ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 2, с. 15-29
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
УПРАВЛЕНИЕ ВОДНЫМИ РЕСУРСАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ОБОРОТНОГО ВОДОСНАБЖЕНИЯ*
© 2012 г. А.А. Фридман
(Москва)
В работе построена модель оптимального управления запасами двух ресурсов, где запас одного ресурса (отработанная вода) образуется в результате потребления другого (вода из истощаемого природного источника). Отработанные воды могут использоваться повторно, но с более высокими предельными издержками, чем подземные воды. В условиях ограничения на мощности резервуара для хранения запаса отработанных вод исследуются характеристики траектории оптимального водопотребления и динамики запасов истощаемого и производимого ресурса. Проанализировано влияние запаса истощаемого ресурса и уровня его пополнения, а также предельных издержек неистощаемого ресурса-заменителя на эффективные траектории.
Ключевые слова: истощаемые ресурсы, водные ресурсы, переработка, оптимальное управление.
ВВЕДЕНИЕ
Вопросу об оптимальном использовании истощаемых ресурсов и воспроизводимых ресурсов-заменителей посвящено множество исследований. Однако не все истощаемые ресурсы обладают одинаковыми экономическими характеристиками. Некоторые ресурсы, главным образом топливо, полностью утилизируются в процессе потребления. Другие, например металлы, представляют собой товары длительного пользования. Как показали (НаГ^ск, 1993; ЬеуИап, Ртёуск, 1981), рассматривая модели с истощаемыми ресурсами длительного пользования, где допускалась частичная амортизация запаса добытого ресурса, к этим ресурсам также применимо правило Хотеллинга с той лишь разницей, что в силу специфики этих ресурсов правило работает применительно не к потоку извлекаемого из недр ресурса, а к извлеченному запасу.
Однако существует еще одна категория истощаемых ресурсов, которая не укладывается ни в одну из упомянутых выше категорий, так как, с одной стороны, не является товаром длительного пользования, а с другой стороны, не утилизируется полностью в процессе потребления. Пример такого ресурса - чистая вода. Оставшиеся после использования сточные воды возвращаются в природные источники. Эффект пополнения запасов истощаемого ресурса рассматривался во множестве работ применительно к полезным ископаемым, но это пополнение являлось результатом целенаправленной геолого-разведочной деятельности, как, например, в (Ртёуск, 1978), в то время как частичное пополнение запасов подземных вод происходит автоматически.
Существует еще одно важное отличие: сточные воды, сбрасываемые в природные водоемы, приводят к загрязнению природных источников. Определенный уровень загрязнения может быть со временем абсорбирован природной средой, поэтому проблему загрязнения решают, устанавливая нормативы для сточных вод, удовлетворение которым влечет дополнительные издержки на очистку сточных вод.
* Исследование выполнено при финансовой поддержке факультета экономики НИУ ВШЭ (индивидуальный исследовательский грант 2011 г. "Эффективное использование связанных запасов истощаемых ресурсов (на примере водных ресурсов)").
Автор выражает признательность анонимному рецензенту за полезные замечания и предложения.
Альтернативой сброса сточных вод в природный источник выступают очистка и повторное использование отработанных вод. В этом случае истощение запаса одного ресурса (подземных вод) одновременно приводит к созданию другого запаса - отработанных вод, которые после соответствующей очистки могут вновь использоваться потребителями. Таким образом, мы сталкиваемся с задачей оптимального управления двумя взаимосвязанными запасами истощаемых ресурсов-заменителей, которая и является предметом настоящего исследования.
Экологический аспект переработки сырья рассмотрен в работе (Smith, 1977), где загрязнение окружающей среды является побочным продуктом производства и переработка отходов позволяет сократить накапливаемое отрицательное внешнее воздействие. Однако в этой работе в производственном процессе участвует лишь воспроизводимый фактор (труд), что существенно отличает ее от данного исследования.
Вопросы переработки вторичного сырья затрагивались в том числе и в работах, посвященных исследованию истощаемых ресурсов. Однако авторы в основном рассматривали переработку сырья как способ решения проблемы устойчивого роста экономики с истощаемыми ресурсами (см., к примеру, (Di Vita, 2001, 2006; Pittel et al., 2010)). Более того, в этих работах изначально предполагалось, что объем перерабатываемого вторичного сырья является экзогенной долей извлеченного из недр ресурса.
В (Roumasset, Wada, 2011) была построена модель, в которой источниками воды выступали подземные воды, дополняемые опресняемой морской водой и вторично используемой водой. На основе симуляции модели авторы получили, что выигрыш в благосостоянии при оптимальной эксплуатации технологии вторичной переработки воды составляет менее одного процента, в то время как слишком раннее переключение на эту технологию может привести к потерям, составляющим около 4%. Следует отметить, что построенная в данной работе модель никак не связывает объемы использованной воды с объемами, доступными для вторичной переработки, это существенно упрощает действительность.
Более интересным представляется подход, предложенный в работе (Schäfer, 1992). Автор рассматривает игру между агентом, добывающим ресурс, и агентом, занимающимся его переработкой. Однако в целях упрощения анализа автор не предполагает возможность накопления вторсырья. В действительности при наличии мощностей для хранения утилизация вторсырья может быть оптимальным образом распределена во времени.
В следующем разделе приведена модель оптимального управления двумя природными источниками водных ресурсов, один из которых является истощаемым с частичным пополнением, а второй выступает в роли неистощаемого ресурса заменителя и технологии, позволяющей накапливать не утилизированный в процессе потребления ресурс и затем повторно привлекать его после соответствующей переработки.
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Рассмотрим регион, где в качестве источника пригодной для потребления воды могут выступать три ресурса-заменителя: истощаемые подземные воды, альтернативный природный источник и технология оборотного водоснабжения с фиксированной мощностью хранения отработанной воды. В качестве альтернативного природного источника могут выступать опресненная морская вода (Tsur, Zemel, 2000; Roumasset, Wada, 2011) или импорт воды из соседнего региона (Holland, Moore, 2003). В обоих случаях предельные издержки для альтернативного источника оказываются выше: в первом случае из-за дороговизны опреснения, а во втором - в силу издержек и потерь при транспортировке.
Во многих вододефицитных регионах, например в Израиле, дополнительным источником воды является вторично переработанная вода. Отработанная вода может повторно употребляться (после соответствующей очистки) или накапливаться после первичной обработки в специальных резервуарах и использоваться в будущем. В Израиле в 2001 г. существовало более 200 подобных резервуаров, мощность хранения которых составляла около 120 млн м3 (Friedler, 2001, c. 31). Если в 2005 г. в Израиле опресненная морская вода составляла около 2%, а повторно
используемая вода - 13% от общего объема водопользования (Dreizin, Tenne, Hoffman, 2008), то в 2010 г. доля опресняемой воды возросла до 13%, а применение повторно перерабатываемой воды составило 18,5% совокупного водопотребления (Tenne, 2010). Более того, на сегодняшний день в Израиле перерабатывается 75%1 всех сточных вод, что является лидирующим показателем в мире.
Заметим, что в Израиле, испытывающем острый дефицит водных ресурсов, перерабатываемая вода рассматривается не только как способ сглаживания сезонных колебаний, но и как "новый источник воды, который служит заменителем традиционных источников" (Friedler, 2001, c. 30). Таким образом, "в условиях экстремального дефицита свежей воды отработанные воды перестают рассматриваться с точки зрения проблемы их утилизации, а приобретают характер редкого ресурса" (Albert, 2001, c. 50).
Пусть запас подземных вод, доступный для использования в момент t, составляет величину St > 0, причем первоначальный запас задан и равен S0. Если водозабор из подземного источника в момент t обозначить через gt и предположить, что запас воды пополняется естественным образом на величину g2 в каждый момент времени, то динамика запаса описывается уравнением St = g - gt. Заметим, что в отличие от модели, представленной в (Фридман, 2009), коэффициент при gt, отражающий уровень безвозвратного водопотребления, равен единице. Это различие обусловлено тем фактом, что при наличии технологии оборотного водоснабжения забранная вода не поступает обратно в природный источник.
Помимо подземных вод может использоваться и альтернативный источник водоснабжения (например, опресняемая морская вода), который выступает в качестве неистощаемого ресурса-заменителя3. Объем водозабора из альтернативного источника в момент t обозначим через lt. Будем предполагать, что предельные издержки водоснабжения для каждого источника постоянны, причем cg < cl, где индекс g соответствует подземным водам, l - поверхностным. Подобное соотношение отражает относительную дороговизну технологии опреснения.
Наконец рассмотрим третий источник водных ресурсов - технологию оборотного водоснабжения. Отработанные воды могут накапливаться в резервуаре, максимальная мощность которого составляет Z4. Следует отметить, что зачастую в качестве резервуаров для хранения прошедших первичную обработку отработанных вод используют выработавшие свой ресурс подземные источники. Как отмечают исследователи, это позволяет не только снизить расходы на сооружение подобных резервуаров, но обеспечивает дополнительную естественную очистку стоков (Maliva et al., 2011).
Если запас воды в резервуаре в момент t обозначить через Zt, а интенсивность использования технологии оборотного водоснабжения (т.е. объем повторно используемых вод) - через zt, то динамика запаса воды в резервуаре может быть описана следу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.