научная статья по теме УПРАВЛЯЕМЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ И АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «УПРАВЛЯЕМЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ И АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИЯХ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 53, № 12, с. 1498-1503

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^

В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ

УДК 621.321.8

УПРАВЛЯЕМЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ И АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ

ВОЗДЕЙСТВИЯХ

© 2008 г. Э. В. Кальянов

Поступила в редакцию 29.03.2006 г.

Приведены новые модели генератора с запаздыванием, основанные на ангармоническом осцилляторе с нелинейной возвращающей силой. Рассмотрено параметрическое и автопараметрическое управление колебаниями. С помощью численного анализа показана возможность возбуждения развитого хаоса при слабой нелинейности амплитудной характеристики.

ВВЕДЕНИЕ

Возможность возбуждения хаотических колебаний в генераторах с запаздывающей обратной связью (ЗОС) хорошо известна [1-3]. Генераторы с запаздыванием явились одними из первых автоколебательных систем с хаотической динамикой, на которых хаотизация колебаний широко исследовалась не только теоретически, но и экспериментально [4, 5], в том числе и при неавтономных режимах работы [6-8].

В связи с наличием большого числа степеней свободы (теоретически бесконечного) генераторы с запаздыванием обладают рядом особенностей и их изучение нельзя считать завершенным. К тому же возможна модификация таких систем, способствующая возбуждению более развитого хаоса. Параметрические явления также открывают новые возможности развития хаотизации колебаний. Применительно к некоторым системам с запаздыванием они исследовались в ряде работ как с помощью численных методов анализа [9, 10], так и экспериментально [11, 12]. Однако новые модификации генераторов с ЗОС, в колебательных системах которых используется нелинейная возвращающая сила, не рассматривались.

В данной работе исследуется простая модификация генератора с ЗОС, основанная на ангармоническом осцилляторе с нелинейной возвращающей силой. Рассматривается хаотизация при параметрической накачке внешним сигналом, а также при автопараметрическом "самовоздействии" сигнала, задержанного в дополнительной ЗОС. Приводятся результаты численного анализа.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Уравнение одной из простых моделей, пра-

вильно отображающей основные особенности генератора, основанного на усилителе с запаздыва-

ющей обратной связью, можно представить следующим образом:

d2 x/dt2 + е dxldt + ю^ x = ю^ BF( xT), (1)

где е, fflg, B - постоянные, F(xT) - нелинейная характеристика усилителя, xT = x(t - т), т - время запаздывания в цепи обратной связи. В работе [13] нелинейная характеристика представлена с помощью синусоидальной функции, а в работе [14] - с помощью кубического выражения.

При B = 0 уравнение (1) описывает линейный гармонический осциллятор. Если вместо линейного осциллятора использовать нелинейный ангармонический колебательный контур с параметрической накачкой, описываемый нелинейным уравнением Матье [15]

d2x/dt2 + edxldt + ю^(1+ A cos Q t)x + вx3 = 0, (2)

где A, Q - амплитуда и частота накачки, в - параметр нелинейной возвращающей силы, то вместо (1) будем иметь

2 2 2 d x/dt + edxldt + ю0 (1+ A cos Q t)x +

(3)

+ в x3 = ю2 BF( xT).

Уравнение (2) исследовалось многими авторами как параметрическая система, но лишь в работе [16] показано, что система (2) обладает хаотической динамикой - преобразует гармонические колебания в хаотические. Поэтому возможность хаотизации колебаний в автоколебательной системе (3) представляется естественной.

Внешняя параметрическая накачка может быть заменена воздействием собственного сигнала, задержанного во времени настолько, чтобы он "воспринимался" системой как внешний. В этом

случае будем иметь автопараметрическое самовоздействие, так что

2 2 2 й х/йг + £йх/йг + ю0[ 1+ рх(г - тр)]х +

+ вх3 = ю0БР[х(г - т)],

(4)

где р - коэффициент автопараметрической обратной связи, тр - время задержки сигнала в цепи дополнительной обратной связи.

Уравнение, описывающее автономные колебания в рассматриваемой системе, получаем из (4) при р = 0. Оно имеет вид

й2 х / йг2 + £ йх/йг + ю2 х + в х3 = = ю0БЕ[х(г - т)].

(5)

Численный анализ рассматриваемых моделей проводился при использовании в качестве нелинейной характеристики выражения [3]

^ (х) = х/ (1 + хп),

(6)

где п - параметр нелинейности.

Расчеты проводились методом Рунге-Кутта четвертого порядка при шаге интегрирования по времени г, равном 0.01. Неизменяемые параметры выбраны так, что £ = 0.25, ю 0 = 1, в = 0.2, т = 6. Начальные условия для переменных, когда это не оговорено особо, равны 0.1. Бифуркационные диаграммы рассчитывались, когда это не отмечено специально, при увеличении адиабатически изменяемого параметра.

2. АВТОНОМНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ

При сильно выраженной нелинейности амплитудной характеристики с падающим участком ха-отизация колебаний в системе с запаздыванием проявляется, как правило, лучше, хотя реализуется и не во всех случаях [17]. При очень слабой нелинейности (при отсутствии падающего участка) хао-тизация колебаний не возникает. Соотношение (6) позволяет изменять крутизну падающего участка в широких пределах. При использовании этого выражения амплитудная характеристика с достаточно малой величиной производной падающего участка реализуется при п = 2. При этом значении параметра нелинейности она равна к = -0.0025. При п = 4 производная падающего участка практически такая же, как и в случае характеристики, описываемой выражением ^(х) = хехр(-х2), и достигает уже величины к = -0.0125. При п = 8 крутизна падающего участка равна к = -0.03.

На рис. 1 приведены бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие изменение максимальных значений колебательного процесса х(г), обозначенных [х], в зависимости от параметра усиления. Диаграммы рассчитаны при использовании урав-

[х] 6 3

-3 [х]

6

3

0

-3 [х]

6 3 0

(а)

(б)

..........:':■■

(В)

.гЛ","4'"V -'- У '"- " ' 1 в -■|Г

10

20

В

Рис. 1. Изменение максимальных значений колебательного процесса в зависимости от параметра усиления при различных нелинейностях амплитудной характеристики: п = 2 (а), 4 (б) и 8 (в).

нений (5), (6) для различных величин параметра, определяющего нелинейность характеристики (п = 2, 4, 8). При расчете эти уравнения записывались в виде

йх/йг = у, йу/йг = - £ у - ю2 х - в х3 + (7)

+ ю2Бх(г - т)/{1 + [х(г - т)]п}.

Как видно из рис. 1а, при п = 2 во всем интервале изменения параметра усиления реализуются регулярные колебания, за исключением бифуркационных значений Б = 10.5 и Б = 25, при которых происходит скачкообразное (с переходом через хаос) изменение амплитуды колебаний. Бифуркации усложняются с увеличением параметра нелинейности, и область значений параметра уси-

0

0

[х]

(а)

■ i- н ;

! | I ъ 1

■ . " "л ^

. ■¿•'■Аи,-.... . »I1®' ■ - ;

[х]

(б)

_9LLi

[х]

14

-14

(в)

0

2

4

Q

Рис. 2. Изменение максимальных значений колебаний в зависимости от частоты внешнего сигнала при различных его амплитудах: А = 10 (а), 20 (б) и 40 (в).

(а)

-30

-30

20 (б)

40

60

Рис. 3. Фрагменты реализаций колебательного процесса при параметрической накачке.

ления, соответствующих хаотическим колебаниям, расширяется. Если при п = 4 нерегулярный разброс точек, соответствующих максимальным значениям колебательного процесса, существует лишь в интервале В е [6, 8] (рис. 16), то при п = 8 этот разброс точек, определяющих хаотические колебания, реализуется при всех значениях параметра усиления, превышающих величину В - 3 (рис. 1в).

При увеличении параметра усиления в случае рис. 1а изменяется не только амплитуда регулярных автоколебаний, но и их частота. Значению В = 8 на диаграмме рис. 1а соответствуют одно-тактные колебания с частотой генерации ш = 1.94, а величине В = 28 - колебания с частотой ш = 2.95.

3. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ХАОТИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ

Для наглядности эффект хаотизации при параметрическом воздействии целесообразно рассмотреть при малой величине отрицательной производной амплитудной характеристики. При численном анализе параметрической хаотизации колебаний использовались уравнения (3) и (6), записанные в форме

dx/dy = y,

dyldt = - ey - ю0(1 + A cos Qt)x - вx3 + (8)

2 2 + tt2Bx( t - т)/{1 + [ x (t - т)]2}.

На рис. 2 приведены бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие изменение максимальных значений колебательного процесса x(t) в зависимости от частоты внешнего сигнала при различных его амплитудах. Начальные условия определялись значениями для переменных, реализующихся при B = 8.098898 на рис. 1а.

Как видно (рис. 2а), при A = 10 нерегулярный разброс точек, определяющих хаотизацию колебаний, наблюдается при частотах накачки Q < 1.9. При больших частотах внешнего сигнала сохраняется режим регулярных движений.

Область хаотизации автоколебаний расширяется с увеличением амплитуды внешнего сигнала. При этом, однако, возникают "окна" дехаотиза-ции. При A = 20 (рис. 26) дехаотизация наблюдается в интервале частоты накачки Q е [2.6, 3.4], а при Q > 3.8 хаотизация не возникает. При A = 40 (рис. 2в) в интервале Q е [2, 2.5] возбуждаются двухтактные колебания, а в интервале Q е [3.9, 4.6] - однотактные с переходом к хаосу через удвоение периода.

На рис. 3 приведены характерные фрагменты реализаций колебательного процесса. На рис. 4а представлен аттрактор, а на рис. 46 - спектр мощности, рассчитанные при начальных услови-

8

0

9

0

х

0

0

t

х

0

t

(а)

У

-120

-24 дБ

-15

(б)

-35

-55

0 6 12 ю

Рис. 4. Аттрактор в интервале времени г е [0, 80] (а) и спектр мощности (б) при параметрической накачке.

ях, определяющихся значениями переменных при О = 3.015355 на диаграмме рис. 2в. Как видно (см. рис. 3), колебания отображают нерегулярные движения. Аттрактор (рис. 4а) свидетельствует о хорошем перемешивании фазовых траекторий. Его структура практически такая же, как и при параметрическом возбуждении ангармонического осциллятора [18], не являющегося автоколебательной системой. Спектр мощности (рис. 46) непрерывный и занимает широкую полосу частот.

Приведенные результаты свидетельствуют о возможности параметрической хаотизации колебаний при параметрах, при которых в автономной системе возбуждаются регулярные движения.

4. АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ХАОТИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ

Численный а

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком