КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 2, с. 138-143
УДК 629.78
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ИСЗ
© 2007 г. А. С. Девятисильный, Д. Е. Кислов
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, г. Владивосток Поступила в редакцию 22.02.2005 г.
Предложен метод оценки устойчивости задачи определения орбит при возмущениях, обусловленных конечной точностью вычислений и географической привязки пунктов наблюдения.
РАС8: 95.10. Бя
ВВЕДЕНИЕ
Проблема определения орбит искусственных спутников Земли (ИСЗ) по измерениям является одной из центральных для многих прикладных задач. Качество решения ее в каждом конкретном случае зависит от адекватности модельных представлений - аналитических (идеальных), физических (приборно-системных) и виртуальных (реализуемых в вычислительных системах), или, если использовать обобщенный формальный образ, -от того, насколько математически корректно (например, в смысле Ж. Адамара [1]) поставлена та или иная конкретная задача.
Предметом исследований, выполненных в данной работе, является проблема оценки устойчивости динамических алгоритмов калмановского (винеровского) типа [2] в задачах определения квазистационарных спутниковых орбит, реализуемых, например, в системах связи.
В силу особенностей задачи "в малом", интерпретируемой моделью с постоянными коэффициентами, удается исследовать ее с помощью предлагаемого в работе метода, базирующегося на взаимосвязи спектральных портретов возмущенного и точного операторов и обладающего гарантирующими свойствами.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
При формализации исходной задачи ограничимся частным случаем - задачей определения спутниковой орбиты кеплеровского типа по измерениям дальности до ИСЗ с наземных пунктов наблюдения (ПН), полагая, что аналогичные исследования могут быть проведены и для любой другой информационной ситуации.
Тогда соответствующая модель задачи (по сути обратной) может быть сформулирована следующим образом:
г = - |-^т- П2г -2Ог, г(Г0) = Го,
И3 (1.1)
Г ('о) = уо,
г(') = пг(х) - гЕг | + сг, i = тут, (1.2)
где | - гравитационный параметр Земли; г - радиус-вектор положения ИСЗ в прямоугольной системе отсчета, жестко связанной с Землей и имеющей начало в ее центре масс; О - кососимметри-ческая матрица, составленная из проекций на оси системы отсчета вектора (и) угловой скорости вращения Земли, так что Пг = и х г; гЕ, i - радиус-вектор положения i-го наземного ПН; ^ - инструментальная погрешность измерений, производимых на ьом ПН; т - количество ПН.
Целью решения сформулированной обратной задачи является оценка пары векторов (г(х), г (X)). Воспользовавшись достаточно общим подходом, состоящим в линеаризации подобного рода задач около опорных траекторий, перейдем от (1.1) и (1.2) к линейной задаче ("в малом") вида
х = А (X) х + д (X), х (X о) = Хо, ^
г = Н (X) х + р (X),
где х = (5гТ 5гТ)Т - «-мерный вектор вариаций координат и скоростей объекта; г - т-мерный вектор невязок измерений; д(Х), р(Х) - векторы немо-
делируемых возмущении динамическои части системы и инструментальных погрешностей;
A =
0
ILf з rJ— -Л - п2 -2о
(1.4)
H =
r - rK
r - rK
r - rK
r - rK
r - rK
r - rK
0
0
0
где r - радиус-вектор опорной траектории, около котороИ выполнена линеаризация исходной задачи; I - (3 х 3) единичная матрица.
Декларируемой целью решения задачи (1.3) является построение оценки x (t) вектора x(t).
Как следует из [3], для опорных траектории весьма слабо различимых со стационарной (для нее r = const и лежит в плоскости экватора Земли, причем |r| = р0 = ц1/3|и|-2/3) задача (1.3) при m = 1 принципиально разрешима (пользуясь общесистемной терминологией - наблюдаема [2]), хотя по мере сокращения этого различия возрастают трудности с обеспечением вычислительной устойчивости ее решения. Поэтому для траектории близких к стационарноИ представляется целесообразным исследовать задачу (1.3) при m > 2 и стационарноИ опорноИ траектории (r = const); последнее обуславливает постоянство матриц A и H.
В качестве алгоритма, реализующего оценку X вектора x, в настоящей работе рассматривается алгоритм калмановского (винеровского) типа с постоянными коэффициентами:
X = FX + Kz, X (t0) = X0
(1.5)
где F = A - KH, K = DHTRl, D = const - матрица, удовлетворяющая нелинейному алгебраическому уравнению Риккати; R = const - матрица интен-сивностей погрешностей измерений.
В идеале, при невозмущенной матрице F, алгоритм (1.5) асимптотически устойчив, благодаря тому, что для системы (1.3) при m > 2 выполняются известные условия наблюдаемости [2].
В действительности в силу неполной адекватности упомянутых во введении моделей функционирующим является не алгоритм (1.5), а алгоритм
y = Fy + Kz, y (to) = Уо,
(1.6)
где у(0 - оценка вектора х(0; F = F + ДР; К = К + + ДР; ДР, ДК - возмущения матриц.
Спектры матриц Р и Р, вообще говоря, различны, причем возмущения могут быть такими, что
спектр Р выйдет в правую комплексную полуплоскость, что нарушит асимптотическую устойчивость алгоритма и лишит оценку (у) практической значимости. Поэтому ставится задача оценки таких максимальных (по норме) возмущений, при которых еще сохраняется устойчивое решение задачи (1.3).
2. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ
Из постановки задачи следует, что объектом исследования является, вообще говоря, матрица Б. Вместе с тем реально доступный для анализа объект - это матрица Р - образ Р в вычислительной среде.
Решение проблемы устойчивости оператора Р
на основе решения ее для оператора Р, ввиду неопределенности возмущений, требует использования методов, апеллирующих к понятию £ - спектра (или псевдоспектра) матрицы Р, под которым понимается объединение всех множеств собственных значений оператора Р + АР, при ||Д^|| < £||Р||, где ||-|| - спектральная норма оператора [4].
Напомним, что необходимым и достаточным условием того, что комплексное значение X принадлежит £ - спектру (X е Л£(Р)), является выполнение условия [4]:
|(" -F)-1 >¡и- е>0
(2.1)
Введем следующую модель возмущений, описывающую соотношение операторов Р и Р:
||F-Fl <Yl IF < i-Y IFI, 0 <у< 1, (2.2a)
которую преобразуем к виду:
FF
IF <1
<-
1-Y
(2.26)
Докажем теорему, определяющую условия вложенности псевдоспектров точного и возмущенного операторов:
Теорема. Пусть Р и Р соответственно точный и возмущенный операторы, удовлетворяющие неравенству (2.2).Тогда £ - спектр невозмущенного оператора Р целиком содержится в £ -спектре оператора Р, причем:
¡ = (у + ¡)/( 1-у).
(2.3)
T
140
ДЕВЯТИСИЛЬНЫЙ, КИСЛОВ
Доказательство. Рассмотрим неравенства, являющиеся следствием теоремы об устойчивости сингулярных чисел к возмущениям [4]:
а,(XI- F) -t-^-I\F\ <а,(XI- F)<
1-Y
<а, (XI - F) +
Y
1-Y
IFII, j = i,n,
(2.4)
где сД-) - у-е сингулярное число линейного оператора в скобках.
Используя теперь (2.1), (2.2) и (2.4), получим следующее расширенное неравенство:
1-Y
(1- Y)amin(X I - F) - yI |F||
>
>
1 1 - y
■ > -IT-— > ---
(2.5)
amin(XI - F) ell f e|| i?
откуда после элементарных преобразований
1 > 1 - Y
amin(XI - F) (e + Y) II F¡'
(2.6)
горитмов требует знания оценки нормы возмущений матрицы F, или, что то же самое - параметра у из (2.2).
Для получения у перейдем к концепции построения численно-аналитических оценок накапливаемых погрешностей, преимущество которых заключается в том, что вывод результирующей оценки не требует априорного знания норм точных (невозмущенных) матриц - все необходимые числовые значения вычисляются в процессе решения конкретной прикладной задачи. Учитывая структуру матрицы Р, ее возмущения будут аккумулировать возмущения матриц Б, А, Н, Я. Запишем модели возмущений этих матриц:
||Я - Я|| f < e h|ihif ; iD - D\\f < e jdif ;
A - Af < eA
IR"1- RÍ
■<eJR-
(3.1)
IIF;
из чего и следует (2.3).
Сформулированная теорема, по сути утверждающая, что при определенных условиях наступает вложенность спектральных портретов (е -спектр невозмущенного оператора целиком включается в е - спектр возмущенного), позволяет решать задачи о дихотомии спектров операторов, известных лишь с некоторой точностью, предопределяемой моделями, например, рассматриваемого здесь вида (2.2).
При анализе невозмущенной задачи (1.5), требуется определение таких значений е, при которых е - спектр оператора Р все еще содержится в
е - спектре возмущенной матрицы Р. Эти значения находятся из (2.3) при учете условия е > 0 (или, что тоже самое, е > у/(1 - у)), следующего из определения понятия псевдоспектра, то есть:
е = (1- У)е-у. (2.7)
Таким образом, вычисленное согласно (2.7) значение е - допустимый уровень относительных возмущений исходной матрицы Р, при котором ее собственные значения гарантированно не выходят за границы соответствующего е - спектра оператора Р.
3. АНАЛИЗ НАКОПЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Практическое применение предложенного выше подхода к исследованию устойчивости ал-
где возмущенные операторы отмечены тильдой"; - фробениусова норма матрицы..
В соответствии с изложенным выше, представим Р и К в следующем виде:
Р = (А- ( ~кН )с )с, К = ((Б Н ) с, (3.2)
где (-)с - результат выполнения вычислений на компьютере.
Тогда, следуя представлениям, изложенным в работе [4], получаем оценки норм погрешностей соответствующих операторов:
||р - р|| < ||р - р|| р < л,
Jf =
me.
/i mi m - 1
(1- eH)( 1-—-т- e1
KN F H1 F +
+ JAH\
2
IIAII f-
(3.3)
1 - e A 1 - e1
||k - K\\F < Jf, JK =
e d + (n + m )£1 + e r + %
F F,
(1 - ен)(1 - )(1 - е б)( 1 -«у1 £:)( 1 -т--1 е^
х I |Б|| р||Н|| АЯ'Ч р
где &шН = т х п (для рассматриваемой задачи п = 6), а ех - относительная точность представления чисел в ЭВМ (например, при вычислениях с удвоенной точностью ех ~ 2.2 ■ 10-16).
В качестве оценки величины у, с учетом (2.2) и (3.3), можно принять следующую
Jf
Y = ñtü
<
J*
hfrilfii- jf
(3.4)
F
У
0.10 у
0.06 0.02 -0.02 -0.06
-0.10
-0.20 -0.15 -0.10 -0.05
Рис. 1
0.05
0.10
х
У 0.10
0.06 0.02 0.02 0.06
-0.10
-0.20 -0.15 -0.10 -0.05
Рис. 2
0.05
0.10
х
Числовое значение параметра находят процессе решения конкретной задачи
щие в формулу (3.3) величины ||.о|
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.