МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2009
УДК.539.384
© 2009 г. И.С. НИКИТИН
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ТЕОРИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
На основе представлений теории скольжения Батдорфа-Будянского строится модель упругопластической среды для случая трехмерного напряженного состояния. Условия скольжения на единичной площадке учитывают локальный критерий текучести и локальный критерий нагружения. При определенных предположениях удается проинтегрировать приращения пластических сдвигов по всевозможным площадкам скольжения в случае произвольного трехмерного напряженного состояния и получить определяющие соотношения упругопластической модели, которые оказываются вариантом теории пластического течения.
1. Условие скольжения. В работе рассматривается вариант теории скольжения, применяемый при построении упругопластических моделей деформируемого твердого тела. Первая теория такого типа была предложена Батдорфом и Будянским [1] и основана на гипотезе, что пластическая деформация в материальной частице определяется путем интегрирования относительных сдвигов, возникающих на всех площадках, где выполнены определенные условия скольжения. Исследования Койтера [2] показали, что общую теорию скольжения Батдорфа-Будянского можно рассматривать как вариант упругопластической модели с ассоциированным законом течения для случая бесконечного числа функций текучести. В дальнейшем в работах различных авторов [3-7], применявших концепцию скольжения для построения упругопластических моделей, интегрирование выражений для приращений тензора пластической деформации проводилось для конкретных процессов нагружения, для случаев одноосного или плоского напряженного состояний, либо численно. Произвести интегрирование по всевозможным площадкам скольжения в случае произвольного трехмерного напряженного состояния, по-видимому, пока не удавалось. Это связано как со сложной нелинейной зависимостью области интегрирования от структуры напряженного состояния, так и с нелинейным характером условий скольжения. В работах [8, 9] концепция скольжения применена для получения уравнений, описывающих поведение упру-говязкопластической среды. В этом случае в формулировке локального условия скольжения участвует единственный критерий - превышение касательным напряжением на площадке некоторого предельного уровня (локального предела текучести). При построении упругопластической модели на основе классической концепции скольжения Батдорфа - Будянского, применяемой и другими авторами [4-7], необходимо учитывать и локальный критерий нагружения - условие положительности производной от модуля касательного напряжения на площадке по параметру нагружения. Это вносит дополнительные усложнения в процедуру аналитического интегрирования пластических сдвигов по всевозможным площадкам скольжения.
В настоящей работе на основе представлений работы [9] рассматривается именно такой, классический вариант условия скольжения. При определенных предположениях удается выполнить интегрирование для произвольного трехмерного напряженного состояния и получить замкнутый вариант упругопластической модели, который ока-
зывается вариантом теории пластического течения. Показано, что при этом выполняется ассоциированный закон течения, выписана функция течения полученной модели. Предложенный метод интегрирования можно использовать для установления связи между локальными условиями и макроскопическими уравнениями и для некоторых других условий скольжения.
Примем гипотезу о том, что в каждой точке рассматриваемой среды скольжение (пластический сдвиг) может происходить вдоль любой плоскости с нормалью n, проходящей через эту точку. В декартовой системе координат x1, x2, x3 напряженное состояние в этой точке задается тензором напряжений s. Вектор скольжения (пластического сдвига) g равен относительному смещению [u] вдоль выбранной плоскости. Вектор касательного напряжения t на этой плоскости равен
t = s • n - (n • s • n) n
Процесс нагружения будем характеризовать параметром нагружения £ и производную по параметру нагружения будем обозначать верхней боковой точкой, так что, например, dy = Y'd£. Основные допущения о характере скольжения на единичной площадке совпадают с принятыми в работах [6, 7] и заключаются в следующем. Скольжение (пластический сдвиг) происходит при выполнении критического условия |t| > т0, или, при нормировании напряжений на т0: |t| >1, а также при выполнении условия локального нагружения |t|' > 0. В противном случае пластический сдвиг прекращается. Направление приращения сдвига g' совпадает с направлением вектора t, модуль приращения сдвига пропорционален приращению модуля касательного напряжения. В дальнейшем вместо модуля касательного напряжения будем использовать значение квадрата модуля.
Рассмотрим условие скольжения на единичной площадке, удовлетворяющее принятым гипотезам, следующего вида:
• 2 ' 2 2 •
g= Со(т2)tH(т -1)H((т ) ) (1.1)
где H(x) - функция Хевисайда, c0 - некоторый коэффициент, являющийся параметром модели. В дальнейшем будем также использовать обозначение: (F) = H(F)F. В соответствии с представлениями теории скольжения вклад приращения сдвига g'd£ вдоль площадки с нормалью n в приращение тензора пластической деформации e'd£ равен
г' = (n < g' + g' < n)/2 (1.2)
Производная тензора деформации по параметру нагружения на плоскости скольжения с учетом (1.1) равна
• 2 ' 2 2 '
г = c0(n < t + t < n)(т2)H(т2-1)H((т2) )/2 (1.3)
2. Тензор пластической деформации. Перейдем в систему координат, связанную с главными осями тензора напряжений такую, что главные значения тензора напряжений Oj, о2, о3 удовлетворяют неравенствам Oj > о2 > о3. Также введем связанную с ней сферическую систему координат R, Ф, ф так, что компоненты единичной нормали равны
n1 = sin Ф cos ф, n2 = sin Ф sin ф, n3 = cos Ф
Интегральные компоненты тензора г', полученные интегрированием по всевозможным площадкам скольжения с нормалями, лежащими внутри телесного угла dQ = sinФdФdф имеют вид:
• ÍT 2 2*2* 22
гп = с0 IIН(т -1)Я((х ) )(т ) (Oj - о0)sin вcos фsinвdвdф
в, ф
• ГГ2 2*2* 22
е22 = с0 II Н(т -1) Н((т ) )(т ) (o2-о0) sin в sin ф sin вdвdф (2.1)
в, ф
еэз = с0 J} Н(т2-1) Н((т2) )(т2) (o3- о0) cos2 в sin в de dф
в, ф
2 2 2 2 2 O0 = O1sin в cos ф + O2sin в sin ф + o3cos в
Касательное напряжение в плоскости скольжения можно представить в виде:
т2 = (A2cos2 в + Б2) sin2 в
(2.2)
A = S3 + £12^2ф, Б = S12sin2 ф Принятые обозначения для главных касательных напряжений:
Sj2 = (Oj — O2)/2, Sj3 = (Oj - O3)/2, S23 = (O2 — O3)/2
а также обозначение S3 = (o1 - o3)/2 + (o2 - o3)/2 для суммы двух из них. При этом выполняется соотношение S3 + S12 = 2S13 > 0. Условия для определения пределов интегрирования по в и ф в (2.1) имеют вид: т2 - 1 > 0, (т2У > 0. Рассмотрим определение пределов интегрирования при этих условиях по отдельности.
3. Определение пределов интегрирования из условия t2 - 1 > 0. Это условие подробно исследовано в работе [9]. В результате получено, что пределы интегрирования по в имеют вид:
max[0, У2_] < cos2в < У+
У± = cos2 в± = f A2- Б2 ±J(A 2 + Б2 )2 -4 A2! / (2 A2)
(3.1)
Область допустимых значений для в в плоскости (A, Б) имеет вид, показанный на фиг. 1 и представляет собой внешность заштрихованной области, которую обозна-
22
чим Z, причем У- < 0 при Б2 > 1 и предел интегрирования должен быть заменен на 0.
2 2 2
Контур Г интегрирования по ф представляет собой часть окружности (A - S3)2 + Б2 = S12,
расположенную в разрешенной (незаштрихованной) области в плоскости (A, Б) (фиг. 2). Из соображений симметрии при определении пределов и контуров интегрирования в дальнейшем будем рассматривать только первую четверть плоскости переменных (A, Б) (A > 0, Б > 0).
4. Определение пределов интегрирования из условия (t2) > 0. Это условие накладывает дополнительные ограничения на допустимые значения углов в, ф и может быть
записано при S12 Ф 0 и S12 Ф 0 в следующем виде:
2 • • 2 2 2 (т2) = 2S12/S12[A(A - A0)cos2в + Б ] sin2в> 0 (4.1)
Фиг. 1
где Л0 = 2(S13S12 - S12S13)/S12 - дополнительный комбинированный параметр, характеризующий процесс нагружения материальной частицы наряду с независимыми производными S12 и S13.
2
Рассмотрим невырожденный случай S12 Ф 0, S12 Ф 0. Введем обозначение Y0 =
= Б2/[Л(Л0 - Л)], 0 < Л < Л0. Для определения допустимых значений Ф, удовлетворяющих условию (4.1), необходимо рассмотреть последовательность следующих вариантов.
При S12 > 0 условие (4.1) выглядит следующим образом:
Л (Л - Л0) cos2 Ф + Б2 > 0 Если Л > Л0, то диапазон интегрирования (3.1) не изменяется:
max[0, Y2] < cos2Ф < Y+ Если 0 < Л < Л0, то диапазон интегрирования имеет вид:
max[0, Y2_] < cos2Ф < min[y2, Y+ ] (4.2)
При S12 < 0 условие (4.1) выглядит следующим образом:
Л (Л - Л0) cos2 Ф + Б2 < 0 Если Л > Л0, то допустимых значений Ф не существует.
B
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
А
Фиг. 3
Если 0 < A < A0, то диапазон интегрирования имеет вид: max[ Y0, Y2 ] < cos2Ф < Y+
(4.3)
Интегрирование по ф должно производиться по контуру Г в "разрешенной" части плоскости (А, В) (см. фиг. 2), но при этом необходимо учитывать, что на различных участках этого контура в зависимости от соотношения величин У0(ф) и У+(ф) пределы интегрирования по Ф из (4.2) и (4.3) будут различны.
Определим в плоскости (А, В) области, в которых выполнены условия Y0 > Y+, Y < Y0 < Y+, Y0 < Y_. Обозначим эти области Б+, Б0 и соответственно. Для их определения необходимо решить неравенства
Б
A2 - Б2 ±V(
A(A0 - A )
I (A + Б ) -4 A
2 A2
Анализ решений этих неравенств приводит к следующим выводам. При А0 < 2 в "разрешенной" (незаштрихованной) части плоскости (А, В) (фиг. 1) всегда выполнено условие Y- < Y0 < Y+. При А0 > 2 расположение области Б+, Б0 и показано на фиг. 3. Область Б0 описывается следующим образом:
(А/2 ^А2/4 - А/А0)(А0 - А) < В2 < (А/2 +л/а2/4- А/А0)(А0 - А) 4/А0 < А < А0
Она касается "запрещенной" (заштрихованной) области Ъ в плоскости (А, В) в единственной точке А = А0/(А0 - 1), В2 = А0(А0 - 2)/(А0 - 1)2. Обозначим часть контура Г, принадлежащую области Б+ через Г+ (Г+ : Г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.