научная статья по теме УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБРИДНЫХ МОД ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ ДОБАВКУ ИОНОВ ФОНОВОГО ГАЗА Физика

Текст научной статьи на тему «УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБРИДНЫХ МОД ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ ДОБАВКУ ИОНОВ ФОНОВОГО ГАЗА»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 5, с. 442-453

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ

УДК 533.951

УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБРИДНЫХ МОД ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ ДОБАВКУ ИОНОВ ФОНОВОГО ГАЗА

© 2014 г. Ю. Н. Елисеев

ННЦ "Харьковский физико-технический институт", Харьков, Украина e-mail: eliseev2004@rambler.ru Поступила в редакцию 15.09.2013 г.

Окончательный вариант получен 05.11.2013 г.

Численно определен спектр собственных колебаний заряженной плазмы, состоящей из "холодных" электронов, полностью заполняющих волновод, и малой добавки ионов, образовавшихся ионизацией атомов фонового газа электронным ударом. Расчеты на основе нелокального дисперсионного уравнения, полученного ранее [Физика плазмы. 2010. Т. 36. С. 607], проведены во всем диапазоне допустимых значений напряженностей радиального электрического и продольного магнитного полей, для замагниченных и незамагниченных ионов. Спектр состоит из трех семейств электронных мод, частоты которых равны верхне- и нижнегибридным частотам с доплеровским сдвигом, и семейств "модифицированных" ионных циклотронных мод. Когда доплеровский сдвиг, обусловленный вращением электронов в скрещенных полях, компенсирует значение гибридной частоты, электронные моды становятся низкочастотными и взаимодействуют с ионными модами. При m = 1 только нижнегибридные моды могут быть низкочастотными, при m > 2 — и нижнегибридные, и верхнегибридные моды. В работе представлен спектр мод с азимутальным числом m = 2. Показано, что нижнегибридные моды ведут себя качественно так же, как и в случае m = 1. Верхнегибридные моды пересекаются со всеми гармониками MIC-частоты, положительными, отрицательными и нулевой, и в окрестности пересечений неустойчивы. Максимальные значения инкремента достигают нескольких единиц ионной ленгмюровской частоты. MIC моды неустойчивы в широком интервале изменения полей и имеют на два порядка меньшие инкременты нарастания. Неустойчивости обусловлены относительным движением электронов и ионов — поперечным током — и анизотропией функции распределения ионов.

DOI: 10.7868/S0367292114040027

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] определено поведение частот собственных мод "холодной" однородной чисто электронной плазмы, полностью заполняющей волновод, так называемых мод Трайвелписа-Гул-да, частоты которых равны гибридным частотам с доплеровским сдвигом, обусловленным вращением электронов по азимуту в скрещенных полях [2]. За счет доплеровского сдвига электронные моды могут стать низкочастотными. При азимутальном числе т = 1 только нижнегибридные моды проходят через область низких частот (моды семейств БЬИ, 8ЬИ в области I на рис. 1а, б). При т > 2 и верхнегибридные моды проходят через область низких частот (моды семейства 8иИ в области II на рис. 1а, в). При наличии в плазме ионов в областях I и II происходит пересечение электронных и ионных мод, что может привести к неустойчивости. На основе численного решения нелокального дисперсионного уравнения в [1] определен спектр колебаний с азимутальным числом т = 1 электронной плазмы, содержащей

малую добавку ионов, образовавшихся ионизацией фонового газа.

В настоящей работе определен спектр колебаний с азимутальным числом m = 2. Общая картина взаимодействия нижнегибридных и ионных мод в области I остается такой же, как и при m = 1 [1]. Основное внимание в работе уделено поведению верхнегибридных и ионных мод в области II.

Инкременты нарастания верхнегибридных мод определены также аналитически методом "одномодовой" теории возмущений, справедливой, однако при очень малой плотности ионов.

2. МОДЕЛЬ ПЛАЗМЫ И ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

Рассматриваемая плазма имеет форму цилиндра радиуса a и ограничена металлическим кожухом того же радиуса. Магнитное поле B направлено вдоль оси цилиндра. "Холодные" электроны однородно распределены по радиусу (ne = const, r < a) и вращаются в скрещенных полях вокруг

устойчивость гибридных мод

443

0.015-

FLH =

o.oioH

0.005

><"0 <"V

I 11 I // ^ ££ £ ^

-0.005

«03

ш/шсе x 10 5

«II 1.0

«02

«

0 «03 «02

1.0 «

0.93900

0.93905

«

Рис. 1. Поведение собственных частот ю "холодной" чисто электронной плазмы во всем диапазоне допустимых значений параметра q (а) и в большем масштабе в области I (б) и области II (в). Результаты расчетов по формуле (2) для

2 — 2

азимутальных чисел m = 0,1, 2, 3, 4 при cos 0 = 10 , f = о. На рис. 1а, б штриховыми линиями обозначен допплеров-ский сдвиг частоты m®e, на рис. 1б они обозначены цифрами 1 и 2 для m = 1, 2 соответственно. Показаны также зависимости от q "модифицированной" электронной циклотронной частоты Qe (5) и MIC-частоты Qj. Все зависимости

нормированы на wce. Величины q0m и q0m есть значения параметра q (8), (9), при которых частоты ю SLH и SUH-мод (7) равны нулю. На рис. 1а, б показано по одной радиальной моде каждого семейства. Более высокие радиальные моды

(с меньшими cos 9) семейств SLH и FLH располагаются ближе к соответствующей пунктирной кривой m®e. На рис. 1в представлено поведение семейства медленных верхнегибридных (SUH) мод с азимутальным числом m = 2. Цифры 0, 1, ..., 4 и знак "го" обозначают номера радиальных мод, kza = 0.1. Серая полоса качественно обозначает положение высших радиальных мод, которые не учитываются при численном решении дисперсионного уравнения (2) методом Галеркина; здесь результаты расчетов неприменимы.

оси цилиндра с медленной частотой вращения юе = const.

В электронной плазме присутствует малая добавка ионов одного сорта (n;-/ne <§ 1), которые образовались ионизацией молекул фонового газа электронным ударом. Равновесная функция распределения таких ионов имеет вид [3]

F(eL, M,vz) = NElY ((a) -e± )x

Ti (Aci (1)

x S(s± -®rotM)8(vz),

где N — плотность образовавшихся ионов (N = const, r < a), Y — функция Хевисайда, 5 — дельта-функция Дирака, mi, s ±, M, vz — масса, поперечная энергия, обобщенный импульс и продольная скорость иона, юс- — циклотронная частота иона, T = 2n/Q i = const — период радиальных осцилляций иона в скрещенных полях,

i 2 \ 1/2 Qj = 1юс, - 4eEr/mr) = const — "модифицированная" ионная циклотронная (MIC) частота, коэффициент <arot = -cEr/(Br) = const > 0. Радиальное электрическое поле (Er = -d¥(r)/dr < 0) определяется пространственным зарядом электронов и ионов. В любых полях считаем его равным

Er = - (m/2e)®pe(1 - f)r, где юPe = (4пе\/me)' — ленгмюровская частота электронов, f = N/ne = const < 1 — коэффициент зарядовой нейтрализации (см. [1]). При этом электрический потенциал ¥(r) есть квадратичная функция радиуса W(r) = 2 2

*¥(a)(r /a ), ¥(a) > 0 .В этом случае все частоты вращения электронов и ионов не зависят от радиуса и для ионов может быть применен метод решения линеаризованного уравнения Власова, развитый в [4].

Дисперсионное уравнение собственных колебаний рассматриваемой заряженной плазмы имеет вид [1]

det(L« - Лк1) = 0. (2)

Диагональная матрица Lk1, равная

(3)

Lki = (К m, kz\ + k2za 2&e) 5 к1,

e 1

ee = 1 -

ю p

(ю - mюe)2 - D.2e

e

S3 = 1 -■

ю p

(4)

(ю - тюе)

Для частот юе и Ое используем общие выражения [2], справедливые в любых, не только в сла-

бых для электронов, радиальных электрических полях

®e , Q = К»| (1 " id " ft),

2 2

q = ^ 1 > i(1 -f) > 0. oxe

(5)

Это позволяет проводить рассмотрение устойчивости плазмы во всем интервале допустимых значений электрического и магнитного полей. Во вращающейся плазме частота 0.а (а = е, I) играет роль "модифицированной" (эффективной) циклотронной частоты: юса ^ Оа. Указывая на это соответствие, советские авторы [5] ссылаются на работу [6]. Автор монографии [2] называет эту частоту частотой вихря и ссылается на работу [7]. Японские авторы [8] — на выполненные еще в 1943 г. работы [9], посвященные задаче о движении электронов в скрещенных полях и в поле волны в магнетроне, в которых величина О е, по-видимому, на самом деле была введена впервые.

Недиагональная симметричная матрица Лк1, равная [1]

2 да

Л - &pi

Лк1 - NlNk

m± m p = _a

I

ю - p a

Jm + pfe )Jm + pfet) X

X Jp(z+ )Jp(Z+) +

m ( 1 1

— + p\—--2

—- I—- —+

— a

Jdx ddx \_Jm + p (zi X)Jm + P (z- X)] Jp (z+X) J p (z+X) +(6)

2 2

1 kza

Q

i I Ю

Q~ p

JxdxJm + p(ziX) X

описывает вклад разделения зарядов и возмущения плотности электронов. В (3) кт, 1 — I -й корень функции Бесселя Jm, кг — продольный волновой

вектор, 5 к1 — символ Кронекера, бе, 3 — диагональные компоненты тензора диэлектрической проницаемости "холодных" электронов вращающейся плазмы, равные [2]

Х Jm + p(zkX)Jp(z+X)Jp(z+kX)

описывает вклад ионов фонового газа с функцией распределения (1). В (6) И1т = (1/72) + ^,) -

норма функции Бесселя, = кт1 |ю±| /О{, ю± = (-юа ± ОI)/2 — "медленная" и "быстрая" частоты вращения иона в скрещенных полях [2], ю' = ю- тю+ — частота волны в системе отсчета, вращающейся с "медленной" частотой вращения

иона ю+, ®2pi = 4ne N/mi — квадрат ионной ленг-мюровской частоты.

2

0

Выражение (6) справедливо во всем диапазоне допустимых значений электрического и магнитного полей (0 < q(1 - f) < 1), во всем диапазоне MIC частот (ю' ~ Qt), при произвольных продольном волновом векторе kz и азимутальном числе m. Выражения для электронного слагаемого Lkl (3), (4) справедливы в приближении "холодных" электронов | ю-mraj/(kzvTe) « mae/(kzvre) > 1 (vie — тепловая скорость электронов).

3. ПОВЕДЕНИЕ МОД ЧИСТО ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМЫ

В отсутствие ионов собственные моды волновода, заполненного заряженной "холодной" однородной электронной плазмой, - это моды Трайвелписа—Гулда с доплеровским сдвигом, обусловленным вращением электронов в скрещенных полях. При частичном заполнении волновода плазмой частоты мод определяются численно. При полном заполнении — совпадают с гибридными частотами с доплеровским сдвигом [2]

1

ю = m<e ± -

,1/2

Q2

2

■ ю ±

pe —

:[(^2 + <<Pe)2 - 4Wpe^2COS2 е]1/2}1/2.

(7)

рого отмечалась еще в [10]. В эксперименте изменяется именно д, а кг, как правило, остается неизменным. Зависимости частот от д фактически являются зависимостями от доплеровского сдвига частоты вращающейся плазмы тше (см. (5)). Параметр д во вращающейся плазме играет такую же роль, что

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком