КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2008, том 53, № 6, с. 971-977
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ ^^^^^^^^^^ СИММЕТРИЯ
УДК 548.0:531.7,548.1:11:12
УГЛОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В РАЗБИЕНИЯХ ДЕЛОНЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2008 г. Д. Л. Тытик
Институт физической химии и электрохимии РАН, Москва E-mail: lmm@phyche.ac.ru Поступила в редакцию 23.01.2008 г.
Предложен метод построения угловых величин для систем Делоне, на основе которого можно провести классификацию пустот в кристаллических структурах. Рассмотрен алгоритм нахождения в кристаллической структуре кристаллического модуля по обобщенной пустоте, включающей неэквивалентные пустые шары соответствующего симплициального разбиения Делоне (компьютерное моделирование).
PACS: 61.43.Bn, 61.50.Ah, 61.50.Nw
ВВЕДЕНИЕ
Большое количество работ, появившихся в последние десятилетия, посвящено свойствам вещества в нанометровом диапазоне размеров. Экспериментальные данные указывают на регулярное строение вещества на локальном уровне, что проявляется в существовании стабильных кластеров с магическими числами атомов, полученных в неравновесных условиях [1]. В [2, 3] предложены геометрические модели, которые позволяют объяснить некоторые магические числа у кластеров. Несмотря на то что есть теоретические методы для моделирования и расчета многих физико-химических свойств структуры, проблемы самоорганизации кластеров и кристаллов остаются до сих пор неразрешенными в силу сложности описания взаимодействия между атомами в многочастичной задаче. Поэтому в настоящее время необходимо как разрабатывать новые теоретические методы, так и применять уже известные подходы в приложении к вопросам структурообразования на разных масштабах. В статье развиты геометрические идеи, связанные с локальным подходом к описанию строения вещества. Наиболее важные для дальнейшего изложения геометрические понятия, описывающие локальный порядок, появились в работах Е.С. Федорова (кристаллическая молекула) [4], Б.Н. Делоне (разбиение Делоне, система Делоне) [5, 6], Н.П. Долбилина, М.И. Штогрина, Р.В. Галиулина (локальная теорема) [7, 8], Н.А. Бульенкова (кристаллический модуль) [9, 10].
Развитие методов вычислительной геометрии привело к появлению алгоритмов компьютерного построения разбиения Делоне произвольной системы точек (атомов), что значительно упрощает исследование локальных геометрических свойств вещества. Параллельно с развитием тео-
ретических методов исследования вещества идет накопление банка данных неорганических структур, и к настоящему времени их число превышает 50000.
Статья посвящена анализу локального порядка в некоторых структурных типах кристаллов с помощью угловых величин симплициального разбиения Делоне и рассмотрению конструктивного алгоритма построения кристаллического модуля.
МЕТОД И ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ
Симплициальное разбиение Делоне структуры. Наиболее простые условия, которые могут быть наложены на произвольную систему точек в пространстве, состоят в следующем: 1) точки обособлены одна от другой, 2) в системе точек нет бесконечно больших пустот. В этом состоит определение (Я, г) системы точек {А}, которое ввел Б.Н. Делоне. Для системы {А} методом пустого шара можно получить разбиение Делоне пространства на симплексы.
Справедлива теорема: полиэдры Делоне системы {А} не входят друг в друга и заполняют все пространство, будучи смежными по целым граням. Разбиение пространства на полиэдры Делоне однозначно определяется системой {А} и обратно, однозначно ее определяет.
В разбиении Делоне внутрь сферы, описанной вокруг каждого симплекса (четыре атома), не попадают другие точки (атомы) множества. В случае кристаллов на поверхности пустого шара может оказаться более четырех точек системы, которые составляют вершины некоторого несимплициаль-ного многогранника. Такой многогранник называется несимплициальным полиэдром Делоне и разбивается на симплексы Делоне. При этом разбие-
Рис. 1. Схема алгоритма получения угловых характеристик симплексов в разбиении Делоне на примере двумерного фрагмента структуры (а). Жирная точка - геометрический центр фрагмента, точки обозначают атомы, пунктирные линии обозначают "грани" симплексов (треугольники), стрелки являются нормалями к "граням" симплексов. Нормали восстанавливаются ко всем внешним граням симплексов. Два сорта симплексов (тетраэдр и квартоктаэдр) (в) в разбиении Делоне фрагмента ГЦК структуры в форме кубооктаэдра (г) и соответствующая этому фрагменту угловая диаграмма (д).
ние можно сделать различными способами, и такие конфигурации точек называются вырожденными. В трехмерном пространстве для поли-
4
эдра Делоне с N вершинами существует Cn различных симплексов, причем в разных конкретных разбиениях может быть различное число симплексов. Отсюда следует, что в кристаллических системах может существовать несколько сортов симплексов, с помощью которых описывается локальный порядок в веществе. В [11, 12] предложены формулы для расчета безразмерных индексов, которые позволяют распознать разные по форме симплексы.
Алгоритм получения угловых величин сим-плициального разбиения Делоне. Основной закон кристаллографии, сформулированный Сте-ноном и Роме де Лиллем, утверждает, что углы между соответственными гранями и ребрами кристаллов одного и того же вещества являются постоянными. Можно ожидать, что подобные угловые инварианты существуют и на локальном уровне, поэтому естественно ввести измерение угловых характеристик на масштабе отдельных симплексов в разбиении Делоне. Алгоритм состоит в построении для произвольной системы точек разбиения Делоне на симплексы, ко всем граням которых восстанавливаются внешние нормали (рис. 1a). Декартовы координаты нормалей к граням симплексов преобразуются в сферические координаты с использованием формул сферической тригонометрии (рис. 16):
cos A - cos B cos C
, cos B -cos A cos C
cos b = -. . . „-,
sin A sin C
cos C - cos A cos B
cos с = -. . . ,.-.
sin A sin B
Для примера на рис. 1в показаны симплексы, на которые разбивается ГЦК структура (тетраэдр и квартоктаэдр - четвертая часть октаэдра). Эти симплексы имеют одинаковые объемы и в твердой фазе находятся в соотношении 1 : 2 соответственно. На рис. 1г представлено разбиение Делоне на симплексы фрагмента ГЦК структуры в форме кубооктаэдра. Если декартовы координаты (x, y, z¡) единичных внешних нормалей перевести в сферические координаты (p¿, ф;, 6¿), то получится диаграмма углов ГЦК структуры, показанная на рис. 1д. Построение угловой диаграммы аналогично построению стереографической проекции нормалей к граням кристалла, но используется проекция Меркатора сферы на цилиндрическую поверхность, которая развертывается на плоскость. При этом в координатах (ф, 6) получается диаграмма угловых величин симплициально-го разбиения Делоне данной структуры. Использование преобразования координат нормалей к граням симплексов позволяет исключить из рассмотрения линейную координату р. При таком подходе основной характеристикой локального порядка являются азимутальные и полярные углы внешних нормалей к граням симплексов.
Для демонстрации возможностей метода на рис. 2 представлены угловые диаграммы для сим-плициальных разбиений Делоне кристаллических структур некоторых структурных типов (таблица) [13].
0, град 160 : 120 80 40
Си
0 80 160 240 320
ф, град
0, град С-а
160 -
120
80 -
40 1 | .....
0 80 160 240 320
0
0, град
160 -
120 -
80
40
0
0, град
160 -
120
80 -
40
0
0, град
160 -
120 -
80 -
40
0
80
160 240 320 ф,„рад
0, град Бп-р
160 - • . . .
120 -
80 • •
40 ~ Г 1 1' 1 1*1 1
0 80 160 240 320
ф, „рад
0, град 160 120 80 40
Сг3Б1
0, град 160 : 120 80 40
и-а
ф, град
: •
< !
_1_I_I_I_I_I_|_
80 160 240 320 ф, град
СэС!
_|_I_I_I_I_I_I_1_
0
80
80
160 240 320 ф, град
0, град
160 -
120
80 -. *.
40 | 1
0 80
160 240 320 ф, град
I_I_I_I_I_I_|_
160 240 320 ф, град
0, град №Аэ 0, град №21п
160 - 160 -
120 _ ; 120 - .....
80 - . .... 80 _ " • • • • •
40 ~ 1 1 ...... 40 1 .......
0 80 160 240 320 0 80 160 240 320
ф, град
ф, град
0, град №Т1
160 -
120 - • ...
80 - " '
40 ~ 1 1 ......
0 80 160 240 320
0, град
160 -
120 -
80 -
40
0
СаБ9
ф, град
80 160 240 320 ф, град
ТЮ2-а
0, град 160 : 120 80 40
_|_I_I_I_I_I_I_|_
ТЮ2-р
0, град 160 : 120 80 40
Mg
_1_I_I_I_I_I_I_I
0
0, град
160 -
120 -
80 - •
40
0
_|_I_I_I_I_I_I_|_
80 160 240 320 ф, град
С-Р
_|_I_I_I_I_I_I_|_
0, град 160 120
80 160 240 320 ф, град
№С1
80 -
40
0
0, град
160 - •
120
80 - .
40 ~ *
0
_1_I_I_I_I_I_I_|_
80 160 240 320 ф, град
_|_I_I_I_I_I_I_1_
80
0, град 160': 120 80 40
160 240 320 ф, град
AuCd
_1_I_I_I_I_I_I_I
0
0, град
160 -
120
80 -
40
0
J_I_I_I_I_I_I_I_I
80 160 240 320 ф, град
Си20
_|_I_I_I_I_I_I_|_
80
0, град 160 : 120 80 40
160 240 320 ф, град
CdI^
]_I_I_I_I_I_I_|_
80 160 240 320 ф, град
0, град
160
120 1 1" 1 *% 1 " ■ 'ч
80 " 1 III ■
40 ~ | " | Т 1*1 * * 1
0 80 160 240 320
0 80 160 240 320
ф, град
0, град М§Си2
160 - • • • •
120
80 . *
40 ~ Г | * 1 1*1 1 *1
0 80 160 240 320
0
0, град
160 -
120 -
80
40
0
80
160 240 320 ф, град
СиА12
_|_I_I_I_I_I_I_1_
80
ф, град
ф, град
160 240 320 ф, град
Рис. 2. Угловые диаграммы для симплициальных разбиений Делоне некоторых структур (таблица).
974
тытик
Кристаллоструктурные параметры некоторых структурных типов
Структурный тип Пространственная группа Типичная фаза
A1 Рт3т Си
A2 1т3т
A3 Р63/ттс Mg
A4 Гй3т С-а
A5 14/атй Бп-р
A9 Р63/ттс С-Р
A15 РтЗп С^!
A20 Стст и-а
B1 Рт3т №С1
B2 Рт3т Сэа
B3 ^ 4 3т
B4 Р63тс
B81 Р63/ттс
B82 Р63/ттс №21п
B19 Ртст AuCd
B32 ГйЗт №11
C1 РтЗт СаБ2
C3 Р 4 Зт Си20
C4 Р42/тпт ТЮ2-а
C5 141/атй ТЮ2-Р
С6 Р 3 т CdI2
C14 Р63/ттс М§7п2
C15 ГйЗт М§Си2
C16 14/тст СиА12
Непосредственно из диаграмм видно, что они являются удобным изображением локальных угловых характеристик структуры. Все диаграммы построены для стандартных установок соответствующих кристаллов, и их вид может меняться в другой установке. Число точек с коо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.