ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 444, № 2, с. 156-159
МЕХАНИКА
УДК 532.5: 551.465
УСТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНЫ НА ЛЕДЯНОМ ПОКРОВЕ НАД ДВИЖУЩИМСЯ В ЖИДКОСТИ ДИПОЛЕМ
© 2012 г. А. Т. Ильичев, А. А. Савин, А. С. Савин
Представлено академиком А.Г. Куликовским 15.12.2011 г. Поступило 21.12.2011 г.
Теория волновых движений жидкости с ледяным покровом развивалась в связи с необходимостью решения ряда задач физики моря и вод суши. Обзор работ этого направления содержится, например, в [1]. Основное внимание в этих исследованиях уделено распространению и взаимодействию свободных волн, а также возникновению волн при воздействии на ледяной покров различных нагрузок. При этом, насколько известно авторам, вопросы генерации волн на ледяном покрове источниками, локализованными в толще жидкости, в частности, движущимися телами, не рассматривались. С другой стороны, задачи о волнах, возникающих на поверхности жидкости, свободной от ледяного покрова, при движении в ее толще твердых тел, имеют известные решения [2—7]. В этой связи представляется естественным распространение постановок и методов решения таких задач на случай жидкости с ледяным покровом. В настоящем сообщении описан характер установления волн от особенности, локализованной в жидкости бесконечной глубины под ледовым покровом. Рассмотрения ведутся на примере диполя, который моделирует цилиндр в бесконечной толще жидкости [2, 3, 8]. Характер установления не зависит от типа особенности. Ледяной покров рассматривается как тонкая упругая пластина постоянной толщины, плавающая на поверхности жидкости.
Введем прямоугольную декартову систему координат, в которой ось х совмещена с невозмущенной границей раздела жидкости и льда, а ось у направлена вверх. Пусть диполь возникает в точке (0, -I) в момент времени г = 0 в изначально невозмущенной жидкости и далее движется со скоростью V на постоянной глубине I, сохраняя свой момент М = 2п т. Рассматривая случай бесконечно глубокой жидкости, ищем потенциал скорости течения в виде
Ф(х, у, г) = Ф^х, у, г) + ф(х, у, г),
где Фх — потенциал скорости течения, создаваемого рассматриваемым диполем в безграничной жидкости, ф — волновая часть потенциала скорости, удовлетворяющая во всей области течения уравнению Лапласа.
Обозначим отклонение границы раздела жидкости и льда от ее равновесного положения у = 0 через п = П(х,г). В предположении, что на границе раздела жидкости и льда возникают волны, амплитуды которых много меньше их длины, граничные условия выставляются на линии у = 0 и имеют вид [1]
Фг + 8П - СПхх + ВПхххх + Ми = 0, П = Фу, где А, В, С — постоянные коэффициенты, зависящие от упругих свойств льда, его плотности и толщины, g — ускорение свободного падения.
При сделанных допущениях можно найти фурье-образ отклонения границы раздела жидкости и льда при I > 0:
Б (X, г) = Б0 (X, г) + БД, г), (1)
где
,„ ч 2ттке ^ 8т (юг) Б(Н г) = ю(1 + А |Н|) '
т 2 -IН + ¡X V
Б(х,г) = пт^е х
(2)
ю(1 + А |Х|)
X {/1 (-х, г) + /1 (х, г) + г [[ (-х, г) - / (х, г)]}, (3)
к г) = С05 + ^) ? ]-1,
ю + XV
/2 (X, г) =51п [(ю + Х V )г ], ю + X V
ч-1
ю2 = (8 + СХ2 + БХ4) |Х| (1 + А |Х|)
Волна на границе раздела жидкости и льда находится после применения обратного преобразования Фурье к выражениям (1)—(3):
п (х, г) = п0 (х, г) + п1 (х + ¥г, г),
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской Академии наук, Москва
п„ (х, г) =1 Г Бп (X, г)/^йХ (п = 0,1).
(4)
Рис. 1. Профили ледяного покрова различной толщины при скорости цилиндра, меньшей критической (к — толщина ледяной пластины), к = 0.3 (1), 0.4 (2), 0.5 м (3).
Рис. 2. Профили ледяного покрова различной толщины при скорости цилиндра, большей критической. к = 0.2 (1), 0.5(2), 1.0 м (3).
Используя формулу (4), можно показать, что при длительном (? ^ +да) движении диполя в связанной с ним системе координат х' = х + V?, у' = у на границе раздела жидкости и льда устанавливается стационарная волна:
П(х') = -2mV х
I (х') + п^ Xу ехр(-/Ху) |Р' (Xу )| ^т (X;-х')
где
Г(х') = \
■X ехр(-/X) ео8 (Хх')
Р () '
й X,
(5)
(6)
Р (X) = БХ4 + (С - AV2)Х2 - V2Х + g,
Т (X) = V 20 (X),
чает, что многочлен (7) имеет в точке X = XК кратный корень. Значения VK, XК определяются из условий касания
Т (X К) = VKQ (X К), т' (X К) = VKQ' (X К).
При V < VK многочлен (7) не имеет положительных корней, а выражение (5) для отклонения границы раздела жидкости и льда от положения равновесия в системе координат, сопровождающей диполь, принимает вид
(7)
X у — простые положительные корни многочлена (7).
Вид решения (5) существенно зависит от наличия положительных корней многочлена (7), стоящего в знаменателе подынтегрального выражения (6).
Из того, что уравнение Р(А,) = 0 может быть представлено в виде
(8)
где Т(А) = БХ4 + СХ2 + g, О(X) = АХ2 + X - многочлены с положительными коэффициентами, следует, что существует некоторое критическое значение Ук скорости диполя V, при котором графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения (8), касаются при X = XК > 0. Это озна-
■X ехр(-/X) ео8 (X х')
Р (X)
й X.
В силу известных свойств преобразования Фурье [9] п (х') ^ 0 (х' ^ ±да).
При скорости диполя У, большей критической, многочлен (7) имеет ровно два положительных корня 0 < X 1 < X 2, а выражение для границы раздела жидкости и льда имеет вид (5), (6). При этом суммирование в формуле (5) производится при 1 < у < 2, а интеграл (6) понимается в смысле главного значения. Отклонение границы раздела жидкости и льда от положения равновесия при скорости диполя У, большей критической, можно представить в виде
П (х') = 2тЩ (а + 1)х(^1)з1п(^1х') + + (а - 1)х(Х 2>т(А 2 х') + К (х')],
0
0
158
ИЛЬИЧЕВ и др.
Рис. 3. Схема развития профиля поверхности при значительных Г: ^ > Установление стационарного профиля в контрольной точке х0 .
где
а = sign (x'), х (X) = пХ [P' (X)] 1 exp(-/X),
K(x') =
J1
^[G (^)cos(/ц) + V 2ц sin(/ ц)]ехр (-|x'| ц)
т2 „4 2
+ V ц
d ц,
0 [g (Ц)]2
G(|) = B|4 + (AV2 - C)|i2 + g.
Поскольку вдали от диполя K(x') ^ 0, из (9) следует, что при x' ^ ±да на границе раздела жидкости и льда в системе координат, связанной с диполем, устанавливаются стационарные волны
П (x') = ±4mV х (^1,2) sin (Xl¡2 x'), (10)
где X 1i2 =X 1 при x' ^ +да, X 1i2 =X 2 при x' ^ -да.
Таким образом, при длительном прямолинейном и равномерном движении диполя внутри жидкости с ледяным покровом на нем устанавливается сопровождающая движущийся диполь стационарная волна. При скорости диполя, меньшей критической, возмущения ледяного покрова наиболее заметны в области, лежащей непосредственно над диполем, и затухают по мере удаления от него. Если скорость диполя больше критической, то на льду устанавливаются две стационарные не затухающие на бесконечности волны: одна перед диполем, другая, более длинная, — за ним.
Нестационарные волны (1)—(4) для сверхкритической скорости V стремятся к стационарным
волнам (9) внутри конуса D = {(x',t) : V4t < x' < V^}, где V4 < 0, V > 0 — известные скорости, а вне конуса D — затухают. При этом из анализа решения (1)—(4) следует, что его стремление к стационарному профилю (9) при (x', t) е D и стремление к
нулю при (x', t) t D происходят как 0(1 /л/t) с ро-
стом времени После начала движения диполя возникают четыре волны, распространяющиеся в системе отсчета, связанной с диполем, со скоростями, асимптотическими при I ^ да к скоростям
у12 = У ± ^34 = У ± й2),
йХ ' йХ
а = + СХ2 + БХ 4)|Х|(1 + А|Х|)-1, ю — частота нормальных мод,
> о у2 = у - рР
(11)
V = V +
V3 = V-
2(1 + AX1)V P '(X2)
> V2 , V4 = V -
2(1 + AX1)V P'X)
> V,
< 0.
2(1 + АХ2)У 2(1 + АХ2)У
Волна с волновым числом X 2, распространяющаяся вправо от диполя с максимальной групповой скоростью У3, затухает, подвергаясь дисперсионному расплыванию. Скорость У1 не должна превосходить У2 — максимальную скорость волны с волновым числом А1, распространяющейся вправо от диполя (в случае отсутствия ледового ЗУ
покрова У = У < У2 = —, и волна, движущаяся со
скоростью У2, затухает при х > Уt [10]).
При (х',t) е Б форма поверхности п0(х',0 поточечно стремится к стационарному профилю поверхности (9). Иными словами, для любого е > 0 и любого х0 существует Т(х0), такое, что для любого t > Т(х0) |п(х0) - по(х0,t)| < е. Кроме того, это верно для любого |х' | < |х'01. Возмущения стационарного профиля (9) затухают как 0(1 /Л).
Таким образом, процесс установления профиля свободной поверхности жидкости под ледяным покровом при сверхкритических скоростях
движения диполя для достаточно больших t в системе отсчета, движущейся вместе с диполем, представляет собой эволюцию волны, занимающей область пространства, распространяющуюся
от диполя влево и вправо со скоростям и V4 и V соответственно. Внутри этой области установли-вается стационарный профиль (9), а в областях
х' < V4t и х' > VJ возмущения затухают.
Выражения для скоростей V, V, i = 1> 2, 3, 4, многочлена P (X) и его положительных корней Х1 и Х2 определяются только параметрами дисперсионного соотношения (11) и значением скорости V, поэтому число волн, распространяющихся от особенностей при t ^ да (предельный стационарный режим), а также описанный выше характер установления одинаковы для любой точечной гидродинамической особенности порядка n постоянной интенсивности, движущейся в толще жидкости под ледяным покровом.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (11— 01-00335).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: Физматлит, 2003. 256 с.
2. Ламб Г. Гидромеханика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.
3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Л.; М.: Гостехиздат, 1948. Т. 1. 535 с.
4. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в жидкость тел. Собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. 2. С. 105-182.
5. Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости. Избр. тр. Механика. М.: Наука, 1985. С. 120-151.
6. Келдыш М.В. Замечания о некоторых движениях тяжелой жидкости. М.В. Келдыш. Избр. тр. Механика. М.: Наука, 1985. С. 100-103.
7. Сретенский Л.Н. Теория волновы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.