КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 2, с. 183-189
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ =
УДК 531
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИСТЕМЫ ДВОЙНОГО АСТЕРОИДА
© 2008 г. Е. И. Отставнов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 22.05.2007 г.
PACS: 95.10.Ce
Постановка задачи и уравнения движения. Даны два твердых тела Тъ Т2 с центрами масс Сь С2, массами ть т2 и центральными тензорами инерции ] и А соответственно. Центр масс системы обозначим 5 и поместим в нем начало абсолютной системы координат Охуг. Пусть также и С2аРу - главные центральные оси инерции первого и второго тел соответственно. Положение системы будем задавать с помощью вектора
г = С1С2, а также направляющих ортов (е1, е2, е3), (а, Р, у) систем и С2аРу. Обозначим как й/йг производную по времени в абсолютных осях. Ниже нам потребуется производная в осях, вмороженных в первое тело которую будем обозначать точкой и называть локальной. Функция Лагран-жа системы имеет вид:
L = 2 (if И(Jw-w >(A WW >+
/ 0Ч / 0Ч , 0 , 0 Oi( pi )a2( p2)dpiip2-
f -_G
J Г F p0
T1 x T21Г - Fi pi
(1)
00 - Fi pi + F2p2
В задаче имеет место интеграл энергии
H = 2(f)Ч(Jw W) + 2(AW W) -
/0ч / 0Ч , 0 , 0
Oi( pi )O2( p2)ipiip2-
f -_G
00 T, x t, lr - Fipi + F2 p2
(2)
и векторный интеграл кинетического момента системы относительно точки O.
d Г
Ko = Jw + AW + цг x dt = k = const. (3)
Приступим к получению уравнений динамики двойного астероида.
Обозначим для краткости силовую функцию взаимодействия
U
= f -_G
T, x t, 1Г - Fi pi
/ 0s , 04 , 0 , 0
0 -of O1 ( pi )O2( p2) dpi dp2.
Ti x T2 |Г - Fi pi + F2p2|
Уравнения будем составлять, опираясь на оси вмороженные в первое тело. В этой системе координат и примет вид
В предыдущей формуле обозначено: ю, й - абсолютные угловые скорости первого и второго тел,
т1 т2
mi + m2
приведенная масса системы, G - уни-
0 0
версальная гравитационная постоянная, р1; р2 -лагранжевы координаты - "векторная нумерация" точек тел, определяемая их радиус-векторами относительно центров масс в начальный момент времени, а1, а2 - плотности тел, - ортогональные матрицы, определяющие текущую ориентацию тел в пространстве относительно абсолютных осей Бхуг.
Такую постановку будем называть задачей о двойном астероиде.
U
= f -_f
f0
ti x t,1г - pi
G , 0^ , 04 , 0, 0 //l4 °i (pi )O2 (p2 )dp! dp0. (4)
00 - p° + Cp2
Начиная с формулы (4) и далее вектор г предполагается заданным в осях, связанных с первым телом, если не оговорено обратное. Матрица С задает замену координат при переходе из С2аРу в и имеет своими столбцами координаты векторов а, Р, у в новых "базовых" осях. Уравнения, описывающие изменение вектора г запишем в виде
г + w x Г = v
v + w x v) =
dU
Эг'
i83
где использована известная формула, связывающая производные по времени вектора в подвижных и неподвижных осях, и введена новая переменная v = dr/dt.
Для написания уравнения изменения кинетического момента первого тела относительно его центра масс вычислим момент сил взаимного притяжения. Плотность момента имеет вид
0 г 0
8M = Ga? (р0 )с2( р0 ) р? х Г-р1 + Ср2 -
00 r -Р? + СР2
0 Э8 U
р?х аР
(6)
8 U =
G / 0, / 0,
j-0-ÔÏd?( р1 )°2( р 2)•
Ir -р? + Ср2|
Полный момент равен J 8Mdр?d р2. Удобно
Т х Т,
8 M * = -Ga? ( р 0 )d2( р2 ) С р0 х 00 х Г^+^^-Ср0 х
Г -р? + С р0 dr
(7)
я™* d8 U R d8U d8U
-8M * = a х —— + b х -г------ + g х
da ^ ЭР
Легко заметить, что 8M + 8M* = r х вместе с (8) дает
я™ Э8 U q 38U 38U 8 M = a х -г-— + Р х -— + g х --— + r х
Эу
Э8 U dr '
Э8 U
(8)
что
• (9)
d U q dU dU dU M = a х + Р х — + g х — + r х —, da ЭР Эу dr
(10)
а также теорему об изменении кинетического момента первого тела (теорему Кёнига)
J w + ю х J ю =
dU Q dU dU dU = a х -т— + Р х T---7 + g х + r х ---, da ЭР dg dr
(11)
рассмотреть соответствующее выражение для второго тела, задавая, однако, все векторы в системе координат
Орты а, Р, у вморожены во второе тело, поэтому уравнения Пуассона, описывающие их движение в главных центральных осях тела Т1, имеют вид
'а = (й - ю) х а
Р = (й - ю) х Р. (12)
I у = (й - ю) х у
Соотношения (12) представляют собой формулы, связывающие скорости ортов системы С2аРу в самой этой системе и в осях, связанных с первым телом, причем й - ю - это угловая скорость второго тела относительно первого. Замкнем уже имеющиеся системы уравнений, используя интеграл (3). Предполагая динамическую невырожденность второго тела, из него можно выразить й как функцию г, V = йг/йг, ю и Ко. Последняя группа уравнений, задающая й и выражающая постоянство вектора К0 в абсолютном пространстве примет вид:
W = СА-1СТ( Ko - J ю - ц r х v ), .K0 + ю х Ko = 0,
(13)
Функция 5 и зависит, как видно из (6), от линейной комбинации векторов г и С р2, поэтому для (7) непосредственно вычисляется, что
да ЭР Эу Эг
Напомним, что С = [а Р у]. В формуле (9) дифференцирование и умножение ведется с использованием переменных, которые не используются при интегрировании по телам, поэтому можно сразу выписать выражение для полного момента сил притяжения относительно центра масс первого тела:
где Л = СТАС - центральный тензор инерции второго тела в своих главных осях. Таким образом, замкнутая система уравнений для задачи о двойном астероиде может быть записана в виде
Г + ю х г = V,
, ди
Ц(V + ю х V) = -7Т-,
дг
3 со + ю х J ю =
ди ди ди ди
= а х — + Р х — + у х — + г х —,
да дР ду дг (13а)
К о + ю х Ко = 0,
й = СЛ-1СТ(Ко - 3ю - цг х V),
а = (й - ю)х а, Р = (й - ю)х Р,
у = (й - ю) х у, С = [аРу].
Формально для полного решения требуется еще определить ориентацию первого тела в абсолютном пространстве, для чего необходимо решить уравнения Пуассона для ортов вмороженной в Т1 системы
' d e? dt de-dt d e3 dt
= ю х e
= ю х e
2'
(14)
= ю х e
3
Эти уравнения интегрируются отдельно, после решения (13a).
Вышеупомянутая система допускает следующие первые интегралы:
- интеграл энергии
н = Ц (dr) Ч (J wю)+
i i (2') + 2(A (Ko - Jw - цг x v), (Ko - Jw - цг x v)) -
- U = h = const,
- интеграл длины вектора кинетического момента
22 Ko = k = const,
(15)
- геометрические интегралы
а2 = р2 = у2 = 1. (16)
Также должны выполняться условия ортогональности
(а, Р) = (Р, у) = (а, у) = 0. (17)
Решения системы (14) должны удовлетворять соотношениям, аналогичным (16) и (17).
Сравнение с ранее известными уравнениями и система уравнений для отыскания относительных равновесий. Уравнения (13а) проще стандартных, получаемых из общих теорем динамики, если ставится задача поиска относительных равновесий. Теорема об изменении кинетического момента второго тела заменена намного более простым уравнением для вектора К0, что, после подстановки первой формулы из (13) в (12), приводит к существенному усложнению соотношений (12), описывающих изменение ориентации второго тела относительно первого. Это не позволяет говорить об упрощении при наличии динамики в связанных осях. Но выведенные уравнения имеют одно заметное преимущество: общие теоремы динамики, выписанные для каждого из тел, требуют одновременного отслеживания ориентации двух реперов, а не одного, как сделано выше. Усложнение в формулах Пуассона спасает от рассмотрения локальных производных в двух подвижных системах отсчета, либо от нескольких соотношений с использованием непостоянных матриц при записи в абсолютных осях.
Т.Н. Дубошин в своей книге [1] получил уравнения движения системы многих твердых тел. Их скалярный вид удобен (в силу выбора переменных) для применения методов усреднения или использования каких-либо соображений симметрии, тогда как рассматриваемые в данной статье больше подходят для качественных оценок из-за компактности их векторной записи. В уравнениях из [1] для случая двух твердых тел также присутствуют выражения теорем об изменении кинетического момента каждого из тел.
Продемонстрируем использование уравнений (13а) при поиске относительных равновесий. Если предположить, что все локальные производные равны нулю (стационарная точка системы), то получается
dU д г'
С ю х г = V, ц( ю х V) = ю х J ю =
и и и и
= а х — + р х — + у х — + г х —,
Эа ЭР Эу Эг (18)
ю х К0 = 0,
й = СЛ-1СТ(К0 - J ю - цг х V), с = [а Р у], 0 = (й-ю)ха, Ю = (й - ю)х Р, 0 = (й - ю)х у.
Производная ^ не обращается в 0, поэтому из г
первых двух уравнений системы (18) следует, что ю Ф 0 и ю не параллельна г. Последние три уравнения с учетом (16) влекут равенство й = ю, а из четвертого получаем К0 = 1ю, где I - постоянный скаляр. Используя последние наблюдения, исключим й и вектор кинетического момента из (18) и получим
ц(w x (w x Г)) =
dU
Эг '
Эи „ ди ди ди (19) ю х J ю = а х --—- + Р х -=-=- + у х -=— + г х
а Р у г
„(А + J)ю + цг х(ю х г) = 1ю.
А - центральный тензор инерции второго тела, в осях, связанных с первым.
В последних соотношениях орты а, Р, у следует рассматривать как параметры, подчинённые условиям нормировки и ортогональности (16), (17). Применим правило раскрытия двойного векторного произведения и матричный способ записи скалярного умножения для преобразования третьей формулы в (19):
(А + J + ц(г2Е - ггТ))ю = 1ю, Е = <^(1, 1, 1). (20)
В скобках левой части (20) стоит тензор инерции системы двойного астероида как единого целого относительно центра масс, а само равенство означает, что в относительном равновесии система вращается как твердое тело вокруг одной из своих главных центральных осей инерции. Быстро и строго получен ожидаемый результат, который позволяет исключить интегрирование уравнений (14), так как угловая скорость постоянна в абсолютных и вмороженных осях, и известно начальное
состояние механической системы, отвечающее стационарному движению, если оно существует.
Сложности возникают с непосредственным нахождением решений уравнений (19). Силовая функция U в механических системах, описывающих динамику близко расположенных небесных тел, как правило, представляется в виде ряда или достаточно точно приближающей частичной суммы, которые трудно поддаются исследованию.
Достаточные условия существования бес-столкновительных ограниченных движений. Если не у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.