ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 5, 2004
УДК 531.36:62-50
© 2004 г. В. И. Матюхин
УПРАВЛЯЕМОСТЬ НЕГОЛОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КЛАССЕ ОГРАНИЧЕННЫХ УПРАВЛЕНИЙ
Развивается цикл исследований, связанных с проблемой управляемости нелинейных динамических систем. Рассматриваются системы, которые имеют механическую природу (колесные средства передвижения, транспортные и обрабатывающие системы, манипуляторы). Для механических систем общего класса, которые могут содержать неголономные связи, устанавливаются критерии управляемости; аналогичные критерии были установлены ранее для голономных систем [1-4]. Найденные условия управляемости имеют наглядный физический смысл. Например, для управляемости манипуляционного робота требуется, чтобы управляющие силы доминировали над иными обобщенными силами (силами веса, силами сопротивления внешней среды). Доминирование необходимо по амплитуде сил. Дополнительные условия связаны со свойствами наложенных на систему связей. По существу требуется, чтобы соотношения связей допускали возможность надлежащего изменения координат и скоростей механической системы в исследуемой области.
1. Объект исследования. Объект исследования - динамические системы, движение которых описываются уравнениями Лагранжа первого рода [5-7]
Здесь и далее индексы пробегают следующие значения: г,] = 1, 2, ..., И; s = 1.2,..., г = 2 + 1, 2 + 2, ..., N.
Система (1.1), (1.2) описывает движение многих механических систем. Она может описывать движение голономных систем в зависимых координатах, если по каким-либо причинам описание связей (1.2) желательно учитывать в явной форме [5-7], например, когда замена исходных обобщенных координат приводит к потере наглядности, выразительности исследуемой задачи управления или когда изучаются реакции наложенных связей. Система (1.1),(1.2) может описывать также движение неголо-номных систем, если соотношения (1.2) описывают неголономные механические связи. Речь идет, прежде всего, о системах с качением: автомобиль, поезд, самолет на взлетной полосе и т.д., а также об электромеханических системах со скользящими контактами [5-13].
Используются стандартные обозначения: ц - обобщенные координаты и скорости системы, N - число координат, Яг - реакции связей (1.2), Л5 - неопределенные множители Лагранжа, + М } - обобщенные силы. Величины Мг рассматриваются
(1.1)
N
(1.2)
г = 1
как управляющие силы (управления), которые создаются управляющими устройствами системы - приводами. Величины Qi = Qi (д, д, 0 определяются внешними силами, которые воздействуют на механическую систему. Через Т = Т(д, д) обозначена кинетическая энергия системы
1 "
Т = 2 X а>/д(13)
J --
Величины а.} связаны с распределением масс механической системы (1.1) и характеризуют ее инерционные свойства. Для кинетической энергии í выполнены известные в механике неравенства
q2<T<уq2, q2 = £q2, Хр = const>0 (1.4)
: 1
при любых значениях qi, qj.
Для формального анализа свойства управляемости системы (1.1) вводятся следующие предположения о свойствах изучаемого объекта. Будем полагать, что в неравенствах (1.4)
0 < Х1 < Х1 < (1.5)
Значения сил Qi в системе (1.1) при всех qi, qj и t > t0 (t0 - некоторый момент времени) будем считать ограниченными:
\Qi(q, q, t)| < ht, hi = const > 0 (1.6)
Линейные формы (1.2) предполагаются линейно независимыми:
rank\\fj\ = g (1.7)
Это предположение считается естественным в динамике систем с неголономными связями.
В качестве допустимых управлений в системе (1.1) рассматриваются функции времени M(t) = [Mj(t), ..., MN(t)}, значения которых при всех t ограничены:
\Mi (t )|< H, Hi = const > 0 (1.8)
Класс таких функций обозначим через U = U(Hi).
В качестве решений системы (1.1), (1.2) рассматриваются функции времени q = q(t), t > t0 с абсолютно непрерывной производной. На этом множестве решений функции Mi (t), Qi (q, q, t) предполагаются суммируемыми на любом конечном интервале времени. Функции aik(q), daij(q)/dqk, fik(q) предполагаются непрерывными. Введенные формальные предположения представляются достаточно естественными [1-13].
2. Постановка задачи. Свойство управляемости систем вида (1.1), (1.2) будет пониматься в смысле Калмана.
Определение 1. Система (1.1), (1.2) называется управляемой в ее пространстве состояний [qj, ..., qN, q1, ... qN} в классе допустимых управлений U, если для произвольных точек S = (qf, qf) и Se = (qe, q ) пространства существует некоторое допустимое управление M(t) б U, при котором система (1.1), (1.2) может перейти из S в Se за некоторое конечное время.
N
Для голономных механических систем условия управляемости были получены ранее [1-3]. Такой системой будет система (1.1), (1.2)
¿ЭТ _ЭТ = 0 + (21)
йгд^ а?, 0г +М1 (2.1)
если связи (1.2) не учитывать. Условие управляемости системы (2.1) имеет вид Н > к,. (2.2)
Числа к,, Н, введены в соотношениях (1.6), (1.8). Иначе говоря, требуется, чтобы управления М, механической системы доминировали над обобщенными силами 0, по размаху. Подобные условия представляются естественными. Если вес груза превышает грузоподъемность манипулятора, то управлять такой системой, очевидно, затруднительно.
Заметим, что, если связи (1.2) голономны, то система (1.1), (1.2) также может быть приведена к системе типа (2.1). Условия управляемости такой системы аналогичны условиям (2.2). Заметим также, что связи (1.2) являются голономными, если могут быть приведены к виду геометрических связей. Речь здесь о том, что некоторые системы дифференциальных уравнений (1.2) можно проинтегрировать, а ее интегралы записать в форме соотношений X fsi (ц) = 0, которые содержат только координаты системы. Существуют примеры связей (1.2), когда это невозможно (такие связи называют неголономными).
В общем случае система (1.1), (1.2) не обязательно является голономной механической системой. Для неголономной системы известные критерии управляемости непосредственно не применимы. Задача настоящей работы состоит в том, чтобы найти условия управляемости механических систем вида (1.1), (1.2) в классе V ограниченных управлений.
3. Подсистема связей. В исследовании вопроса об управляемости системы (1.1), (1.2) важную роль играют свойства ее подсистемы (1.2) - подсистемы, описывающей механические связи. Эти свойства могут существенно определять возможности управления исходной системой (1.1),(1.2). Действительно, подсистема связей (1.2) может содержать элемент, например, вида ц1 = 0. В этом случае ц^) = ц, (0), ? > 0, и система (1.2) не может быть переведена в точку ц* фазового пространства, для которой ц* Ф цх(0). Следовательно, система (1.1), (1.2) не является управляемой. Приведенный пример является формальным, однако соотношение ц1 = 0 отвечает
всем признакам описания некоторой механической связи (пример приведен только для простоты изложения). Общая цель работы состоит в том, чтобы обратить внимание на такого рода обстоятельства и разработать соответствующий метод исследования проблемы управляемости.
Именно, рассмотрим подсистему связей (1.2)
N
X fs,(Ф4, = 0, 5 = 1, 2, ..., 2 (3.1)
I = 1
как некоторую независимую систему дифференциальных уравнений. Пространство состояний системы (3.1) имеет вид {ц1, ... ц^, N - размерность пространства. В системе (3.1) имеется £ уравнений, причем N > Последнее неравенство является следствием того естественного предположения, что исходная механическая система имеет хотя бы одну степень свободы, т.е. п > 1, где п = N -
Таким образом, в системе (3.1) число N переменных больше, чем число £ уравнений. Отсюда вытекает, что системы вида (3.1) могут обладать следующей особенностью: через одну и ту же точку пространства состояний ..., дд} могут проходить несколько решений системы (3.1) (см. конкретный пример в разд. 7). Скажем, через некоторую точку 5+ = (, ..., дД) могут проходить различные решения ср(1) = ((1:), ..., дД(1)), 1 ^ 11 (Р = 1, 2, ...) системы (3.1), т.е.
др( 11) = 5+ р = 1, 2, ... (3.2)
Тогда для точки 5+ можно ввести множество
2(5+,т) = {а (11 + т), д2(11 + т), ...} (3.3)
Элементы этого множества - точки д1(11 + т), д2(11 + т), ... пространства ..., дд} состояний системы (3.1). Множество Д5+, т) аналогично множеству достижимости, которое имеет смысл для управляемых динамических систем [14, 15]. В связи с этим введем следующее определение.
Определение 2. Точку 5~ = (сЦ, ..., qN) пространства состояний ..., дд} системы (3.1) будем называть достижимой из точки 5+ = (, ..., дД), если существует такая допустимая траектория д*(1) движения системы (3.1), что с*(^) = 5+, с*(^ + т) = 5-, где 0 < т < те.
В определении 2 речь идет по существу о следующем свойстве системы (3.1). Пусть для системы (3.1) заданы две точки 5+ и 5-. Пусть в некоторый начальный момент времени 11 система (3.1) находится в точке 5+, т.е. (д1(11), ..., сД/1)) = 5+. Пусть также в некоторый момент времени 1 = 11 + т множество (3.3) Д5+, т) содержит точку 5-. Если т < те, то точка 5" достижима из точки 5+ согласно определению 2. Таким образом, определение 2 отмечает тот факт, что некоторые точки пространства {д1, ..., дд} могут быть соединены конечными отрезками траекторий системы (3.1). Оказывается, это обстоятельство важно далее для анализа свойства управляемости исходной механической системы.
Определение 3. Допустимыми траекториями в определении 2 будем считать функции времени д(1) = (д1(1), ..., дд(0), для которых производные с?;- (1) непрерывны.
Введение указанного класса допустимых траекторий обусловлено тем, что решения с(1) системы (3.1) далее предполагается рассматривать в качестве решения исходной системы (1.1), (1.2). С этой точки зрения интерес представляют не любые, а достаточно гладкие решения системы (3.1). В частности, здесь необходимо учесть ограничения (1.6), (1.8), накладываемые на управления и обобщенные силы Q¡ и исходной механической системы. Поэтому далее рассматриваются такие решения с(1) системы (3.1), для которых производные (1) непрерывны.
Сформулируем следующее предположение, которое лежит в основе исследования свойства управляемости исходной системы (1.1), (1.2).
Свойство достижи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.