ИЗВЕСТИЯ РАИ. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2007, том 71, № 11, с. 1648-1650
УДК 548:537.611.45
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНЫХ ПОДРЕШЕТОК ПРИ ОБМЕННОМ СМЕШИВАНИИ СОСТОЯНИЙ С ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ СПИНАМИ
© 2007 г. М. И. Куркин
Институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург E-mail: kurkin@imp.uran.ru
Получены условия совместимости гипотезы магнитных подрешеток с требованиями квантовой теории. Такими условиями являются наличие пусть даже слабой магнитной анизотропии и макроскопическое число спинов в подрешетке.
Гипотеза магнитных подрешеток приписывает определенное направление каждому вектору спина ^^ в системе электронов, связанных обменным взаимодействием Уех [1]:
Уех = X 1А' (1)
1, к
1 - параметры Уех для электронов с номерами у и к. На рис. 1 в качестве примера приведена двухпод-решеточная антиферромагнитная структура в линейной цепочке спинов. Ферромагнитно упорядоченные спины с нечетными номерами (/) относятся к первой подрешетке, с четными (к) - ко второй. Обоснованию подрешеточной гипотезы в квантовой теории магнетизма посвящено большое число работ (см., например, [1-5]). По квантовым законам состояния электронов в первой подрешетке характеризуются спиновым квантовым числом а = = 1/2, во второй - а = -1/2. Соответственно средние значения операторов наблюдаемых компонент
спинов sy и sk определяются соотношениями
1
1
<^о| s'j |^0> = ^ mi sk |^0> =
(2)
числа спинов? Убедительный ответ на этот вопрос пока не получен (см. в [4]).
A.C. Боровик-Романов предложил другой путь для решения проблемы магнитных подрешеток [6], основанный на анализе макроскопических объектов, например магнитных стрелок (рис. 2), уложенных как подрешетки на рис. 1. Если принять, что магнитное упорядочение в стрелках обусловлено обменным взаимодействием Vex, то волновая функция для электронных спинов в стрелках должна быть собственной функцией оператора квадрата полного спина S2, поскольку операторы Vex и S2 коммутируют друг с другом [1]. Теперь нужно учесть, что оператор S2 может быть записан в виде
s2 = ( s,+ S2 )2 = s; +х; + 2х, s2 =
= 2( N(f+i|+;
SIS2 - ^ sj ^ sk,
(4)
% - волновая функция состояния спинов на рис. 1. Проблема гипотезы магнитных подрешеток состоит в том, что не может быть точной собственной функцией Уех (1), поскольку недиагональная часть Уех перемешивает состояния с противоположно направленными спинами [1]. Это можно показать на примере двухэлектронной волновой функции Ф0, которая соответствует антиферромагнитному решению уравнения УехФ0 = У0Ф0. Известно [1], что такая Ф0 дает нулевые значения для
средних Sj и sk:
<Фо| 4 |Фо> = 0; <Фс| 4 |Фо> = 0. (3)
Можно ли %0(2) считать приближенной собственной функцией Уех(1) для макроскопического
1= 1 к= 1
N - число электронных спинов в одной стрелке (подрешетке). Из сравнения (1) и (5) следует, что оператор обеспечивает обменное смешивание не хуже, чем Уех. Однако магнитные стрелки - хорошо наблюдаемые объекты, из чего следует, что при макроскопических N подрешетки способны противостоять обменному смешиванию. Использование оператора позволило значительно продвинуться в решении проблемы магнитных подрешеток. Собственная функция Ф0 оператора найдена в [7-8]:
N
Фо - Л£(-1)"^,
n - 0
N N
^n - ^np, ^0 - П^У, 1/2П^к,-1/2,
p j - I к - I
I648
NN
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНЫХ ПОДРЕШЕТОК
1649
¥пр - волновая функция состояний, для которых п спинов в V подрешетке имеет квантовое число а = = -ау, в то время как у остальных (Ы- п) спинов а = = ау, индекс р определяет способ распределения п перевернутых спинов среди всех N спинов в подрешетке, при п = 0 функция ¥пр = ¥0 (2), Л и Хп - нормировочные коэффициенты. Функция Ф0 дает нулевые средние значения спинов, соответствующие формулам (2), а не (3), как следовало ожидать из рис. 2. Причина такого несоответствия - игнорирование магнитной анизотропии Уа, важной для описания магнитожестких материалов, из которых сделаны магнитные стрелки. Поскольку оператор Уа не коммутирует с функция Ф0 (5) и не может описывать состояние спинов в стрелках.
Собственная функция Ф анизотропного гамильтониана
( С + У а )Ф = Е Ф, (6)
вначале вычислялась для обменного взаимодействия неограниченного радиуса = I): У°ех = = Как следует из (4), функция Ф0 должна
быть собственной функцией У°х, что позволило найти точное решение (6) при подходящем выборе оператора Уа [7, 8]:
2 4 6
13 5
Рис. 1. Двухподрешеточный антиферромагнитный порядок в линейной цепочке спинов.
Mi
Ф = л£(-1 )пипЧп,
и„ = e
а = J. (7)
M2
Рис. 2. Две магнитные стрелки с нулевым суммарным спином.
Функции х¥п определены в (5), а - коэффициент, обусловленный полем магнитной анизотропии Ha при Ha < J. Видно, что влияние магнитной анизотропии становится существенным при Na > 1, когда вид Ф определяется начальными членами ряда по п. Такое сильное изменение Ф по сравнению с Ф0 (5), которое нельзя получить методами теории возмущений, отразилась и на величинах средних
спинов sZj и szk [7, 8]:
<ф^ф> = -<ф|4|ф> = 1 (1- aN) • ®
Из сравнения (8) с (3) следует, что неравенство aN > 1 обеспечивает применимость гипотезы магнитных подрешеток. Необходимо еще убедиться, что решение типа (7) удовлетворяет уравнению (6) с Vex конечного радиуса действия. Это удалось сделать для Vdex, который получается из (1) в приближении ближайших соседей (Jjk = Jbk j + d (j + d) - номера спинов, ближайших к спину j). Для оператора Va, как и в [7, 8], использовали приближение эффективного поля магнитной анизотропии Ha. Решение (6) с такими Vex и Va искали в виде ряда по степеням отношения n/N. Такое разложение справедливо, если коэффициенты un, обусловленные
Ha, убывают с ростом п по экспоненциальному закону (7), так что значения п не могут быть гораздо больше 1/а. При а ~ 10-7 и N ~ 1023 отношение n/N < < 10-16. В линейном приближении по n/N для Ф получилось выражение типа (7), только связь с x¥np и формулы для а (7) оказались сложнее, чем это следует из (5) и (7). Однако эти усложнения не влияют на формулы (8), а следовательно, и на критерий применимости гипотезы магнитных подрешеток aN > 1.
Отмечу, что уравнение (6) имеет N! антиферромагнитных решений, поэтому найденное решение типа (7) не запрещает существование других антиферромагнитных структур, в том числе и спиновых жидкостей [9, 11] с нулевыми значениями средних спинов (3).
Полученным здесь результатом я обязан
A.C. Боровику-Романову, предложившему мне в 1962 г. исследовать проблему магнитных подрешеток на макроскопических объектах типа магнитных стрелок на рис. 3.
Я также благодарен Е.В. Розенфельду,
B.И. Марченко, A.H. Божану, Р.М. Фарзетдино-вой, К.И. Кугелю, A.K. Звездину, А.И. Смирнову, В.В. Валькову и Ю.М. Гуфану за ряд очень ценных
N
п = 0
ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ том 71 < 11 2007
1650
КУРКИН
замечаний, высказанных ими на разных этапах обсуждения этой работы. В последние два года работа выполнялась при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-02-16087) и Президиума РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Займан Дж. Принципы теории твердого тела / пер. с англ. под ред. Бонч-Бруевича В.Л. М.: Мир, 1966. 416 с.
2. Bethe H.A. // Z. Phys. 1931. V. 71. P. 205.
3. HulthenL. // Proc. Amst. Acad. Soc. 1936. V. 39. P. 190.
4. Антиферромагнетизм / Под ред. Вонсовского С.В. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. C. 487.
5. Андреев А.Ф., Марченко ВИ. // УФН. 1980. Т. 130. № 1. C. 39.
6. Боровик-Романов А.С. 1962. (Частное сообщение).
7. Куркин МИ. Электронный журнал "Исследовано в России", 150, с 11636-11643, 2004; http://zhur-nal.ape.relarn.ru/articles/2004/150.pdf
8. Куркин М.И. // Укр. физ. журн. А. 2005. Т. 50. № 8. С. А22.
9. Mitra PP. et al. // Phys. Rev. B. 1992. V. 45. P. 5299.
10. Smirnov AI. et al. // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. P. 174422.
11. Вальков В В., Мицкан В.А., Петраковский Г.А. // ЖЭТФ. 2006. Т. 129. С. 234.
^BECT^ PAН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕС^Я том 71 < 11 2007
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.