научная статья по теме УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ СВЯЗКИ ДВУХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, СОЕДИНЕННЫХ ТРОСОМ Механика

Текст научной статьи на тему «УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ СВЯЗКИ ДВУХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, СОЕДИНЕННЫХ ТРОСОМ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013

УДК 531.38+629.78.015

© 2013 г. Ю. М. ЗАБОЛОТНОВ, Д. В. ЕЛЕНЕВ

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ СВЯЗКИ ДВУХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ,

СОЕДИНЕННЫХ ТРОСОМ

Рассматривается пространственное движение в атмосфере двух твердых тел, соединенных невесомым и нерастяжимым тросом. По форме они представляют собой тела вращения со статической и динамической симметрией. Записывается и анализируется условие статической устойчивости углового движения системы по отношению к направлению вектора скорости набегающего потока воздуха. Исследуется влияние на условие устойчивости гироскопических членов и демпфирующих моментов. Приводится пример анализа движения в атмосфере связки двух тел, представляющих собой конусы со сферическим носком. Показывается, что устойчивое движение в атмосфере всегда можно обеспечить правильным согласованным выбором параметров всей системы в целом на основании полученных условий устойчивости. Приводится численный пример, оценивающий величину возникающих сил натяжения троса при спуске системы в атмосфере по баллистической траектории.

Ключевые слова: устойчивость, движение, атмосфера, трос, твердое тело, система, момент, частота.

1. Описание механической системы и уравнения движения. Анализируется пространственное движение в атмосфере связки двух твердых тел вращения, соединенных невесомым и нерастяжимым тросом. Исследуется устойчивость положения равновесия, когда оси симметрии тел и трос располагаются по направлению вектора скорости центра масс системы (углы атаки тел и троса равны нулю). Считается, что трос прикреплен к телам с помощью сферических шарниров и не скручивается. Принципиальная схема механической системы изображена на фиг.1, где Сх, С2 и С — центры масс тел и механической системы; Ох, О2 и Я2 — равнодействующие гравитационных и аэродинамических сил; ах, а 2 и а3 — пространственные углы атаки тел и троса по отношению к вектору скорости центра масс системы Ус; вектора гх, г2, г3 и Дф Д2 — определяют взаимное положение центров масс тел, точек крепления троса и центров давления аэродинамических сил.

Уравнения движения такой системы при немалых углах атаки были получены в работе [1] на основании применения теоремы об изменении кинетического момента для каждого из тел, теоремы о движении центра масс системы и уравнений связей. При получении уравнений движения пренебрегается гравитационными моментами, действующими на тела, и предполагается, что модуль гравитационного ускорения в пределах размеров механической системы не изменяется. Уравнения движения системы в атмосфере записываются в виде [1]

В (1.1)

Л

■1—1..

Фиг. 1

й у к _ Ю к ^П У к -Ю ук 008 у к М 81п а к

й а к . Кук

= Югк 008 Ук + Ю ук 81П у к--

М тУс

— =ю хк - — 008 а к, к = 1,2,3 М М

тй-ГС = я + о, Я = +К2; О = О1 + О2 М

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где у к — углы крена плоскости углов атаки относительно плоскости полета центра масс системы, ук — углы собственного вращения тел и троса, т = т1 + т2 — масса системы, ю = (юх1, юу1, юг1, юх2, юу2, юг2, юх3, юу3, юг3) — вектор угловых скоростей системы, гс — радиус-вектор центра масс системы в инерциальной системе координат, Яук (к = = 1, 2) — подъемные силы тел, А и В — матрица и вектор, определяющие динамические уравнения вращательного движения системы тел [1].

Система дифференциальных уравнений движения (1.1)—(1.5) в общем случае представляет систему 24-го порядка. Однако в случае невесомого троса два уравнения вращательного движения троса для переменных у3 и ю г3 могут быть опущены, а четыре других уравнений для троса фактически представляют собой уравнения связей. Углы Эйлера у к, а к, ук определяются относительно траекторной системы координат, не-инерциальность которой учитывается в кинематических уравнениях для углов атаки. При определении аэродинамических сил Я2 углы атаки тел пересчитываются относительно скоростей своих центров масс Л^, У2 с учетом соотношения шУс = шlУl + да2У2 и геометрических уравнений связей г1 = г + г2 + г3, где г — вектор, соединяющий точки с1 и с2.

2. Условия статической устойчивости движения системы. При записи условий устойчивости движения твердых тел в атмосфере прежде всего рассматриваются условия статической устойчивости. Они записываются для статически и динамически уравновешенных тел при постоянном скоростном напоре (скорости и плотности) и при отсутствии других возмущений (диссипации, геометрической и массовой асимметрии).

Условия статической устойчивости положения равновесия системы a k = 0 (k = 1,2,3) являются необходимыми условиями устойчивости движения связки тел в атмосфере. С другой стороны, наряду с условиями статической устойчивости при движении тел в атмосфере рассматриваются также условия динамической устойчивости [5], которые определяют медленное уменьшение амплитуд колебаний переменных относительно рассматриваемого невозмущенного решения. Эти условия можно рассматривать как достаточные условия устойчивости положения равновесия системы. Выполнение достаточных условий устойчивости обычно определяется действием на систему различных возмущений (медленное изменение параметров системы, действие диссипатив-ных слагаемых). Некоторые вопросы анализа динамической устойчивости движения исследуемой системы будут рассмотрены ниже.

Для получения условий статической устойчивости система уравнений вращательного движения (1.1)—(1.4) линеаризуется в окрестности исследуемого положения равновесия, когда продольные оси симметрии тел и трос ориентируются по направлению вектора скорости центра масс Vc. Наиболее простую форму линеаризованные уравнения имеют, если они записываются относительно траекторной системы координат Cxvyvzv (фиг. 1) в комплексном виде. Уравнения движения одного твердого тела в тра-екторной системе координат в комплексном виде использовались во многих работах, например, в [2—4]. В частности, здесь используется методика, изложенная в работе [4]. Для рассматриваемого невозмущенного движения связки двух тел на тросе угловые скорости вращения тел вокруг своих осей симметрии постоянны юхЬюх2 = const. Оставшиеся шесть динамических уравнений движения для двух тел и троса (уравнения связи) рассматриваются попарно и записываются в следующем комплексном виде

+ iT ^ + C Е = 0 dt2 dt

(2.1)

где Е, = Е, 2, ^з) — вектор комплексных углов атаки, Е, k = ia ke

iY k

fIi + mi2ri2 m12r1r2

F =

m12r1r3

Л

mi2rir2 12 + mi2r2 mi2r2r

m12r1 mi2r2 mi2r3

(

C =

-AM -

m2r2 m1 + m2 m2

v mi + m2

f

m2ri m1 + m2

Ryi - AxiR

1" yi

R

yi

R

yi

m1r1 m1 + m2

R

y2

mir2

-ARxr2 +-— Ry2

m1 + m2

R„9 - Ax2Ry2 0

m1

Г =

m1 + m2 гЛ

R

Юxi(Ixi + m12r1 ) -Юx2m12r1r2 ®xim12r1r2 x2(Ix2 + m12r22) 0

®xim12r1 -®x2m12r2 0

y2

ARx =

-ARx

miRx2 - m2Rxi m1 + m2

Кроме того, Ях1, Ях2, Яу1, Яу2 — проекции аэродинамических сил на оси траекторной системы координат; Я^, Яу2 — частные производные проекций Яу1, Яу2 по соответ-

г>0 г>0

ствующим углам атаки; Яу1, Яу2 — проекции аэродинамических сил на оси связанных с телами систем координат; 1к = 1ук = 1гк, 1хк (к = 1,2) — осевые моменты инерции тел; Ах1, Дх2 — величины, определяющие положение центров давления аэродинамических сил (при ДХ1 < 0 и ДХ2 < 0 тела статически устойчивы). В линеаризованной системе (2.1) аэродинамические силы и их производные определяются при нулевых углах атаки а! = а2 = 0.

Если в уравнениях (2.1) положить юх1 = 0, ю х2 = 0 (Г = 0), то получается плоский случай движения механической системы, который собственно и определяет статическую устойчивость ее движения. Дело в том, что переход к пространственному случаю движения (учет гироскопических членов, пропорциональных угловым скоростям юх1, юх2) не может разрушить статической устойчивости движения системы, что следует из известных теорем теории устойчивости [6]. Учет гироскопических членов может привести лишь к появлению новых устойчивых положений, что в данной работе не рассматривается. При этом в плоском случае следует положить Е,к = ак (к = 1,2,3).

Поэтому анализ статической устойчивости сводится к анализу положения корней характеристического уравнения динамической системы (2.1), которое в плоском случае примет вид

ёе^Х2 + С) = 0 (2.2)

Характеристическое уравнение (2.2) эквивалентно кубическому относительно X2 алгебраическому уравнению. Решение &1 — а 2 — а 3 = 0 будет устойчиво, если все корни характеристического уравнения будут мнимыми, а это будет выполнено тогда и только тогда, когда кубическое уравнение (2.2) относительно X2 будет иметь три вещественных отрицательных корня. Если система статически устойчива, то характеристическое уравнение (2.2), очевидно, позволяет определить частоты малых колебаний рассматриваемой механической системы в плоском случае. При этом область статической устойчивости механической системы может быть изображена, например, с помощью диаграммы Вышнеградского.

В случае двух сферических тел условие статической устойчивости системы (2.1)

(при Дх1 = Дх2 = 0, ЯУл = КУ2 = 0, Яхк = Як) приобретает наиболее простой вид

ДЯх = т1К2 - т2Я1 < 0 т1 + т2

Анализируя решения алгебраического уравнения (2.2) в общем случае для тел с осевой симметрией, можно сделать следующие выводы: необходимым условием статистической устойчивости движения механической системы для симметричных тел остается условие АЯх < 0, так как при АЯх < 0 все корни уравнения (2.2) нулевые и при переходе параметра АЯх через нулевое значение система теряет устойчивость; при выполнении условия АЯх < 0 потеря статической устойчивости в системе возможна

при переходе через ноль параметра АЯх - АЯ^, где АЯ^ = (т^^ - т2Яуа1)/(т1 + т2), что приводит к равенству двух корней характеристического уравнения (2.2). Поэтому

условие АЯх - АЯ^ < 0 также является необходимым условием статической устойчивости рассматриваемой механической системы.

Отметим в связи с этим, что значения параметров АЯх, АЯ^ определяются массами каждого тела, а также соответственно их силами лобового сопротивления (Яхк) и их

Фиг. 2

подъемными силами (Яук), и не зависят от длины троса, причем условия устойчивости записаны для статически нейтральных тел (Дх

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком