МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2014
УДК 539.3:517.598
© 2014 г. Б. Д. АННИН, Л. В. БАЕВ, Ю. М. ВОЛЧКОВ
УРАВНЕНИЯ СЛОИСТОГО ПАКЕТА С УЧЁТОМ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ
И ОБЖАТИЯ
В работе построены уравнения слоистого пакета с учетом поперечных сдвигов и обжатия во всех слоях. Материал слоев предполагается упругим трансверсально-изотропным. Для учета поперечных сдвигов и обжатия принимаются обобщенные кинематические гипотезы Тимошенко. Получены уравнения в обобщенных усилиях и моментах и в перемещениях. Выведены уравнения для характеристических функций, через которые выражаются все величины, описывающие напряженно-деформированое состояние в слоистом пакете. В качестве примера рассмотрена задача о деформировании трехслойной балки.
Ключевые слова: слоистые пластины, трансверсально-изотропный слой, обобщенная гипотеза Тимошенко, характеристическая функция.
1. Введение. Необходимость определения напряженно-деформированного состояния слоистых пластин и оболочек и тем самым построение соответствующих математических моделей вызывается тем, что такие пластины и оболочки являются составной частью большого числа конструкций.
По-видимому, первые работы по теории слоистых пластин и оболочек относятся к концу сороковых — началу пятидесятых годов XX века и были основаны либо на гипотезах Кирхгоффа—Лява, либо на гипотезах прямой линии, принятых для всего многослойного пакета [1—5]. На основе таких теорий можно, как правило, получить удовлетворительные результаты только в том случае, если свойства слоев незначительно отличаются друг от друга. Если же свойства слоев различаются существенно, то необходим более тщательный учет поперечных сдвигов и обжатия (поперечных деформаций) в каждом слое.
В монографии [6] обсуждаются различные кинематические гипотезы, принимаемые при построении уравнений многослойных пластин и оболочек для решения задач устойчивости многослойных пластин и оболочек в зависимости от их конструктивных особенностей. Основное внимание уделяется решению задач устойчивости трехслойных пластин и оболочек.
При сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной (теории оболочек и пластин) либо используются гипотезы кинематического и силового характера, как указывалось выше, либо применяются разложения решений уравнений теории упругости по некоторой полной системе функций. В работах [7—11] на основе аппроксимаций решений уравнений теории упругости отрезками полиномов Лежандра построены уточненные уравнения упругого слоя, допускающие постановку краевых условий на лицевых поверхностях слоя как в напряжениях, так и в смещениях. На основе таких уравнений можно построить уравнения слоистых пластин и оболочек с автоматическим удовлетворением условий сопряжения на межслойных поверхностях. В этих же работах приведены решения некоторых задач об определении напряженно-деформированного состояния слоистых тел.
Как правило, если речь идет о многослойных пластинах и оболочках, то геометрия слоев, их свойства и функциональное предназначение известны. Это в некоторой степени облегчает выбор кинематических гипотез. Так, одним из распространенных типов слоистых оболочек являются трехслойные оболочки, состоящие из двух тонких несущих внешних слоев и внутреннего слоя — заполнителя. Свойства и функциональное предназначение этих слоев совершенно различные. Поэтому для таких оболочек можно построить удовлетворительные модели, принимая различные гипотезы для несущих слоев и заполнителя [2—5].
Иным образом обстоит дело, если речь идет, например, о расчете напряженно-деформированного состояния слоистого горного массива. В этом случае геометрия и свойства пакета предопределены самой природой. Для описания анизотропного упругого деформирования горных пород часто используется модель трансверсально-изо-тропного упругого тела [12]. В работе [13] изложен численно-аналитический метод решения важных прикладных задач геомеханики для линейного закона деформирования горных пород.
Целью данной работы является построение модели слоистого пакета, которая позволяла бы по мере необходимости при решении задач применять как линейную аппроксимацию по толщине слоя продольных и поперечных смещений, так и нелинейную.
2. Кинематические гипотезы. Рассмотрим пакет толщиной к, состоящий из 5 транс-версально-изотропных упругих слоев толщиной кк (к = 1, ..., 5). За отсчетную плоскость примем нижнюю поверхность пакета. С этой поверхностью свяжем декартову систему координат ха (а = 1, 2), г = х3. Слои пронумерованы в порядке их следования снизу вверх. В дальнейшем используется правило суммирования по повторяющимся немым индексам а, р.
Для учета поперечных сдвигов в каждом к-ом слое примем для трансверсальных перемещений обобщенную кинематическую гипотезу Тимошенко
к -1
щ (х1, х2,г) = щ;(х\ XX) + ^ ит(х\ X2) + Фк(Ск) ик(х1, X2) (2.1)
т = 1
где ика (х1, х2, г) — продольные перемещения в к-ом слое в направлении а; Щ (х1, х2) —
продольные перемещения в направлении а при г = 0; и^ (х1, х2) — приращение прок
дольного перемещения на к-ом слое; = (г — Нк_ :)/кк (0 < < 1); Нк = ^ Нт .
т = 1
Для учета обжатия принимается следующая кинематическая гипотеза:
к -1
Ык(х\ X2, г) = (х1, X2) + ^ Ит(X1, X2) + /к(^к)®к(х\ х2) (2.2)
т = 1
где цк(хх2, г) — перемещение точек в к-ом слое в поперечном направлении; ^(х1, х2) — перемещение в поперечном направлении при г = 0; юк(х:, х2) — приращение перемещения в поперечном направлении на к-ом слое.
Функции, определяющие закон распределения перемещений по толщине слоя удовлетворяют соотношениям фк(0) = /к(0) = 0, фк(1) = /к(1) = 1.
Можно рассмотреть различные варианты выбора функций фк и /к, определяющих закон распределения перемещений по толщине слоя, например, вариант, учитываю-
щии нелинейную зависимость по г поперечных перемещении внутри слоя при линейной зависимости от г продольных перемещений. Аппроксимации (2.1) и (2.2) обеспечивают непрерывность нормальных и касательных перемещений на границах между слоями.
3. Закон ГУка для пакета из трансверсально-изотропного материала. Предполагается, что материал каждого слоя является трансверсально-изотропным. В каждом слое напряжения и деформации связаны соотношениями
ав Ек г/1 \ аР . ? п а3 '•¡г-я az 33 гя 33
Як = -,[(1 - Vk)&k + VkSkSаp], Стк = 2Ок&к , Як = Екбк
1 - vk
(3.1)
где деформации вычисляются через перемещения (2.1), (2.2) по формулам Коши; ек =
= бк1 + бк2 ; 8ар — символ Кронекера.
В этих соотношениях пренебрегается эффектом Пуассона в направлении оси г от
аа 33 ^
напряжений ак и в направлениях ха от напряжения ак . Случай линейного распределения перемещений по толщине слоев и равенства коэффициентов Пуассона vk во всех слоях рассмотрен в работе [14].
4. Уравнения равновесия в обобщенных усилиях и моментах. Уравнения равновесия и естественные граничные условия, соответствующие принятым кинематическим гипотезам, можно получить на основе принципа возможных перемещений 8(Ае + А) = 0, где
^ = я
п
( * \ ( * — о + 0 0 а0 а а 0 а 0 а
д о^о + д о^о + > оюк + р_ои0 + р+ ои0 + > о ик
к = 1
к = 1
йО
Здесь 8Ае — суммарная работа внешних нормальных д+ и д и касательных р+ и р усилий, действующих на верхней и нижней поверхностях пакета; 8А1 = — ^ 8Рк — работа
к = 1
внутренних упругих сил; О — область, занятая пластиной.
°Рк = | (а^вГ + 2аГ3^ + а?5а33)*
п Нк _,
Приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях 8 иа, 8 ик , 8^0, 8юк, получим следующую систему уравнений равновесия в обобщенных усилиях и моментах:
да^ + РР + Р+ = 0 (4.1)
5а_ 4 + ЛкР+ = 0 (4.2)
да 0а + + Я~ = 0 (4.3)
5а^ _ Тк + Ьк = 0 (4.4)
Здесь
Nв = н.
; Nв = £ Nа
к = 1
°к = нк !*ак 3 ¿Ск;
ла = н
1
к К
0
3 й Фк( с к)
= £ оа
к = 1
Тк = Нк |ст
33
4/к(Ск) й Ск
dZk
мв = нц^ч(?к)^, нв = мв+нк £
= к + 1
$к = нк3/к(^к)^к, ьк = ¿к+Нк £ от
--к + 1
где Nв , Л"13, Ок, Як , Оа, Тк — обобщенные удельные усилия; Мкв , Нкв — обобщенные удельные моменты относительно гк = Нк _При фк(Ск) = Ск имеем Як = Ок .
Естественные краевые условия в усилиях и моментах определяются контурными
.(л-* - Nв) = 0, - оа) = 0, па( нав - нар) нк = 0,
^к
а , -1
интегралами и имеют вид: п
Па( Ьк - Ькр ) Н-1 = Величины паЩ^ , паОр , ПаНк^Н~к , ПаЬкрНк выражаются через заданные на контуре напряжения и усилия. Индекс р относится к внешним силам и моментам, приложенным к контуру пластины.
Краевые условия для перемещений ставятся для функций и0, ц0, ик, юк (к = 1, 2, ..., 5).
5. Уравнения в перемещениях. Введем для функций ик — потенциалы безвихревого Гк и соленоидального *¥к полей:
ик = Нк [<Э„(Гк-^о) + са А ^к ]
Здесь еп = с22 = 0, с12 = 1, с2
1.
Преобразуем уравнение равновесия (4.1), описывающее плоское обобщенное напряженное состояние. Если ввести перемещение
~а _ а
и0 = и0 +
£
d„
и использовать соотношения закона Гука, то обобщенное усилие Лав можно представить в следующем виде:
0
5
0
0
0
0
5
а
О
т
т
N± _ h
~а в а в v^ dmb — cma а В a s/ + bs0a - V —-— uma
a
■■ i
(5.1)
Saв _ 6aв + V1 Um,,a±.
60 _ 60 + / — Um ;
a
в
в
60 _ 60+
Um
a
i _ 1
a в 1 /ъ / -л a -л ±\ il 22
Uk _ 1/2 (dp vk + da uk) ; uk _ uk + uk
a _ ЕЛ( 1 -Vk) ; bk _ ЕЩ ; t _ ; a _ V a„ ; b _ V.
1 -v2 ^ ^
2
1 - Vk
m _ 1 1
i _ 1
Uk _ ak9* + V
am; ck _
m _ k + 1
bkW* + V b„
m _ k + 1
JW (Ck) uzk
Пусть p± = <ЭрР±. Введем функцию напряжений F:
N± _ caAc±AF-aa±(P+ + P-), а,РД,Ц _ 1;2
(5.2)
~а В
Из уравнения совместности для деформаций б0 с учетом (5.1) и (5.2), можно получить уравнение для функции напряжений Г и уравнения для перемещений:
Л 17 V 1 1 Umb - Cma , a(P+ + P-)
AF _ -/ hhm-m—m- A(rm-W0) + +
m _ 1
( a + b )
a + b
A Sa dIVA Umb - Cma A (г ) (P+ + P-)
AU0 _ dal V hm m , . - , A(rm-w0)-
\
m_1
( a + b )
h( a + b )
(5.3)
(5.4)
У
Если коэффициенты Пуассона во всех слоях одинаковые, то уравнения (5.3) и (5.4) принимают вид
А^ = * (Р+ + ^ ) , А Ма = -да( + ^ ) а + Ь Н (а + Ь)
и, следовательно, задачи о плоском напряженном состоянии и изгибе разделяются. Рассмотрим систему 25 уравнений (4.2). Пусть р? = ЗрР±.
Если применить к каждому уравнению системы (4.2) дифференциал
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.