множество всех выпусков, которые могут быть получены в конце этого периода из вектора ресурсов х. Множество Q = {(х,I): I £ 0(х)}, являющееся графиком отображения 0(х), характеризует совокупность знаний о способах использования ресурсов. Если задан некоторый вектор начальных ресурсов х, то динамика системы определяется включением
х!+1 е 0(х), хо = х. (1)
Предположим, что существует возможность расширить наши знания, т.е. создать новый технологический способ. Другими словами, существует возможность перехода от исходной технологии 00 = 0 к новой технологии, которая описывается многозначным отображением 0\ ) с графиком 01 ^ 00.
Пусть 9 — момент появления нового технологического способа, т.е. момент, начиная с которого становится доступной технология 0 . Будем считать, что момент 9 зависит от выбора траектории системы, т.е. является управляемой величиной. В этом случае будем говорить об управляемом инновационном процессе. Динамика системы описывается формулой:
Л00(х), I <0, хо = х; х+1 е < 1 (2)
Щх), I >0.
Функция 9 = 9(хь х 2,...), принимающая целые значения, считается заданной. Для того чтобы формула (2) была корректной, необходимо, чтобы функция 9 обладала свойством неупреждае-
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 0806-00154 и 07-01-00541).
мости: если 9(xb...,xt,xt+i,...) = t, то 9(xb...,xt,x't+i,...) = t для любой последовательности (xt+1 x t+2,...) •
Если задана некоторая неупреждающая функция 9 = 9 (xk..., x т), то можно поставить экстремальную задачу. Выбрать траекторию (план) {xt}, удовлетворяющую (2) и доставляющую максимум функционалу:
0-1 т
£p°(xt) + ^pW, (3)
О 0
где p°(x), p\x) — заданные функции полезности, относящиеся к технологиям Q0 и Q1, соответственно.
Задача (2)—(3), как правило, не является выпуклой при "самых хороших" предположениях от/-1° /->1 ° 1л
носительно Q , Q, ф , ф , 0.
Пример. Пусть 0 = min{t: xt > £,}, где £, — некоторый фиксированный вектор. Введем новое многозначное отображение:
IqYx) при x > Е; R (x) = f О
IQ (x) в остальных случаях.
Тогда (2) эквивалентно включению:
xt+1 е R(xt), x° = х (4)
График R отображения R(-), вообще говоря, не является выпуклым, даже если множества Q
и Q0 выпуклы. Отмеченное обстоятельство представляет собой одну из основных трудностей при исследовании конкретных моделей экономической динамики с эндогенно меняющейся дискретным образом технологией.
Основная идея предлагаемого ниже подхода — считать 9 случайной величиной с распределением, зависящим от траектории системы. Забегая вперед, отметим, что хотя формально вероятностная постановка охватывает детерминированный случай, однако те условия "невырожденности", которые будут наложены на распределения соответствующих случайных величин, исключают детерминированную ситуацию.
Планом в вероятностной модели будем называть два семейства функций Z° = {xt, t > °}, Z*(0) = {xj(0), t >0}, удовлетворяющих условиям:
xt+i е Q0(x°), t > x° = х, xj1+i(0) е Ql(x](0)), t >0; x°(0) = x0°. Распределение целочисленной случайной величины 9 задается формулой:
Р(0 = t) = pt(x°, ..., xt0). (6)
Требуется найти план, доставляющий максимум функционалу
EZ
0-1 T
^pV) + ^(x^)) 00
(7)
20
Здесь Е — символ математического ожидания, указывающий, что распределение случайной величины 9 зависит от выбора последовательности 20 = I > 0}.
В работе (Аркин, 1986) был рассмотрен частный случай изложенной выше модели, когда распределение случайной величины 9 имеет вид:
I-1
Pt(x°,..., xt) = tf(x°)n [1 - q(x°) ].
k=1
Это распределение соответствует ситуации, когда считается заданной вероятность перехода на новую технологию q(x) в следующий момент времени при условии, что до этого момента система находится в состоянии х в старой технологии.
В настоящей работе будет рассмотрен другой способ формирования случайной величины 9. А именно, пусть £, некоторый фиксированный вектор, характеризующий минимальные затраты ресурсов, необходимые для создания новой технологии. Естественно считать £, случайным вектором с заданной функцией распределения n(x) = Р(2, < x). Тогда 0 = 0(2,) = min{t: x0 > £,} является случайной величиной, распределение которой зависит от выбранной траектории {xt } и функции распределения вектора 2,.
Другие подходы к учету инноваций в детерминированных экономических моделях см. (Romer, 1986; Макаров, 2008; Данилов, Кошевой, 2008). Асимптотические свойства оптимальных траекторий для вероятностных моделей Неймана—Гейла с инновациями были рассмотрены в (Сластников, 1989).
Данная статья организована следующим образом. В разд. 1 для модели Гейла с однократным изменением технологии в рамках вероятностного подхода описывается структура цен, стимулирующих оптимальный план. Разд. 2 посвящен доказательству результата, приведенного в разд. 1. Сначала формулируется некоторая общая задача управления стохастическими разностными уравнениями со смешанными ограничениями, частным случаем которой является модель Гейла с инновациями из разд. 1. Для задачи управления приводится необходимое условие оптимальности в форме стохастического принципа максимума, представляющего также и самостоятельный интерес. Этот результат затем используется для доказательства существования стимулирующих цен. И, наконец, разд. 3 посвящен обобщению результатов разд. 1 в двух направлениях. Во-первых, в рамках вероятностного подхода рассматривается модель с последовательно меняющейся технологией, и, во-вторых, предполагается, что характеристики новой технологии априори неизвестны и становятся известными только после появления этой технологии.
1. УЧЕТ ИННОВАЦИЙ В МОДЕЛИ ГЕЙЛА
Классическая модель Гейла характеризуется технологическим множеством T, элементами которого являются пары неотрицательных «-мерных векторов (a, b) и целевой функцией ф, определенной на T. Множество T предполагается выпуклым, а функция ф вогнутой. Пары (a, b) интерпретируются как технологические способы (производственные процессы), a — затраты, b — выпуск.
Последовательность производственных процессов Zt = (at, bt+1) 6 T называется планом, если выполнено следующее условие баланса:
bt > at, t = k,...,T-1. (8)
Вектор начальных запасов bk в момент времени к предполагается заданным. Требуется найти план, доставляющий максимум выражению:
т—1
^ф(at,bt+i) ^ max. (9)
k
Системой цен будем называть последовательность неотрицательных «-мерных векторов {yt, t = k,...,x}. Система цен {уt} с начальным вектором у k стимулирует (в смысле Гейла) план {zt} с начальным вектором bk на интервале времени [k, т], если выполнены соотношения:
а) при каждом t > k пара (at, bt+1) доставляет максимум величине
F(a,b) = ф(а,b) + уt+ф -уta (10)
по всем (a, b) б T;
б) при всех t > k
vt(bt - at) = о. (11)
Экономическая интерпретация этих условий хорошо известна. Если выполнено некоторое условие регулярности, то оптимальный план стимулируется некоторой системой цен.
Детерминированная модель Гейла с нововведениями. Предположим, что существует возможность перехода от исходной технологии Т0 = Т к технологии Т \ обладающей большим набором
Г~ Т-г1 т7 0
производственных способов: Т ^ Т .
Для реализации этой возможности необходимо передать часть ресурсов из сферы производства в сферу инноваций. В инновационной сфере происходит создание нового технологического способа. Процесс формирования этого способа характеризуется в каждый момент времени некоторым набором определяющих ("физических") параметров (ОП). Появление нового способа происходит при превышении этими определяющими параметрами некоторых уровней (барьеров), характеризующихся вектором £,.
Функционирование инновационной сферы описывается множеством пар (с,й) е Q с Я+ х Я™ , где с — материальные затраты, а d — вектор приращения ОП за один период. Модель записывается следующим образом:
(а,,Ь,+1) е Т°, 0 < , <0-1,
(а,,ь+1) еТ1, 0<,<Т-1,
(с,, й,+1) е 0, 0 < , <т-1, (12)
I
0 = ш1и{,: >£},
о
Ь, > а{ + с,, 0 < , <т-1.
План определяется последовательностью {= {(а,,Ь,+1),(с,й,+1)}, удовлетворяющей условиям
(12). Векторы начальных ресурсов Ь0 и начальных ОП й0 считаются заданными. Требуется выбрать план, доставляющий максимальное значение функционалу:
0-1 т-1
^Ф°(а,, Ь,+1) + ^ф1(а,, Ь,+1). (13)
00
Здесь ф° и ф1, определенные соответственно на Т0 и Т1, вогнут
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.