КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 3, с. 250-263
УДК 629.782.051
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ РАЗВОРОТОМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МИНИМАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЕМ
ФУНКЦИОНАЛА ПУТИ
© 2007 г. М. В. Левский
niiks@khrunichev.com
Научно-исследовательский институт космических систем Государственного космического научно-производственного центра им. М.В. Хруничева, г. Юбилейный Поступила в редакцию 09.06.2004 г.
Рассматривается задача оптимального управления пространственной переориентацией космического аппарата (КА) с минимальным значением функционала пути. Используя метод кватернионов, получено аналитическое решение поставленной задачи. Для симметричного показателя оптимальности представлено полное решение задачи переориентации КА в замкнутой форме. Приводятся результаты математического моделирования динамики движения КА, демонстрирующие практическую эффективность разработанного алгоритма управления.
PACS: 02.30 Yy.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей статье решается задача приведения космического аппарата в положение заданной ориентации. Способ решения и формализация описания кинематики вращательного движения КА основаны на методе кватернионов, предложенном в монографии [1].
Под пространственным разворотом понимается перевод связанных с корпусом КА осей ОXYZ из одного известного углового положения в другое известное (обычно заданное) угловое положение за конечное время Т. В этом случае параметры разворота (например, компоненты кватерниона разворота) известны заранее, еще до начала маневра; исходные угловые рассогласования могут быть любыми (от нескольких до 180 градусов). При этом угловая ориентация правой системы координат ОXYZ (равно как ее начальное ОXНYНZн и конечное ОХКУ¥2К положения) определяется относительно выбранного опорного базиса I. В работе рассматривается наиболее распространенный случай, когда опорным является инерциальный базис ОXИYИZИ (ИСК). В связи с этим исследуется вопрос оптимизации терминального управления, обеспечивающего за конечное время Т совмещение связанной с корпусом КА правой системы координат ОXYZ с программным базисом, положение которого в инерциальном пространстве задано.
Исследованию задачи оптимального управления переориентацией твердого тела в различных постановках посвящено множество публикаций [1-7, 12]. В частности, в [4] рассматриваются вопросы оптимального разворота КА по быстродействию и минимуму энергетических затрат. Решение было получено для случая, когда область допустимых значений управляющего момента ограни-
чена сферой, а сам КА разворачивается вокруг вектора конечного поворота. В статье [5] оптимальные управления находились методом совмещенного синтеза на основе алгоритма с прогнозирующей моделью, причем минимизировался функционал обобщенной работы. Аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы (АКоР) представляет собой достаточно универсальное средство решения задач оптимального управления. Однако, оптимизация по АКОР не позволяет обеспечить выполнение ограничений, накладываемых на управляющие переменные. Кроме того, метод АКОР применим только при относительно небольших начальных угловых отклонениях [2]. Непригодность АКОР для случая произвольных начальных угловых отклонений является существенным его недостатком.
Использование при синтезе управлений прогнозирующих моделей повышает качество регулирования, и поэтому они широко применяются в настоящее время многими авторами. Но в таких алгоритмах конечный результат зависит главным образом от вида прогнозирующей модели; последний полностью предопределяет реализующийся полученными управлениями тип разворота. Принятие сколько-нибудь близкой к реальности прогнозирующей модели влечет за собой большие вычислительные сложности. В известных последних публикациях по затронутой проблеме [5, 6, 7] полученное решение не является принципиально новым - реализующееся при синтезе управление приводит к развороту КА вокруг оси Эйлера, хотя принципы оптимизации и алгоритмы управления различны.
Данная статья посвящена нахождению оптимальной в смысле "функционала пути" траектории движения КА при смене его ориентации из од-
ного пространственного положения в другое. Изучается общий случай, когда пройденный "путь" не совпадает с углом конечного поворота, совершаемого вокруг оси Эйлера.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Угловое движение КА как твердого тела описывается динамическими уравнениями Эйлера: J1 ю? + - J2)w2ю3 = Мъ J2®2 + (А - J3)w1w3 = М2,
J3 ю3 + (]2 - J1)ю1ю2 = М3, где Ji - главные центральные моменты инерции аппарата, Мг - проекции главного момента внешних и внутренних сил на главные центральные оси эллипсоида инерции аппарата, ( - проекции вектора ю абсолютной угловой скорости КА на оси связанного базиса Е, образованного главными центральными осями эллипсоида инерции аппарата (г = 1, 2, 3).
Для описания пространственного движения КА используем математический аппарат кватернионов (параметров Родрига-Гамильтона). Движение связанного базиса Е относительно опорного базиса I будем задавать кватернионом Л [1]. Угловое положение начальной и конечной ориентаций КА относительно опорного базиса I определяется кватернионами Лн и ЛК соответственно. Для определенности будем считать базис I инерциальным. В этом случае имеют место следующие кинематические уравнения:
2 Аю = - А? (1 — А2ю2 — А3ю3,
2 А1 = А0 + А2ю3 — А3ю2, 2 А2 = А0 ю2 + А3ю1 — А1ю3, 2 А3 = А0 ю3 + А1Ю2 —
(1)
или в кватернионной форме: 2Л = Л ° ю, где А -компоненты кватерниона Л ( = 0, 1, 2, 3) , Л = = sqal Л + vect Л [1, с. 11-20], sqal Л = А0 - скалярная часть кватерниона Л; vect Л = Ахех + + А3е3 - векторная часть кватерниона Л; ех, е2, е3 - орты осей
связанного базиса Е, причем А0 + А2 + А2 + А2 = 1.
В условиях космического полета особенность управления движением КА заключается в малости возмущающих моментов, обусловленных взаимодействием аппарата с внешними полями и сопротивлением среды. Управление движением КА относительно его центра масс производится путем изменения момента внешних сил М (или внутреннего момента, если управление ориентацией КА производится с использованием инерционных исполнительных органов - силовых гироскопов).
Зададим граничные условия положения КА и его угловой скорости:
Л( 0) = Лн, (2)
и ю(0) = ю0; ю(Т) = ют, где Т - время окончания процесса переориентации.
Практическое значение имеют задачи, в которых граничные значения ю0 = ют = 0 , а кватернионы Лн и ЛК, задающие ориентацию связанных с КА осей в начальный и конечный моменты времени, имеют произвольные значения.
Для оценки эффективности управления вводится оптимизируемый функционал. Возьмем в качестве показателя оптимальности "функционал пути":
5 =
+ к 2 ю2 + к 3 го, &,
(4)
где ^ > 0, ^ > 0, ^ > 0 - постоянные коэффициенты.
Задачу оптимального управления пространственным разворотом сформулируем следующим образом: необходимо перевести КА в соответствии с уравнениями (1) из состояния (2) в состояние (3) с минимальным значением функционала (4).
При развороте КА по критерию (4) ограничения на управляющий момент М и время Т принципиального значения не имеют.
Поясним физическое содержание принятого критерия качества. Представляется вполне естественным принять за "трудность" разворота на элементарный поворот АЛ угол Дф, который равен Дф = \w\dt. Очевидно, Дф зависит только от ДЛ и не зависит от величины угловой скорости (при возрастании |ю| в N раз, в N раз уменьшается А). Весь разворот КА из положения Лн в положение ЛК представляет последовательность множества эле-
ментарных поворотов ДА® ^ = 1, М). Соответственно, и "трудность" разворота из Лн в ЛК может
быть оценена величиной {"Т л/ ю? + ю2 + (&, где Т -
время достижения конечного положения ЛК. Данный подход справедлив лишь в частном случае, когда затраты ресурсов на повороты КА вокруг осей X, Y, Z одинаковы. Однако, в практических задачах "трудоемкость" (затратность) поворотов на один и тот же угол вокруг разных осей КА различна. Учет неодинаковости осей X, Y, Z (в смысле трудоемкости) производится введением в оптимизируемый функционал масштабных коэффициентов
соответствующих осям X, Y, ^ В общем случае "трудность" преодоления поворота твердого тела на элементарный кватернион ДЛ формализу-
ется величиной d0 = ^/к?®
22 (
( 23 к
' ш3""3
му критерий оптимальности будет иметь вид
. Поэто-
к ? ю2 + к2 ю
■ к3ю, &
-шт.
(5)
Л( Т) = ЛК
(3)
Последовательность элементарных поворотов ДЛ(1), ДЛ(2), ... ДЛ®, ... ДЛ(М), приводящая КА из
Т
0
Т
0
положения ЛН в положение ЛК, определяет значение функционала (4) независимо от величины |ю| угловой скорости на каждом из участков АЛ® .
ЛР = Лн ° ЛК = АЛ(1) о АЛ(2)о ... о АЛ(k) о ... о АЛ(М).
Введение интегрального показателя (4) разрешает и проблему зависимости "сложности" (или "затратности") маневра переориентации от его продолжительности Т. Рассмотрим данное положение. Пусть для сообщения КА угловой скоро-
2 2 ■ к2ю2 + ю3к3
сти ю требуется затратить „¡к^ю
ресурса. При этом на совершение маневра переориентации из ЛН в ЛК потребуется время Тк. Очевидно, если сообщить КА скорость в N раз большую по величине, то длительность совершаемого маневра уменьшится в N раз, но это повлечет и увеличение "затрат" в N раз (величина
Л
к 1 ю2 + к2 ®2
■ к3 ю3
ющих сил (выражение (4) не содержит составляющих М). Управляющими переменными (управлениями) будем считать проекции угловой скорости
ю, (I = 1, 3). Вид функционала (4) - это частный случай компромисса двух стандартных форм типового функционала - обобщенной взвешенной работы управлений и "расхода" управлений [8].
Обозначим ds = /¡к1Ю[ + к2ю2 + к3 ю3 dt - элементарное приращение "пути". Тогда "функцио-
нал пути" запишется в виде: S = йъ. Перейдя от независимой переменной t к новой независимой переменной s = 1 ю1
■ к2ю2 -
к3ю3 й, получим
будет в N раз больше). Т.к. время Тк также является невосполнимым ресурсом, то при оптимизации программы управления разворотом КА из положения ЛН в положение ЛК целесообразно выбрать показатель, учитывающий оба фактора - длительность и "затратность". Для элементарного поворот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.