научная статья по теме УПРАВЛЕНИЕ ЧАСТОТОЙ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ РЕЗОНАНСА ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ Математика

Текст научной статьи на тему «УПРАВЛЕНИЕ ЧАСТОТОЙ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ РЕЗОНАНСА ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 68. Вып. 2, 2004

УДК: 531.36: 534.1

© 2004 г. А. С. Ковалева

УПРАВЛЕНИЕ ЧАСТОТОЙ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ РЕЗОНАНСА ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ

Исследуются возможности слабого управления резонансными колебаниями нелинейной системы. Малые случайные возмущения приводят к отклонениям частот от резонанса. Цель управления - удержать частоту движения в малой окрестности резонансной поверхности. Показано, что малые уклонения частот от заданных значений можно описать как решение линеаризованной диффузионной системы. Это позволяет применить принцип динамического программирования для решения задачи управления. Строится ограниченное по норме управление, обеспечивающее максимальное среднее время пребывания системы в околорезонансной области. Показано, что управление не зависит от вида возмущения и структуры консервативной части системы. Рассмотрен пример управления частотой колебаний в системе связанных осцилляторов.

Стандартные преобразования сводят уравнения возмущенного движения колебательной системы в окрестности резонанса к уравнениям движения "эквивалентного маятника" с его колебаниями, вращением и сепаратрисой, разделяющей эти области [1, 2]. Переход через сепаратрису из области колебаний маятника в область вращения соответствует неограниченному возрастанию частотной расстройки и срыву резонанса. Цель управления - воспрепятствовать выходу системы из допустимой области под действием случайных возмущений.

Использование этой модели позволяет применить к задачам управления стохастическими резонансными системами хорошо развитые асимптотические методы управления колебательными системами [3, 4]. Строилось управление, препятствующее выходу системы из резонансной области на максимально возможном интервале времени [5]. Развитая процедура формально применима к широкому классу систем, но на практике решение задачи управления стохастической резонансной системой на относительно большом интервале времени представляет значительные трудности. В данной работе ставятся более жесткие ограничения на движение системы, требующие исследования движения на относительно коротком интервале времени. Предполагается, что цель управления - удержать частоты системы в малой окрестности стационарного резонансного режима. Управление малыми уклонениями сводится к задаче управления линейной системой уравнений в вариациях для малых уклонений. Функционал и ограничения задачи также формулируются в терминах малых уклонений. Аналогичная задача исследовалась в детерминированном случае [3]. Для стохастической системы решение уравнений в вариациях аппроксимируется диффузионным процессом [6, 7]. Это позволяет заменить исходную нелинейную задачу управления простой и хорошо изученной задачей, решение которой ищется методом динамического программирования. Строится управление, удовлетворяющее заданным ограничениям и поддерживающее резонансный режим на максимально возможном интервале времени.

1. Основные уравнения и постановка задачи. Ограничимся детальным рассмотрением двухчастотной системы со скалярной медленной переменной. Обобщение на многомерный случай обсуждается на примере разд. 3.

Уравнения движения приведены к стандартной форме системы с быстрыми и медленными переменными

у = е/(у, 9!, 92) + (у, 9!, 92)и + еД(у, 91; 92)£(г), у е У, и е и

9г = щ(у) + е/(у, 91, 92) + еп¥{(у, 91, 92)и + еД;(у, 91, 92)£(г), 9,(шсё2п) С1-1)

г = 1, 2

где У - открытая область, и - замкнутая область в Я1, е > 0 - малый параметр. Показатель степени п в коэффициенте еп будет определен таким образом, чтобы управление оставалось слабым, но противодействующим внешним возмущениям в соответствии с требованиями задачи.

Предполагается, что правые части системы (1.1) 2п - периодичны по переменным 91, 92 и удовлетворяют требованиям гладкости по всем переменным, обеспечивающим существование решения и справедливость необходимых преобразований при всех допустимых управлениях. Случайное возмущение £(г) рассматривается как случайный процесс с нулевым средним, удовлетворяющий условиям сильного перемешивания [6, 7]. Необходимым условиям удовлетворяют, например, нормальные марковские процессы или ограниченные случайные процессы с достаточно быстро убывающей корреляционной функцией [7].

Следуя известному подходу [1], определим резонансные соотношения между частотами системы. Рассмотрим среднее по времени 0(у,щ1,92) для функции /(у, 91, 92) т

0(у, «1, Щ2) = ищтI/(у, ®1 г + 91, Щ2г + 92)йг

0

Если функция 0(у, щ1, ш2) равномерно непрерывна по щ1, ш2 при всех у е У, то система нерезонансная и 0(у, щ1, ш2) = (/(у, 91, 92)), где (■) означает усреднение по фазам. Предположим, что функция 0 как функция частот щ1, ш2 имеет линию разрыва

р( у) = тщ (у) + ш2 ®2( у) = 0 (1.2)

при некоторых целочисленных тх, т2, не равных одновременно нулю. Уравнение (1.2) определяет резонансное соотношение между частотами системы. Пусть у* - единственное изолированное решение уравнения (1.2), такое, что

р( у*) = 0, йр( у *) йу = г Ф 0 (1.3)

Предположим также, что средние по времени функций у, ш1 г + 91, щ2г + 92) и Д(у, ш1 г + 91, ш2г + 92)Д(у, 91, 92)

не порождают новых резонансных соотношений в малой окрестности точки у*.

Пусть в невозмущенной системе существует устойчивый резонансный режим с частотами ш^у*) и ш2(у*), удовлетворяющими соотношениям (1.2). Цель управления состоит в удержании частот системы в окрестности резонанса при действии возмущений, вызывающих уклонение переменной у от значения у* и приводящих к нарушению резонансного соотношения (1.2).

Сформулируем это требование как задачу оптимального управления. Выделим допустимую область движения и построим управление, обеспечивающее максимальное среднее время пребывания системы внутри допустимой области.

Следуя стандартной процедуре [1, 2], введем новые переменные и, ф, характеризующие частотную и фазовую расстройки соответственно. Запишем

1/2

Ци = Р( у) = т1 Ш1( у) + т2«2 (у), Ц = е

ф = т1 91 + т292

Из определений (1.3), (1.4) следует, что в окрестности резонанса справедливы соотношения

у = У(Ци) = у* + ЦУ1 + Ц2..., у1 = Г^ь

1 (1.5) 01 = 0, 02 = т2 (ф - т10)

Подставляя выражения (1.4), (1.5) в систему (1.1), получим уравнения в стандартной форме с малым параметром ц

и = ц[ / *(ф, 0) + А *(ф, 0)£( г)] + Ц2"-1 Г * (ф, 0) и + ц2Ф1

(ф = ци + ц2"Г*(ф, 0)и + ц2ф2 (1.6)

0 = ю* + цю1и + ц2"Г*(ф, 0)и + ц2Ф3

где

0 = 01, ю* = ю( у *), ю1 = юу(у*) Функции/*, Г*, А* определены соотношениями

/*(ф, 0) = г-1 /(у*,0,02(ф,0)) (1.7)

и т.д. Остаточные члены Ф,(и, ф, 0, и, ^(г), ц) в правых частях уравнений (1.6) исчезают при переходе к пределу при ц ^ 0, и их явный вид несуществен для дальнейших преобразований.

Определим допустимую область движения. Выделим в системе (1.6) порождающую консервативную подсистему

V' = Р(ф), ф' = и (1.8)

где Р(ф) = /(ф, 0)), штрих определяет производную по "медленному" времени т = цг. Уравнения (1.8) описывают движение маятника с периодическим потенциалом и(ф) таким, что ^ф(ф) = ~Р(ф). На фазовой плоскости колебаниям маятника соответствует замкнутая область 2, ограниченная сепаратрисой. Эта область рассматривается как допустимая. Переход через сепаратрису из области колебаний в область вращения маятника соответствует неограниченному возрастанию частотной расстройки и срыву резонанса. Пусть потенциал и(ф) имеет минимум в точке ф*, т.е. Р(ф*) = 0, Рф(ф*) = с < 0. Устойчивая стационарная точка (у*, ф*) соответствует резонансу в невозмущенной системе.

Таким образом, задача управления свелась к управлению нелинейной системой (1.6) в допустимой области (и, ф) б 2. Эта задача исследовалась и приводила к достаточно сложным результатам [5]. Упростим построение управления, рассмотрев малые уклонения от невозмущенного состояния

ц1/2Р = (ф - ф *), ц1/2Й = и (1.9)

Сформулируем задачу управления относительно переменных Р, Q. Удержать частоты системы в малой окрестности резонанса означает удержать процесс {Р(т, ц), Q(т, ц)} в некоторой окрестности О с 2 точки Р = Q = 0. При такой постановке задачи цель управления - обеспечить максимальное среднее время пребывания процесса {Р(т, ц), Q(т, ц)} в области О до момента ТЦ первого выхода на ее границу Г. Форма области зависит от ограничений задачи. Предположим, что О - открытая односвяз-

ная область в Я2, О - ее замыкание, симметричное относительно начала координат,

т.е. (Р, Q} е D « {- P, -Q} е D. Ограничения на управление имеют вид |и| < и°. При сделанных предположениях функционал и ограничения задачи записываются в виде

J^ u) = м тц

и (1Л°)

Ти = М{т: P(т, и), Q(т, и) г D/P(0, и), Q(0, и) е D, |и| < Uo}

Оптимальное управление иор(. определяется как

uopt=argmax Jи(u) (1.11)

1«1 < U0

Учитывая замены переменных (1.4), (1.9), можно интерпретировать стратегию управления как захват частот системы в ц3/2-окрестность резонансной точки. Такая постановка задачи оправдана, так как допустимая область X имеет порядок и, и система должна оставаться внутри области, не приближаясь к ее границе.

Подставляя соотношения (1.9) в систему (1.6) и принимая во внимание уравнения (1.8), запишем

& = цГ1/2[р(|и1/2Р + ф*) - р(ф*)] + ц-1/2Д*(ц1/2Р + ф*, 9)^(т/и) + + и2"-5/2Р*(Ц1/2Р + ф*, 9)и + Ц-1/2Ь(Ц1/2Р + ф*, 9) + и 1/2Ф15 0) = 0

Р = а + и2"-3/2Р*(и1/2Р + ф*,9) и + и1/2Ф2, Р (0) = 0 9' = Ц-1Ю* + и2"-1 Р3*(и1/2Р + ф*, 9)и + Ц1/2Ф3 где

Ь(ф, 9) = /*(ф, 9) - р(ф), <Ь(ф,9)> = 0

Таким образом, задача управления состоит в минимизации функционала (1.1°) на траекториях системы (1.12).

2. Асимптотическое решение задачи. Для анализа уравнений возмущенного движения (1.12) используется теорема о малых (нормальных) уклонениях [6, 7]. Сформулируем эту теорему для неуправляемой возмущенной системы и приведем обобщение для управляемой системы (1.6).

Рассмотрим в области г е Ъ е Яп, 0 < t < ж систему уравнений

г = иЬ(и г) + В(и г)£(t), г(0) = г0 (2.1)

Предположим, что вектор Ь(^ г) и матрица В(^ г) равномерно непрерывны и дважды непрерывно дифференцируемы по г и равномерно непрерывны и ограничены по t в рассматриваемой области изменения переменных, ^(0 - случайный процес

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком