научная статья по теме УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ МЕДЛЕННЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ПО ТЕМПЕРАТУРЕ И КОНЦЕНТРАЦИЯМ ТЕЧЕНИЙ СМЕСЕЙ МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ Математика

Текст научной статьи на тему «УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ МЕДЛЕННЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ПО ТЕМПЕРАТУРЕ И КОНЦЕНТРАЦИЯМ ТЕЧЕНИЙ СМЕСЕЙ МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 2, 2015

УДК 533.72

© 2015 г. В. С. Галкин, С. В. Русаков

УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ МЕДЛЕННЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ПО ТЕМПЕРАТУРЕ И КОНЦЕНТРАЦИЯМ ТЕЧЕНИЙ СМЕСЕЙ МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ

Завершена формулировка системы уравнений механики газа как сплошной среды, которая описывает нестационарные медленные (число Маха много меньше единицы) ламинарные течения смеси газов при числе Рей-нольдса и относительных перепадах температуры и мольных долей порядка единицы. Распределение по внутренним энергиям молекул близко к больцмановскому (случай быстрых обменов поступательной и внутренней энергиями молекул). Различие от аналогичной системы уравнений в приближении Навье—Стокса состоит в том, что в уравнении движения учитываются барнеттовские напряжения, выражаемые через вторые производные и парные произведения первых производных от температуры и мольных долей (концентраций). Следствие действия этих напряжений — термо-и концентрационно-стрессовая конвекция. Рассмотрены частные случаи и возможные обобщения.

Статья носит обзорный характер с новыми результатами. Под неоднородными понимаются течения, в которых относительные перепады температуры и(или) мольных долей порядка единицы. Рассматриваются идеальные нейтральные молекулярные газы в сферически симметричном приближении для сечений столкновений частиц. Поступательное движение частиц трактуется в рамках классической механики, частицы обладают квантованной внутренней энергией.

Ранее [1, 2] впервые было показано существование класса ламинарных течений газа как сплошной среды (число Кнудсена Кп » М/Яе < 1), когда классические уравнения гидрогазодинамики в приближении Навье—Стокса недействительны. Этот вывод был сделан для медленных (числа Маха и Рейнольдса удовлетворяют, соответственно, условиям М < 1 и Яе = О (1)) стационарных неизотермических течений одноатомного газа. Относительные перепады температуры порядка единицы (они задаются, например, погруженными в газ нагретыми телами). В уравнении движения необходим учет барнеттовских температурных напряжений, их вклад — основного порядка величины. Следствием действия последних является новый вид свободной конвекции в отсутствие внешних сил — термострессовая конвекция [2]: в неоднородном по температуре газе, ограниченном твердыми изотермическими стенками, температурные напряжения вызывают движение газа (за исключением полной симметрии стенок: газ покоится между разнонагретыми параллельными плоскостями, соосными круговыми цилиндрическими и концентрическими сферическими поверхностями; при этом справедливо нелинейное уравнение теплопроводности). Вывод о существовании термострессовой конвекции вызвал значительный интерес [3]. Выполнен большой объем аналитических, численных и экспериментальных исследований, установлен ряд новых принципиальных эффектов (см. обзоры [4—7] и статьи [8, 9]). В основном изучались качественные особенности динамического воздействия температурных напряжений в случае стационарного одноатомного газа в отсутствие внешних сил.

По принятым ранее представлениям в последнем случае существует два типа течений газа: вынужденная конвекция (движение тел или их частей, перепады давления, вдув) и конвекция под действием теплового скольжения газа вдоль стенки. Они описываются уравнениями гидродинамики в приближении Навье—Стокса. Движение нагретого газа изменяет теплообмен, при малом числе Маха диссипация энергии из-за трения пренебрежимо мала и в уравнение энергии входит конвективное слагаемое [10]. Степень влияния этого слагаемого на теплообмен в случае термострессовой конвекции обладает определенной спецификой [11]. На базе рассмотренных [11] примеров сделан предварительный вывод о незначительности влияния с практической точки зрения. Большой объем исследований медленных стационарных течений одноатомного газа, обусловленных действием температурных полей в широком диапазоне числа Кнудсена, выполнен японскими учеными [12].

В смеси газов аналогичную роль может играть неоднородность поля мольных долей (концентраций) [6, 7, 13, 14]. В изотермической бинарной смеси одноатомных газов имеет место еще один вид конвекции в отсутствие внешних сил при условии постоянства мольных долей вдоль стенок, ограничивающих смесь (т.е. при отсутствии диффузионного скольжения). Это — концентрационно- (диффузионно-) стрессовая конвекция, обусловленная барнеттовскими напряжениями, состоящими из слагаемых, которые содержат вторые пространственные производные и произведения первых производных от мольной доли. Некоторые ее свойства аналогичны свойствам термострессовой конвекции [14]. Однако переменность концентраций вызывает, вообще говоря, переменность температуры. При постоянстве температуры и концентраций вдоль стенок может иметь место термо- и концентрационно-стрессовая конвекция, обусловленная соответствующими барнеттовскими напряжениями. Были получены расчетные данные по течению бинарной смеси пара и неконденсирующегося газа под действием этих напряжений, теплового и диффузионного скольжения (см. обзорный доклад

[15]).

Вывод уравнений [1] и его обобщение на нестационарный случай [15—17] проводились на базе результатов метода Чепмена—Энскога кинетической теории газов (упрощение уравнений Барнетта с оценкой вкладов более высоких приближений метода). Применительно к медленным нестационарным неоднородным по температуре и мольным долям течениям многокомпонентной смеси одноатомных газов в отсутствие внешних массовых сил была разработана модификация метода Гильберта [18], цель которой — получение искомой системы уравнений в асимптотически главном приближении по Kn ^ 0. Различным модификациям этого метода посвящена монография [12] (см. также [7, 19]). Показано, что она совпадает с системой уравнений, получаемой из уравнений Барнетта для смеси газов. Полученный результат представлялся естественным (как и в [17]), и в обзоре [5] был дан лишь краткий комментарий. Проблемы вывода уравнений термострессовой конвекции обсуждались также на базе уравнений переноса Максвелла [20]. Таким образом, разные методы дают одинаковые системы уравнений газодинамики медленных неоднородных течений.

Вывод наиболее общей (из опубликованных) системы уравнений газодинамики медленных неоднородных нестационарных течений был намечен после получения системы уравнений в приближении Барнетта для многокомпонентной смеси нейтральных многоатомных газов [21]. В разд. 1 данной статьи дан более детальный вывод с принципиальными комментариями без ограничений [21] на описание нестационарных эффектов, выписана искомая система уравнений в окончательной эффективной форме.

В следующих разделах рассмотрены частные случаи: приведены системы уравнений для случаев многоатомного и одноатомного газов и бинарной смеси, преобразованные к

более удобному виду; представлены данные по барнеттовским коэффициентам переноса бинарной смеси одноатомных газов.

1. Общие уравнения. Система уравнений баланса многокомпонентной смеси многоатомных нерелаксирующих газов имеет вид

р = пкТ = р ЯТ, (п, р) = £ (щ, р,), р, = т1п1 (1.1)

I=1

+ и = 0, В = д + иаА у. и = (1.2)

т вг дг а дга дга

Вп,

—1 + п Я • и + У-1, = 0, у = 1,2,..., 5 - 1 (1.3)

Р Ви + У- Р = X Р/Ц, Рае = (р + П)8 а|5 +пар (1.4)

В 1=1

р В

'3- кТ + Е

р\ 2

+ Р : Уи + У- д - £ V, ■рi?i = 0 (1.5)

5 5 йе (Т) 5

J, = , X т3- = 0, Е = Xх1е1 (T), ',Т = ^ сУ = X(Т) (1.6)

I=1 I=1 I=1

В формулах (1.1)—(1.6) п и т1 — числовая плотность и масса частицы , -го компонента смеси (г = 1,2,..., 5, где 5 — число компонентов смеси), п, р, р, Т, и — числовая и массовая плотности, давление, температура, среднемассовая скорость, р^ (г, г) — внешняя массовая сила, действующая на единичный объем компонента г, Е и си — внутренняя энергия, отнесенная к числу частиц, и удельная теплоемкость при постоянном объеме смеси газов, обусловленные внутренними степенями свободы молекул, к — постоянная Больцмана. Нижними индексами а, Р, у вводятся компоненты радиус-вектора г в ортогональной правой декартовой системе координат, 5 — единичный тензор, принимается обычное правило суммирования по повторяющимся индексам. Для диффузионной скорости компонента г, тензора напряжений и теплового потока метод Чепмена—Энскога дает, соответственно, выражения

V, = V« + V® +..., Р = (р + П(1) + П(2) + ...)5 + п(1) + п(2) + ...

5 - (1.7)

д = И + £ (5 кТ + е1 (Т)) 3,, И = И(1) + И(2) +. г=1 '

где И — приведенный тепловой поток. Таким образом, переносные свойства А = (V,-, П,я, И) даются рядами, коэффициенты при п -м члене пропорциональны

П , П = где п — коэффициент вязкости, I — средняя длина свободного пробега.

Переносные свойства А® и А® даются приближениями Навье—Стокса и Барнетта [21], соответственно. При этом

5

,=1

5 S

И1) — 'V П Н _ n_Y7 1,-, Т Ь(1) — _1 Y7T _i_ „'V ür_V(1)

V = Z Djd j - In T, h(1) = -X4T + kTiV(1) (1.8)

j=1 i=1

d j = Vx;- +\xj-^W ln p-Pj P) P

i s \

Fj - Z Pk Fk

V k=1 P ,

, Xj = nj, j = 1,2,..., 5 (1.9)

n

Величина П(1) = -ZV • u в рассматриваемом случае отсутствия релаксации внутренних степеней свободы молекул, коэффициент объемной вязкости Z < O (п). Слагаемые

барнеттовской составляющей П(2) пропорциональны скалярным комбинациям пространственных производных типа (VT)2, V2T и т.п. [21]. Навье-стоксовский бездивергентный тензор напряжений

naß =- (1.10)

По определению, оператор ( ) от некоторого тензора второго ранга Aaß означает

(Aap) = 2 (Aaß + Aßa)- 1 5aß Ayy, a, ß, у = 1,2,3 (1.11)

Барнеттовский тензор я^ф включает слагаемые, пропорциональные операторам

л2/-дЦ, n2/дТ дТ

\дгадГр/ \дга дrß

В формулах (1.8) и (1.9) А,, Dij и DTi — коэффициенты теплопроводности, диффузии и термодиффузии многокомпонентной смеси многоатомных газов, kTi — термодиффузионное отношение, i, j = 1,2,..., S.

Предполагается, что число компонентов, отношения масс и сечений столкновений молекул, плотностей и характерных значений массовых внешних сил для разных компонентов смеси — конечные величины, не связанные с малым параметром Kn. Внешние силы слабо меняются на длинах порядка средней длины свободного пробега молекул. Этим, в частности,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком