ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 429, № 2, с. 174-175
УДК 517.9
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ НЕУСТОЙЧИВЫХ ПОЛИНОМОВ
© 2009 г. В. В. Дикусар, Г. А. Зеленков, Н. В. Зубов
Представлено академиком С.К. Коровиным 03.07.2009 г. Поступило 06.07.2009 г.
В теории робастной устойчивости важное место занимает разработка критериев существования и поиск методов построения выпуклых множеств коэффициентов устойчивых полиномов [1]. Не менее важным является решение этой же задачи и для неустойчивых полиномов.
В данной работе предложены критерии существования выпуклых множеств неустойчивых полиномов, принадлежащих одному классу неустойчивости. Эти критерии позволяют путем проверки конечного числа условий, налагаемых на полиномы, образующие это семейство, установить свойства всего этого семейства полиномов.
Определение [4]. Будем говорить, что полиномы степени п с вещественными коэффициентами
/(г) = а0 + а11 + ... + апг
принадлежат классу (п, ^-эквивалентности, если они не имеют нулевых и чисто мнимых корней, а число корней, лежащих в правой полуплоскости, учитывая их кратности, у всех полиномов одинаково и равно к (0 < к < п).
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Семейство полиномов
р р
^ и/О), ^ ат = 1, ат > 0, (1)
т = 1 т = 1
принадлежат классу (п, к)-эквивалентности тогда и только тогда, когда этому классу принадлежат все полиномы вида
а/ (г) + (1 - а/(г), ае[ 0, 1 ],
I,} = 1, 2, ...,р.
Доказательство. Необходимость. Пусть все полиномы семейства (1) принадлежат классу (п, к)-эквивалентности. Тогда, полагая в формуле (1) аг = а, ау- = 1 — а, а е [0, 1], получим, что любой полином семейства (2) является полиномом семейства (1), т.е. принадлежат классу (п, к)-эквивалентности.
(2)
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской Академии наук, Москва
Достаточность. Будем далее рассматривать радиусы-векторы /(гю) = g¡(ю) + гйДю), I = 1, 2, ..., р, комплексной плоскости, образованные полиномами/(г) при подстановке в них г = гю, т.е. концы этих радиусов-векторов при изменении ю от 0 до +да образуют годографы Михайлова этих полиномов.
Пусть все полиномы семейства (2) принадлежат классу (п, к)-эквивалентности. Это означает, что для любых ¡, ] = 1, 2, ..., р, радиусы-векторы /(гю) и/(1ю) при изменении ю от 0 до +да не могут быть противоположно направлены.
Действительно, если для некоторого числа ю0 е [0, +да] этот факт имеет место, то существует число а е [0, 1], такое что а/(гю0) + (1 — а)/(гю0) = 0, а это означает, что полином а/(г) + 1 — а)/(¿) имеет мнимый корень гю0, что противоречит его принадлежности классу (п, к)-эквивалентности.
Итак, мы показали, что угол между радиусами-векторами /¡(гю) и /(т) при изменении ю от 0 до +да всегда остается меньше п. Заметим также, что эти векторы не являются нулевыми, так как порождены полиномами, не имеющими мнимых корней. Отсюда и из геометрических соображений (правила параллелограмма) вытекает, что ра-рр
диус-вектор ^ ат/т(1ю) при ^ ат = 1, ат > 0,
т = 1 т = 1
не обращается в нуль при ю е [0, +да). Для этого достаточно заметить, что суммирование ненулевых радиусов-векторов /т(гю) с неотрицательными коэффициентами, угол между которыми меньше п и по крайней мере один из этих коэффициентов больше нуля, дает в результате ненулевой вектор.
Поскольку радиусы-векторы /(гю) образованы полиномами /¡(г), принадлежащими классу (п, к)-эквивалентности, то, согласно принципу аргумента,
все они поворачиваются против хода часовой стрел-
п
ки при изменении ю от 0 до +да на угол - (п — 2к), т.е. выполняются соотношения
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
175
П
Argf(/ю) ^ -(n - 2к) при ю ^ + да,
I = 1, 2, ...,p.
Отсюда следует, что все радиусы-векторы
p p
^ amfm(m) при ^ am = 1, am > 0, не обращаясь
m = 1 m = 1
в нуль, также поворачиваются против хода часовой стрелки при изменении ю от 0 до +да на угол
П (n — 2k). Поскольку концы этих радиусов-векторов при изменении ю от 0 до +да образуют годографы Михайлова этих полиномов, то из принципа аргумента вытекает, что семейство полиномов (2) принадлежит классу (n, к)-эквивалентности. Теорема доказана
Теорема 2. Семейство полиномов (1) ((2)) принадлежит классу (n, к)-эквивалентности в том и только том случае, когда полиномы f(z), l = 1, 2, ..., p, принадлежат классу (n, Щ-эквивалентно-сти и для всех вещественных корней уравнения
^(ю^,(ю) - ^(ю^(ю) = 0, IФ] = 1, 2, ..., p, (3) справедливо неравенство
g,(ю)^(ю) + h,(ю)йу(ю)> 0, IФj = 1, 2, ...,p, (4) где gj^) и АДю) — соответственно вещественная и мнимая часть годографа Михайлова полинома f(z), l = 1, 2, ..., k.
Доказательство. Достаточность. Пусть полиномыf(z), l = 1, 2, ..., p, принадлежат классу (n, к)-эквивалентности и для них выполняются условия (3) и (4). Тогда радиусы-векторы f(m) и f(m), отвечающие этим полиномам, не обращаются в нуль при изменении ю от 0 до +да и, согласно принципу аргумента, поворачиваются
против хода часовой стрелки на угол - (n — 2k).
Очевидно, что выполнение условий (3) означает коллинеарность этих радиусов-векторов, а выполнение условий (4) означает, что угол между этими
( П , П^
векторами находится в промежутке - , + - J , так как их скалярное произведение положительно.
Отсюда вытекает, что при одновременном выполнении условий (3) и (4) эти радиусы-векторы не могут быть противоположно направлены при любом ю е [0, +да]. Это означает, что радиусы-векторы аД/ю) + (1 — а)fj(m) при а е [0, 1] не принимают нулевых значений при изменении ю от 0 до +да и, согласно принципу аргумента, как радиусы-векторы, лежащие между радиусами-векторами f(m) и „/¿(/ю), поворачиваются вместе с ними
против хода часовой стрелки на угол - (n — 2k).
Таким образом, полиномыf(z), l = 1, 2, ...,p, принадлежат семейству (2), а по теореме 1 и семейству (1).
Необходимость. Пусть полиномы f(z), l = 1, 2, ..., p, принадлежат семейству (2). Тогда, как было показано при доказательстве достаточности в теореме 1, угол между радиусами-векторами f(m) иf(m) при изменении ю от 0 до +да всегда остается меньше п, т.е. они не могут быть противоположно направлены, а это и означает, что при их коллинеарности (выполнении условий (3)) скалярное произведение этих радиусов-векторов может быть только положительно (выполнение условий (4)). Теорема доказана.
Замечание. Требование нормировки
к
^ а, = 1 в теореме 1 является излишним и его
i = 1
можно исключить, так как при умножении полинома на любое число его корни не меняются.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ПолякБ.Т., ЩербаковП.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
2. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Север-цев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. Учеб. пособие. СПб.: ООП НИИ химии СПбГУ, 2002. 119 с.
3. Карманов В.Г., Федоров В.В. Моделирование в исследовании операций. М.: Твема, 1996. 102 с.
4. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Неронов В.Ф. Критерии существования выпуклых множеств неустойчивых многочленов // Тр. ИСА РАН. 2005. Т. 17. № 1.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 429 № 2 2009
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.