КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 2, с. 174-182
УДК 629.7
УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС В ВЫРОЖДЕННЫХ СЛУЧАЯХ. I. КОЛЕБАНИЯ В АБСОЛЮТНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
© 2008 г. С. Ю. Садов
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Memorial University of Newfoundland, St. John's NL, Canada Поступила в редакцию 8.08.2006 г.
Задача о колебаниях спутника с малой динамической асимметрией относительно центра масс в плоскости орбиты, приводит к системе, вырожденной до пятого порядка с точки зрения метода усреднения. Посредством интегрирования в комплексной плоскости получено явное выражение для доминирующего члена. Рассмотрены рекуррентная процедура вычисления высших приближений метода усреднения и подход к анализу структуры возникающих выражений.
PACS: 45.10.Hj
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучается уравнение движения спутника относительно центра масс в плоскости эллиптической орбиты (уравнение Белецкого [3])
d 2 5 d 5
(1 + e cos v) —2 — 2 e sin v — + ц sin 5 = 4 e sin v. (1) dv dv
Здесь e - эксцентриситет орбиты, v - истинная аномалия, 5 - удвоенный угол между радиус-вектором центра масс и одной из осей инерции спутника; ц = 3(A - C)/B - инерциальный параметр спутника (A, C - моменты относительно осей инерции спутника, лежащих в плоскости орбиты, B - относительно оси, перпендикулярной плоскости орбиты).
Нас интересуют обобщенно-периодические решения с целыми числами вращения, т.е. решения 5(v) со свойством
5(v + 2п) = 5(v) + 2nm, m е Z.
Обзор результатов по обобщенно-периодическим решениям (ОПР) уравнения Белецкого - вообще говоря, с рациональными числами вращения, - дан в статье А.Д. Брюно [7]. Число вращения m является дополнительным дискретным параметром задачи, наряду с параметрами ц и e, явно присутствующими в уравнении (1). Значение m = 0 соответствует колебаниям спутника в орбитальной системе координат, а значение m = -2 -колебаниям в абсолютной системе координат.
В области |ц| <§ 1 (спутник с малой динамической асимметрией) уравнение (1) рассматривается как малое возмущение линейного уравнения (отвечающего ц = 0). В этой области с помощью метода усреднения можно достаточно полно ис-
следовать вопрос о семействах ОПР и их устойчивости.
Усреднение уравнения Белецкого в первом приближении проведено Ф.Л. Черноусько [19]. Аналитические свойства коэффициента усредненного уравнения Фт(е) как функции эксцентриситета, в частности, его поведение при е —»- 1, изучены автором [10, 15]. В вырожденных случаях первого приближения недостаточно. Два таких случая исследованы В.А. Сарычевым, В.В. Сазоновым, В.А. Златоустовым [16] и А.Д. Брюно [5]; оба случая описаны в [6, §5.2] и [17]. Первый случай - окрестность (по е) корня уравнения Фт(е) = 0 (т Ф -2). Для снятия вырождения необходимы три итерации в процедуре усреднения. Во втором случае т = -2. Здесь Фт(е) = 0, и для получения первого нетривиального коэффициента требуется пять итераций. Цель настоящей работы в узком смысле - вывод явного рационально-логарифмического выражения (38) для доминирующего коэффициента в случае т = -2 (заодно из теоремы Коши легко выводится равенство нулю предшествующих коэффициентов). Этот результат получен автором в 1995 г. [11], [12, теорема 2], но доказательство не было опубликовано.
Наша более широкая задача - описание аналитической техники, удобной для реализации процедуры усреднения при необходимости многих итераций и учитывающей особенность уравнения при е —► 1. Имея в виду изложение в последующих публикациях "сингулярной теории усреднения", разработанной для анализа предельного поведения семейств критических ОПР, подходящих к точке ц = 0, е = 1 в пространстве параметров задачи, мы ведем изложение в большей общности, чем это необходимо для достижения узкой цели.
Стандартный материал в §2 и части §3 включен для замкнутости изложения и облегчения восприятия обозначений.
В связи с обсуждением высших итераций метода усреднения отметим, что вырождение первого или нескольких первых коэффициентов - совсем не обязательно редкое (например, в смысле положительной коразмерности в пространстве параметров) явление. Так, в задачах "типа Матье" все коэффициенты до определенного порядка в усредненном уравнении равны нулю за счет структуры рекуррентных соотношений. Вырождение коэффициентов проявляется в известной степенной зависимости ширины резонансных зон от числа вращения [2], [14]. При усреднении уравнения (1) вырождение неизбежно, когда число вращения не целое [13].
2. УРАВНЕНИЕ (1) В СТАНДАРТНОЙ
ФОРМЕ БОГОЛЮБОВА
При ц = 0 уравнение (1) линейно. Для каждого m оно имеет однопараметрическое семейство решений 5 = 5(v; 6) с числом вращения m
5 = mt + 2(t - v) + 6, (2)
где 6 - постоянная интегрирования и
v
t(v, e) = (1- e2)3/2J( 1 + ecosV)-2dV (3)
0
- решение однородного линейного уравнения, обладающее свойством: (t - v) - нечетная 2п-перио-дическая функция. Пользуясь тем, что зависимость t от v монотонна, выберем t в качестве новой независимой переменной. При ц Ф 0 рассмотрим соотношение (2) как определение новой неизвестной функции 6 = 6(t), заменяющей 5(v). Уравнение (1) принимает вид
d2 6
^ + цf (6, t; e, m) = 0 (4)
dt
с функцией
f (6, t; e, m) = V1 + ecosv^ sin5. (5)
v 1 - e J
Здесь v = v(t, e) - функция, обратная к (3), и 5 определено в (2).
Механический смысл переменной t - средняя аномалия, а функцию (5) можно записать в виде
f = (a/r)3sin5, где r - длина радиус-вектора спутника, a - большая полуось орбиты, ср. [18, §263]. Угол 6 интерпретируется как резонансная расстройка, т.е. уклонение оси несимметричного спутника от оси, жестко связанной с синхронно двигающимся пробным симметричным спутником и поворачивающейся на угол 2nm по отноше-
нию к радиус-вектору за один оборот спутника по орбите.
Наконец, положим
е = ТЙ, = 0, *2 = £й0' / = • (6)
Уравнение (4) переходит в систему в стандартной форме Боголюбова
X = еХ2, = е/(Х1, г). (7)
В этой форме мы и будем проводить усреднение.
Функция /(х1, г) = /(х1, г; е, т) зависит также от параметров е и т. Будем указывать эту зависимость явно лишь там, где она существенна.
3. ФОРМУЛЫ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ
3.1. Оператор усреднения и интегрирующий оператор. Алгоритм метода усреднения использует две интегральные операции: вычисление среднего значения функции и решение гомологического уравнения. Введем соответствующие обозначения и перечислим свойства этих операций. Мы используем префиксные, операторные обозначения, удобные для многократного итерирования.
Пусть С^1) - класс непрерывных комплексно-значных функций ф(г) на отрезке [-п, п], для которых ф(-п) = ф(п). Таким образом, функции из СХ^1) непрерывны на окружности - отрезке [-п, п] с отождествленными концами. Пусть функция ф(г) е С(^1) имеет разложение Фурье
Ф(г) = ^ ск[ф] ехр(1кг).
к =
Определим оператор усреднения М: С(^1) —► С и интегрирующий оператор Ь: С(^1) —► С(^1) формулами [4, гл. 5, §24]
п
М ф = Со [ф] = 2п |ф( г) йг,
-п
Ь ф( г) = ^ ССкк] ехр (гкг).
к Ф 0
Перечислим свойства операторов М и Ь; обозначим Б = й/йг.
Предложение 1. 1) Положим ф (г) = ф(г) - Мф ■ 1.
Тогда БЬф(г) = ф и МЬф = 0, т.е. функция Ьф(г) есть
первообразная с нулевым средним функции ф (г).
2) Для заданной функции ф е С(^1) решение гомологического уравнения g + БЛ(г) = ф(г) относительно неизвестных: скаляра g и функции Л(г) е С(^1) с условием МЛ = 0 - существует, единственно и дается формулами g = Мф, Л(г) = Ьф(г).
3) Если функции, к которым применяются операторы М, Ь и Б зависят, помимо переменной х, от других переменных, то дифференцирование по дополнительным переменным и умножение на функции от них перестановочны с действием операторов М, Ь и Б.
4) Справедлива формула интегрирования по частям
М(Ьф ■ у) = -М(ф ■ Ьу).
5) При нечетных к имеем М(Ькф ■ ф) = 0. (Следствие п. 4).
6) Вторая формула интегрирования по частям:
Ь(Ьф у + ф•Ьу)-Ьф•Ьу =
2 2 = Мф • Ь2у + Му • Ь2ф - М(Ьф • Ьу) • 1.
3.2. Рекуррентные формулы - общий случай.
Мы следуем изложению в [6, гл. 5, §2], но приводим рекуррентные формулы для всех порядков метода усреднения.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений порядка п
X = £ Р (X, х), (9)
где X = (хх, ..., хп), £ - малый параметр, Р = (/(1), ..., /п)) - вектор-функция, 2п-периодическая по х и вещественно-аналитическая по всем переменным. Существует формальная замена переменных
(8)
X = У + ^£кИк(У, X),
(10)
к = 1
X =
1+
I = 1
«Н
Э7
£ вк +
: 1 к = 1
кЭЯк дх
= £Р
~ \ У + ^£4, X .
(12)
произведения есть = 1 (Э jh<¡'))g<kл, где д. обозначает дифференцирование по у.
Собирая в (12) члены порядка £к, получаем: при к = 1
в,( У) + *Н<М = р (У, х),
дх
(13)
и при к> 1
вк ( у ) +
дНк (У, х)
чт-1 дНк - ;
+
. = 1
(У, х)
Эх ^ дх
= _1 (У, х), где вектор-функция
в (У) =
(14)
_1 (У, х) = \ Р
к-1
У + Х^Н
1
к - 1 ,,
(15)
;}к-1
есть коэффициент при £к 1 в разложении вектор функции Р со сдвинутым аргументом по степеням £.
Используя п. 2 предложения 1, из (13), (14) находим
в1 = мр, н = ьр, (16)
вк = М^к - !, Нк = ЬЯк - ! (к > 2), (17)
где
Я
к-1
= - ^ дНк - .
. = 1
ЭУ в + ^-1.
(18)
переводящая систему (9) в осредненную систему, или нормальную форму, - формальную автономную систему вида
7= ^£квк (У). (11)
к = 1
В (10), (11) вектор-функции Нк(У, х), вк(У) веще-ственно-аналитичны, и Нк(У, х + 2п) = Нк(У, х). О сходимости рядов ничего не предполагается.
Обозначим через Н^, g<k) компоненты вектор-функций Нк, вк и выпишем выражения для них. С этой целью продифференцируем (10) по х с учетом (11) и сравним с (9):
Поясним, что в (17) вк = МЯк - 1 = MWk - В самом деле, согласно (18), (17) и п. 3 предложения 1, выражение Як - 1 - Wk - 1 лежит в образе оператора Ь и, следовательно, исчезает при усреднении.
3.3. Случай системы второго порядка. Обратимся теперь к системе второго порядка в форме (7); при этом пока считаем /(хх, х) произвольной вещественно-аналитической функцией, 2п-пери-одической по х. В терминах общего случая (9) имеем X = (хи х2),/Ч^ х) = Х2,/(2)(X, х) = /(хь х).
Предложение 2. Усреднение системы (7) приводит к системе вида
у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.