РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2006, том 51, № 4. с. 437^44
«г _ __ДИНАМИЧЕСКИИ ХАОС _ _
В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 519.9
УПРАВЛЯЕМЫЙ ХАОС В СИСТЕМЕ ГЕНЕРАТОРОВ ВАН ДЕР ПОЛЯ ПРИ ИХ ЕМКОСТНОЙ СВЯЗИ
© 2006 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 28.01.2004 г.
Приведена математическая модель автоколебательной системы с хаотической динамикой, основанная на связанных через емкость генераторах Ван дер Поля. Для обеспечения хаотического поведения системы используется достаточно простой алгоритм дополнительной обратной связи, включающий в себя нелинейные условия переключения колебаний и фильтрующие устройства. Приведены результаты численного анализа применительно к двум генераторам. Показано, что при хаотизации колебаний происходит переключение движений между двумя дополнительными областями притяжения, реализующимся благодаря алгоритму хаотизирующей обратной связи. Рассмотрено влияние внешнего гармонического сигнала.
ВВЕДЕНИЕ
Емкостная связь генераторов Ван дер Поля, как и другие виды связи (резистивная, индуктивная), детально изучены, хотя в основном, только приближенными аналитическими методами [1-3]. Хорошо известны возможные практические применения взаимно синхронизированных генераторов [3].
В связи с широким исследованием в последнее время хаотических систем и поиском их возможных применений связанные системы Ван дер Поля вновь представляют интерес, но уже с позиций систем с хаотической динамикой, и, в частности, с позиций возможности хаотизации колебаний в режиме автокоммутации [4], основанном на применении алгоритма хаотизирующей обратной связи (АХОС).
В данной работе рассматривается хаотизация колебаний в системе двух связанных через емкость генераторов Ван дер Поля при использовании АХОС. Приводятся результаты численного анализа. Исследуется воздействие внешнего гармонического сигнала.
где (1, - параметры превышения над порогом генерации, со, - резонансные частоты колебательных контуров, у/( - коэффициенты взаимной емкостной связи, ^¡(х,) - функции, определяющие нелинейные свойства парциальных подсистем.
Ограничиваясь случаем двух связанных генераторов и конкретизируя функции выраже-
нием Ь](х:) = (1 - а,х- ), введем в правую часть уравнений (1) воздействующий сигнал /(0, определяемый АХОС. Будем иметь
- цД 1 - а1х])(1х1/(11 + (о]хх =
= 721*2 + Р.ДО,
й?2х2/й?г2 -112( 1 - а2х2у.т2/Л + = = 721*1 + Р2/(0,
где
[аг,, если х,>х7, ПО = ^ - (3)
[г?12, если х^>хг.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ С АХОС
Уравнения, описывающие емкостную связь нескольких генераторов Ван дер Поля, имеют вид [1]
(12х1ШГ - Ц^Х-с^аУс/г + и)21х1 =
= I
аь а2, Р1( Р2. а, Ъ - постоянные коэффициенты. При этом значения переменных иг2 определяются линейными уравнениями фильтрующих элементов:
^"г^с^2 + (Q.2/Q2)dz2/dt + 0.]г 2 = 602.л:1.
(4)
и} *'
Здесь £2], £22 - резонансные частоты фильтров, (),, О2 - добротности фильтров, 50|, 802 - постоянные коэффициенты.
(а)
2
2 V
1 -
О 0.25 0.50 0.75 1.00
712. 721
Рис. 1. Изменение максимальных значений колебаний Х|(() в зависимости от коэффициентов емкостной связи 721 (а. кривая /) и Уп (а. 2), а также изменение частоты синхронных колебаний при изменении этих коэффициентов (б).
Уравнения (2)-(4) определяют математическую модель двух генераторов Ван дер Поля при их емкостной взаимной связи, когда хаотизация обеспечивается благодаря наличию АХОС.
Следует отметить, что взаимная связь парциальных генераторов в системе, описываемой выражениями (2)—(4), существует не только при у,2 ф 0. у21 Ф 0, но и в случае у,2 = У21 = 0, если (3, Ф 0, Р2 * 0, 801 Ф 0, 8Ш Ф 0. Это обусловлено тем, что нелинейная функция /(г) зависит, в соответствии с условием (3), от значений г, и определяемых, в свою очередь, колебательными процессами *,(/) и х2(0-Иными словами, в рассматриваемой связанной системе наряду с классической емкостной связью осуществляется дополнительная нелинейная взаимная связь через АХОС.
Численный анализ проводился методом Рунге-Кутта 4-го порядка при шаге интегрирования 0.02. Неизменяемые параметры определяются следующими значениями: о»! = 0.9, аь = 1.2, ¡а, = = 0.2, а, = а2 = 1, = 02 = 100, а = Ь = 1, 8(И = 802 = 0.4.
В связи с малыми величинами параметров и |Д2 частоты генерации парциальных подсистем при их автономной работе практически не отличаются
от резонансных частот колебательных контуров. Поэтому значения собственных частот колебательных контуров фильтрующих элементов заданы для определенности равными собственным частотам парциальных подсистем (Q, =£2(Н, il2 = Д|2).
При анализе внешнего воздействия на связанные генераторы, описываемые соотношениями (2)-(4), внешний гармонический сигнал A1 cos(Qt) вводился аддитивно в правую часть второго уравнения системы (2).
2. ОСОБЕННОСТИ СИНХРОНИЗАЦИИ ПРИ ЕМКОСТНОЙ СВЯЗИ
Поскольку анализ взаимной емкостной связи генераторов Ван дер Поля проводился, как уже отмечалось, в основном приближенными аналитическими методами, некоторые особенности явления синхронизации остались неизученными. Поэтому остановимся на тех из них, которые представляются существенными при исследовании хаотизации колебаний с помощью АХОС.
Поведение частоты синхронных колебаний при чисто емкостной связи, когда р12 = (32] = 0, не соответствует изменению, ожидаемому из общих физических соображений. Как при симметричной, так и при асимметричной связях частота синхронных колебаний связанных генераторов Ван дер Поля расположена не между частотами взаимодействующих колебаний, как это можно было ожидать, а вне интервала этих частот. При этом поведение амплитуды колебаний при асимметрии связи может зависеть от того, воздействие какого генератора является преобладающим (рис. 1).
На рис. 1а показано распределение максимальных значений колебательного процесса x^t) (обозначенных [xj), а на рис. 16 - соответствующие значения частоты синхронных колебаний при изменении взаимной связи. Кривая 1 рис. 1а рассчитана при изменении (уменьшении) параметра у2,, когда у 12 - const (у12 = 0.6), а кривая 2, наоборот, -при уменьшении коэффициента у(2, когда у21 -const (у2, = 0.6). Поведение синхронной частоты, реализующееся в случае кривой 1 (рис. 1а), отображается на рис. 16 с помощью кривой, построенной (при у,2 = const) по точкам, обозначенным крестиками, а реализующееся в случае кривой 2 (рис. 1а) - с помощью кривой, построенной (при У21 = const) по точкам, отмеченным кружками.
Как видно (рис. 16), при у:1 = 0.6 уменьшение у12 от 1 до 0 приводит к монотонному возрастанию частоты синхронных колебаний от со = 0.52 до 0.89. В случае у,2 = 0.6 при уменьшении у2, в окрестности бифуркационного значения параметра связи у21 = yh (yh ~ 0.33) наблюдается скачок синхронной частоты от со = 0.74 к 1.29. Этот скачок
частоты сопровождается скачком амплитуды колебаний (кривая 2 рис. 1а); при у12 < 7ьона меньше, чем при у12 > уь. Следует отметить, что амплитуда колебаний х2(1) также претерпевает скачок; при этом она, наоборот, при у]2 < У/, больше, чем при У]2 > Уь- Характерно, что при наличии скачка частоты происходит изменение соотношения фаз колебательных процессов и л2(0- При у12< уь колебательные процессы Х|(0 и х2(0 синхронизированы в противофазе, а при у,2 > уь они синфазны.
В крайних случаях несимметричной связи, ког-да у12 = 0 или у21 = 0, обеспечивается однонаправленное воздействие, так что один из генераторов является синхронизирующим, а другой синхронизируемым; реализуется режим захвата и частота синхронных колебаний определяется колебаниями воздействующего генератора.
В случае симметричной связи взаимодействующих подсистем, когда у12 = у2] = у, частота синхронных колебаний при увеличении коэффициента симметричной емкостной связи монотонно снижается до величины со = 0.26 (при у = 1). При этом максимальное ее значение после бифуркации, соответствующей при увеличении у переходу от асинхронного режима к синхронному (при у ~ 0.4), не превышает частоты колебаний первого генератора, имеющего меньшую частоту (со = 0.89).
Приведенные результаты свидетельствуют о том, что при взаимной емкостной связи синхронные колебания возбуждаются преимущественно на частотах, меньших частоты низкочастотного генератора; колебания на собственных частотах парциальных подсистем являются лишь потенциально возможными. Этим определяется описанный выбор частот переключения при обеспечении АХОС.
3. СИММЕТРИЧНО СВЯЗАННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ С АХОС
При симметричной взаимной связи подсистем с АХОС полагалось, что у,2 = у21 = У, |3| = |32 = Р-
На двухпараметрических диаграммах (рис. 2) иллюстрируется влияние параметров взаимной емкостной связи у и хаотизирующей обратной связи (3 на режимы работы симметрично взаимно связанных подсистем. Диаграммы построены на основе однопараметрических диаграмм изменения максимальных значений колебательного процесса л'|0). рассчитанных для различных значений при изменении коэффициента емкостной связи. Начальные условия для всех переменных полагались равными 0.1. Области 1 на диаграммах соответствуют асинхронному режиму работы, 2 -сложным регулярным колебаниям, 3 - одночас-тотным колебаниям с простым предельным цик-
У
Рис. 2. Двух параметрические диаграммы на плоскости параметров связи, рассчитанные при увеличении параметра симметричной емкостной связи (а) и при уменьшении (б).
лом, 4 - колебаниям, которым соответствует дву-хоборотный предельный цикл, 5 - многочастотным колебаниям, 6 - хаотическим колебаниям, 7 - отсутствию колебаний. Естественно, границы между областями достаточно условны, так как переход от одной структуры колебаний к другой не всегда происходит жестким образом.
Как видно, при фиксированных значениях коэффициента хаотизирующей обратной связи путем изменения параметра у можно переходить к различным режимам работы связанной системы. При этом бифуркационные значения у зависят от того, увеличивается или уменьшается этот параметр: проявляется гистерезис.
На рис. 3 показаны характерные однопарамет-рическпе диаграммы. Они соответствуют значению параметра хаотизирующей обратной связи [3 = 0.5 на рис. 2 и отображают изменение максимальных значений колебатель
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.