ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 5, 2004
УДК 531.36:62-50
© 2004 г. Ю. Ф. Голубев, А. Е. Дитковский
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГИМ МАНИПУЛЯТОРОМ С УЧЕТОМ ПОЛЕЗНОЙ НАГРУЗКИ И СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Рассматривается задача об управлении движением манипулятора, состоящего из упругой балки и полезной нагрузки, закрепленной на одном из ее концов. Рука манипулятора может вращаться в горизонтальной плоскости и перемещаться вдоль вертикальной направляющей. Предполагается, что на систему действует сила тяжести. Требуется перевести манипулятор из заданного начального положения в конечное без возбуждения колебаний. Учитываются упругие деформации растяжения и изгиба. Управление построено в виде рядов по степеням параметра, обратно пропорционального модулю Юнга. Выписаны рекуррентные формулы для всех коэффициентов разложения.
В ряде задач при построении и разработке робототехнических систем требуется учет упругой податливости их элементов. При исследовании управляемого движения манипуляторов с упругими звеньями [1-6], как правило, влияние силы тяжести не учитывалось. Рассматривались [1] плоские вращательные движения упругого нерастяжимого стержня, нагруженного абсолютно твердым телом, под действием управляющего момента сил; решались задачи управления о приведении системы из некоторого начального в заданное угловое положение с гашением упругих колебаний или в состояние вращения системы как единого целого с фиксированной угловой скоростью. Исследовался [2] процесс гашения колебаний массивного груза, закрепленного на конце длинной упругой балки, при помощи активного виброгасителя с поступательно перемещающейся массой. Была получена [3] система интегродифференциаль-ных уравнений в частных производных и граничные условия для манипулятора, состоящего из твердого тела и упругого нерастяжимого стержня, с учетом влияния силы тяжести. Исследовались задачи управления о приведении манипулятора за время Т из произвольного начального состояния в конечное с гашением относительных отклонений. В предположении о прене-брежимой малости центробежных сил была предложена схема решения данной задачи путем сведения ее к некоторой задаче математической физики и проблеме моментов. Исследовалось [4] управляемое движение упругого стержня с учетом деформации растяжения и деформации изгиба. Решена задача перевода стержня из заданного начального в заданное конечное угловое положение без возбуждения колебаний при условии равенства нулю угловой скорости и упругих отклонений в начале и конце маневра. Исследовалось [5] управление манипуляторами с упругими звеньями и полезной нагрузкой. Решена задача перевода манипулятора из заданного начального в заданное конечное положение без возбуждения колебаний. Управление строилось в виде рядов по степеням параметра, обратно пропорционального модулю Юнга. Был предложен метод решения задачи быстродействия для упрощенной модели манипулятора с упругими звеньями [6]. В данной работе развит метод исследования управляемого движения манипулятора, состоящего из упругой балки и закрепленной на одном из ее концов полезной нагрузки, в условиях действия силы тяжести с учетом кручения, деформации растяжения и деформации изгиба. Решается задача о переносе полезной нагрузки из заданного начального положения в заданное конечное. Движение разбивается на два этапа: 1) перемещение манипулятора в требуемое положение; 2) придание нагрузке требуемой угловой ориентации. Предлагаемый способ исследования основан на применении полуобратного метода решения задач динамики, позволяет получить закон изменения мгновенной формы балки и построить управляющий момент с наперед заданной точностью разложения решений по сте-
Р
Фиг. 1
пеням параметра, обратно пропорционального модулю Юнга.
1. Уравнения движения нагруженной балки.
Рассматриваемая система состоит из упругой однородной балки и закрепленной на одном из ее концов полезной нагрузки. Балка представляет собой однородный протяженный брус произвольного поперечного сечения с нейтральной линией, проходящей через центры масс сечений. В недеформированном состоянии нейтральная линия предполагается прямолинейной. Балка может совершать вращательные движения в пространстве 0'х'у'г вокруг оси 0'г под действием управляющего момента М. Точка 0 балки может двигаться вдоль оси 0'г под действием управляющей силы Р. Пусть I - длина балки, р - ее плотность, о - площадь поперечного
сечения, т - масса нагрузки, g - ускорение свободного падения. Предполагается, что смещения точек балки малы по сравнению с ее длиной. Введем вращающуюся вокруг оси 0'г вместе с балкой систему координат 0хуг. Ось 0х зададим по направлению касательной к нейтральной линии балки в точке 0 (фиг. 1).
Пусть х - расстояние от конца 0 недеформированной балки до некоторой ее точки О на нейтральной линии. Пусть 5г - вектор перемещения точки О, а и(Г, х), w(t, х), г(Г, х) - проекции вектора 5г на оси системы координат 0хуг. В каждый фиксированный момент времени смещение 5г(Г, х) - вектор-функция аргумента х, определяющая мгновенную форму балки. При фиксированном значении х смещение 5г(Г, х) -вектор-функция времени, однозначно определяющая положение соответствующей точки нейтральной линии балки.
Пусть ф - угол поворота репера 0хуг, который отсчитывается от оси, проходящей через точку 0 параллельно оси 0'х', (г1, т2, т3)Т - координаты центра масс нагрузки в связанной с ней системе координат 0"х"у"г" с началом в точке 0" закрепления нагрузки и балки (ось 0"х" направлена вдоль касательной к нейтральной линии балки в точке 0" ; если ф = 0 и балка не деформирована, то оси 0"х", 0"у", 0"г" параллельны осям 0'х', 0'у', 0'г соответственно). Предполагается, что г1, г2 и т3 малы по сравнению с длиной балки. Пусть 0"х", 0"у", 0"г" - главные оси инерции нагрузки, А, В, С - главные моменты инерции нагрузки относительно осей 0"г", 0"у", 0"х" соответственно.
Свяжем с каждым поперечным сечением балки систему координат Ох"'у"'г"', причем ось Ох'" направим по касательной к нейтральной линии балки в точке О. Пусть у -угол поворота поперечного сечения балки вокруг оси Ох'". Учитывая инерцию вращения нагрузки и поперечного сечения балки [7], кинетическую энергию системы можно представить в виде
I
Т = 2|ро^(и, и, w, wt, г„ г„ х, ф)йх + 2(а, а„ Ь, Ъ„ с, I, ф) + Т1
а (Г) = и (Г, I) + т1- т2wx(Г, I) - т3гх(Г, I) Ь (Г) = w(Г, I) + г2 + т^х(Г, I) - т3у(Г, I)
с (Г) = г(Г, I) + г(Г) + т3 + т1гх(Г, I) + т2у(Г, I)
о
9(u, ut, w, wt, zt, zt, x, () = (x( + wt)2 + w2(p2 + 2xu(p2 + u2(2 + + u2 + 2u (wt -2 w( ut + (zt + z t )2
9(a, at, b, bt, ct, l, () = (l( + bt)2 + b2(2 + 2la(2 + a2(2 + a2t + 2a(bt -2b(at + ^
l
ri = 2Jz7i(Wxt + ()2dx + 1-A(Wxt(t, l) + ()2 +
0
l
+ 2Je(I2z* + I3Y2)dx + 2(Bzi(t, l) + Cy2(t, l))
2J
0
г (Г) - абсолютная вертикальная координата точки О, 11, 12,13 - моменты инерции поперечного сечения относительно осей Ог'", Оу'" и Ох'" соответственно. Потенциальная энергия имеет вид
ll
i
П
l
1
+
2 J E (11WL + 12 Z2Xx) dx + 1J E13Y2dx + J g go( z + z) dx +
0 0 0
2 J Eo(J{7+üx)^+w2x+z2x -1) dx + mg (z (t, l) + z) + mg( r2sin y + r3cos y) (1.1)
2
0
где Е - модуль Юнга.
Первое слагаемое в правой части равенства (1.1) есть потенциальная энергия упругой деформации изгиба, второе слагаемое представляет собой потенциальную энергию деформации кручения, третье, пятое и шестое слагаемые - потенциальную энергию силы тяжести балки и нагрузки, четвертое слагаемое - потенциальную энергию упругой деформации растяжения.
Введем безразмерные переменные (всюду далее к = 1, 2, 3)
t , u , w , z z , x
-, u = w = z = z = x =7,
T l l l l l
где T - масштаб времени, причем
1 E1 E ,,
1 <—4 < (1'2)
T gol gl
Пусть M0 и F0 - характерные величины размерности момента силы и силы соответственно, например, M0 = supt|M(t)|, F0 = supt|F(t)|. Предполагается, что ux, wx, zx малы по сравнению с единицей. Пусть выполнены следующие неравенства:
.1.1...1 ( « -, ( « -
TT
Используя принцип Остроградского-Гамильтона [8] и учитывая сделанные допущения, систему уравнений движения и краевые условия в новых переменных можно записать в виде (штрихи опущены) [5]
1
2
р|[ х2 ф + xwtt + 2 х ф и, ] йх + Ра[ф + wtt + 2ф и, ] |х = 1 +
о
1
+ р1|((р + Wxtt) йх + р2 (Wxtt( Г, 1) + ф) = О
о
11 Р | гпйх + р (1 + а)г„ + Рз + арг„(,, 1) + ]р1 гх„йх + ¡^„(Г, 1) = 62
оо
ИХ (хф + Wtt - wxxtt + 2фи,) + Wxxxx = 0 ИХ (гя ^гххЯ + гг, + А) + гхххх = 0
Ухх = ИУяИ(хфф2 - ип + 2фWt) + ихх = 0
Wxx( t, 1) = -ИХ Wxtt +ф )| х =1
гхх( ^ 1 ) = -И%2^2 гх,,|х =1 (13)
Wxxx(t, 1 ) = ИХа[ф + Wtt + 2фи] |х =1+ И(wxtt + ф)|х =1 гххх( t, 1) = ИХ2а[ г« + гп + А] |х = 1 + И гх„|х = 1 Ух (,, 1) = - цАз у,, 1) - ца%з( Т2А - Тзф + Т2 г,,)
их (,, 1) = ца[ф2 - и„ + 2 ф wt ]| х = !
3
Т т Ь а р о / р I/ А
Ь = т^ а = у в = 2 '• в1 = -¡-г—-> в2 = —
Р о 1 т2 М0 т2 М 0 т2 М0
Р = ^, р1 = РЭ", Р2 = -В-, Р3 = ^ (т + ро/)
тЧ т2^о т2^о ^
О = М о = £ И = ]р£" х = о/"2 61 = М,- 02 = ^ И = Ег = 4
2
*1 = А, ^2 = Л, ^ = Л, А = ^
до/ до/ ро / 1
Поскольку конец балки 0 закреплен и защемлен, к перечисленным равенствам следует добавить еще шесть условий:
w(,, 0) = 0, wx(,, 0) = 0, и(,, 0) = 0
г(,, 0) = 0, гх(,, 0) = 0, у(,, 0) = 0
Для приведенной выше математической модели решалась задача о переводе балки из заданного начального положения в заданное конечное, причем в начале и в конце маневра должны быть выполнены следующие условия:
ф(0) = 0, ф(0) = 0, w(0, х) = wt(0, х) = и(0, х) = иг(0, х) = 0
г(0) = гг(0) = 0, г(0, х) = г0(х), гг(0, х) = 0, у(0, х) = О0(х)
ф(п) = Фо, ф(п) = 0, w(n, х) = wг(п, х) = и(п, х) = иг(п, х) = 0 (1.5)
г(п) = г0, гг(п) = 0
г(п, х) = 20(х), г(п, х) = 0, у(п, х) = О0(х)
где
П = ^ 20( х) = -ЦХ2
-1; х4-1 (а + 1) х + 1 (1 +2 а) х ,24 6 7 4Ч .
О0 (х) = -цхз аг2 хА
Фактически эти условия означают, что манипулятор переводится из одного состояния равновесия в другое без возбуждения колебаний.
2. Управление упругой нагруженной балкой. Решение системы (1.3) с учетом условий (1.4) и (1.5) будем строить в виде рядов по степеням параметра ц. Пусть ц = 0, тогда
и(0)(г, х) = 0, ^(0)(г, х) =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.