научная статья по теме УПРАВЛЕНИЕ ЧАСТОТАМИ И ФАЗАМИ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Математика

Текст научной статьи на тему «УПРАВЛЕНИЕ ЧАСТОТАМИ И ФАЗАМИ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 68. Вып. 5, 2004

УДК 531.36 : 534.1; 62-50

© 2004 г. А. С. Ковалева

УПРАВЛЕНИЕ ЧАСТОТАМИ И ФАЗАМИ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Строится ограниченное по норме локально оптимальное управление, минимизирующее уклонение частот и фаз нелинейной системы от резонансных значений при действии ограниченных возмущений. Показано, что управление не зависит от вида возмущения и структуры консервативной части системы. Как пример, построены частотное и фазовое управления вынужденными колебаниями системы двух слабо связанных осцилляторов.

Известно [1, 2], что исследование возмущенного движения в окрестности резонанса сводится к исследованию движения "эквивалентного маятника". Фаза движения маятника соответствует сдвигу фаз, а его частота - уклонению частот системы от резонансной поверхности. На фазовой плоскости выделяются области колебаний и вращения маятника, и определяется сепаратриса резонанса, разделяющая эти области. Переход через сепаратрису из области ограниченных колебаний в область вращения соответствует неограниченному возрастанию частотной расстройки и срыву резонанса. Цель управления - противодействовать выходу системы из допустимой области под действием возмущений.

Эта модель позволяет воспользоваться хорошо развитыми асимптотическими методами управления колебательными системами [3, 4]. Формально процедура усреднения применима к достаточно широкому классу систем, но на практике задача оптимального управления траекторией нелинейной системы до выхода из резонансной области на относительно большом интервале времени представляет значительные трудности и разрешима только для системы с одной степенью свободы [5, 6]. Задача упрощается, если рассматривать движение в ограниченной области на относительно коротком интервале времени. В такой постановке рассматривалась задача о выходе из области под действием случайных возмущений [7]. В работе задача о выходе из области заменяется задачей локально оптимального управления [8], минимизирующего в каждый момент времени меру уклонения частот и фаз от резонансных значений. Применение локально оптимального управления позволяет отказаться от детального описания свойств возмущения.

1. Основные уравнения и постановка задачи. Рассмотрим двухчастотную систему со скалярной медленной переменной. Обобщение на многомерный случай обсуждается в разд. 2.

Уравнения движения приведены к стандартной форме системы с быстрыми и медленными переменными

х = г/(х, 01; 02) + г"Е(х, 01; 92)и + еД(х, 01; 02, г)), х е X, и е и

0«■ = ю,(х) + г/■(х, 01; 02) + гпО(х, 01; 02)и + гД,(х, 01; 02, £(г))

где 0;(тоё2л), ■ = 1, 2, X - открытая область, и - замкнутая область в Я1, г > 0 - малый параметр. Показатель степени п в коэффициенте гп будет выбран таким образом, чтобы управление оставалось слабым, но противодействующим внешним возмущениям в соответствии с требованиями задачи.

Предполагается, что правые части системы (1.1) 2п - периодичны по быстрым фазам 0!, 02 и удовлетворяют требованиям гладкости по всем переменным, обеспе-

чивающим существование решения и справедливость необходимых преобразований при всех допустимых управлениях. Возмущение £(t) ограничено, т.е. |£(t)| < при всех t > t0. Если ^(t) - случайный процесс, то условие ограниченности выполняется с вероятностью 1.

Определим резонансные соотношения между частотами системы [1, 2]. Рассмотрим среднее по времени функции f(x, 91(t), 92(t))

T

Ф(x, ю1; ю2) = lim 1if(x, «it + a,, «2t + a2)dt

t ^^TJ

0

Предположим, что функция Ф не зависит от сдвига фаз a1, a2 и имеет линию разрыва

р( x) = m1 ю1 (x) + m2 ю2 (x) = 0 (1.2)

при некоторых целочисленных m1, m2, не равных одновременно нулю. Уравнение (1.2) определяет резонансное соотношение между частотами системы. Предположим также, что существует единственное изолированное решение x* уравнения (1.2), такое, что

р(x*) = 0, dp(x*)/dx = r ф 0 (1.3)

Будем считать, что средние по времени функций А(х, 91(г), 02(г), ^(0) и G(x, 91(i), 02(г)) не порождают новых резонансных соотношений в малой окрестности точки x*, т.е. не имеют линий разрыва при каких-либо соотношениях между частотами Mj(x*) и ra2(x*).

Пусть в невозмущенной системе существует устойчивый резонансный режим с частотами Mj(x*) и ra2(x*), удовлетворяющими уравнению (1.2). Цель управления состоит в удержании частот системы в окрестности резонанса при действии возмущений, вызывающих уклонение переменной x от значения x* и приводящих к нарушению резонансного соотношения (1.2). Сформулируем это требование как задачу управления. Выделим допустимую область движения и построим управление, минимизирующее уклонения частот от резонанса.

Следуя стандартной процедуре [1, 2], введем новые переменные и и ф, характеризующие частотную и фазовую расстройки, соответственно. Запишем

1/2

ци = р( x) = m1«1( x) + m2«2( x), ц = e , ф = m101 + m202 (1.4)

Из условий (1.3), (1.4) следует, что в окрестности резонанса справедливы соотношения

x = X (ци) = x* + px^ + ц2, x1 = 01 = 0, 02 = m-^ф - m10) (1.5)

Подставляя равенства (1.4), (1.5) в систему (1.1), получим уравнения в стандартной форме с малым параметром ц

и = ц[f *(ф, 0) + А*(ф, 0, £(t))] + ц2n-1 ^*(ф, 0)u + ц2R1(v, ф, 0, u, £(t), ц)

ф = ци + ц2пО*(ф, 0)u + ц2R2(u, ф, 0, u, £(t), ц) (1.6)

0 = ю* + цОи + ц2nG*(ф, 0)u + ц2R3(u, ф, 0, u, £(t), ц)

где 0 = 0:, ю* = ю1(х*), О = ю1х(х*). Коэффициенты системы (1.6) определены соотношениями

г* (ф, 0) = г-1 Ъ( х *,0,02(ф,0)) (17)

о*(ф, 0) = т1 с1 (х*, 0, 02(ф, 0)) + ш202(х*, 0, 02(ф, 0))

где обозначено 2 = (/, Д, ¥, о1) и 2* = (/*, Д*, О* ). Остаточные члены я1 в правой части уравнений (1.6) исчезают при переходе к пределу при ц ^ 0, и их явный вид несуществен.

Определим допустимую область движения. Выделим в системе (1.6) порождающую консервативную подсистему

V = цв(ф), ф = ци (1.8)

где Р(ф) = (/ *(ф, 0)), символ (/) означает усреднение по периоду быстрой переменной 0. Уравнения (1.8) описывают движение консервативной системы с гамильтонианом

Нц(ф, и) = цн(ф, и), н(ф, и) = и(ф) + и2/2 (1.9)

где и(ф) - периодический потенциал, иф(ф) = -Р(ф). Уравнение Р(ф) = 0 определяет точку ф*, соответствующую минимуму потенциала, и седловую точку ф5, соответствующую его максимуму. В точке минимума

и(ф*) = 0, ифф(ф*) = -рф(ф*) = -к2 < 0

В точке максимума

и(ф5) = н5, ифф(ф5) = -рф(ф5)> о

На фазовой плоскости колебаниям маятника соответствует замкнутая область 2, ограниченная сепаратрисой. Точки ф = ф5, и = 0 соответствуют узлам сепаратрисы, стационарная точка ф = ф*, и = 0 определяет параметры устойчивого резонансного режима в невозмущенной системе. Переход через сепаратрису из области колебаний в область вращения маятника понимается как неограниченное возрастание частотной расстройки и соответствует срыву резонанса. Допустимая область движения определена условиями (и, ф) е 2.

Таким образом, управление частотой колебаний в окрестности резонанса сводится к задаче управления возмущенными движениями маятника внутри допустимой области 2. При такой интерпретации задачи управления полная энергия (1.9) может рассматриваться как мера уклонения от стационарной точки на траекториях системы (1.10).

Пусть (и(г0), ф(г0)) е 2 в начальный момент времени г0. Построим локально оптимальное управление, минимизирующее в каждый момент времени величину производной

/(и) = Н (1.10)

при условии |и | < и0. Локально оптимальное управление определяется соотношением [8]

и 4 = аг§тт j (и) (1.11)

Ы < и 0

Из определений (1.10), (1.11) следует, что управление (1.11) стремится в каждый момент "максимально уменьшить" энергию эквивалентного маятника, что соответствует минимизации уклонений от невозмущенного состояния ф = ф*, и = 0.

Вычисляя производную (1.10) на траекториях системы (1.6), получим

H = - Р(ф)ф+ и v = -Р(ф)[ци + ц2пО*(ф, 0)u + ц2R2] +

+ и{ц[f *(ф, 0) + А*(ф, 0, £(t))] + ц2п-1 ^*(ф, 0)u + ц2R1} = (1.12)

= ц и[b(ф, 0) + А*(ф, 0, £(t)) + ц2п-2F*(ф, 0)u] - ц2пв(ф)G*^, 0)u + ц2R где

Ь(ф, 0) = f *(ф, 0) - Р(ф), <b(ф,0)> = 0

Коэффициент R включает остаточные члены, не влияющие на дальнейшие преобразования.

Введение малого параметра ц позволяет построить квазиоптимальное управление u*, сходящееся (в том или ином смысле) к оптимальному при ц ^ 0, но имеющее более простую структуру. Построим квазиоптимальное управление для двух типов управляемых систем.

1°. F(x, 01, 02) Ф 0. В этом случае положим п = 1. Тогда при ц ^ 0 слагаемое, зависящее от управления, в первом из уравнений (1.6) удерживается в главном приближении, в прочих уравнениях остается малой величиной. Учитывая сравнительную величину слагаемых, входящих в правую часть уравнений (1.12), получим при ц ^ 0

u* = -U0signF*(ф, 0)sign и (1.13)

Управление (1.13) создает момент, противодействующий уклонению частот от номинального значения. Из формул (1.7), (1.13) следует закон управления в виде обратной связи

u0(x, y, 01, 02) = -U0 sign [r_1 F(y, 01, 02)] sign и (1.14)

Подставляя управления (1.13) или (1.14) в систему (1.1) и повторяя все проведенные преобразования, получим, что уравнения (1.6) и соответственно значения функционалов (1.10) при u = u* и u = u0 совпадают. Отметим, что управления (1.13), (1.14) не зависят от структуры неуправляемой системы и возмущения. Единственный параметр системы, требующий определения - знак коэффициента r. Квазиоптимальность управлений (1.13) и (1.14) доказывается с помощью стандартных рассуждений.

Оценим предельные возможности управления. Внося управления (1.13) или (1.14) в систему (1.6) и усредняя все слагаемые, за исключением помехи, получим частично усредненную систему вида

vo = ц[Р(фо) + А*(фо, 0, £(t)) - Uоfo(фо)sign щ]

(1.15)

ф0 = ц и0, 0 = ю * + цО и0

где У0(ф) = <^*(ф, 0)|>, т.е. ^(ф) ^ 0. Запишем изменение полной энергии системы (1.15) в виде

Ё = ц[- р(фо)фо + ио vo] = ц[- Uofо(фо)|«0+ А*(фо, 0Д(t))Щ] (1.16)

Очевидно, что уклонения системы от номинального состояния уклонения могут увеличиваться под действием возмущений, но управление уменьшает уклонения по сравнению с неуправляемой системой

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком