ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 5, с. 442-453
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.951
УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБРИДНЫХ МОД ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ ДОБАВКУ ИОНОВ ФОНОВОГО ГАЗА
© 2014 г. Ю. Н. Елисеев
ННЦ "Харьковский физико-технический институт", Харьков, Украина e-mail: eliseev2004@rambler.ru Поступила в редакцию 15.09.2013 г.
Окончательный вариант получен 05.11.2013 г.
Численно определен спектр собственных колебаний заряженной плазмы, состоящей из "холодных" электронов, полностью заполняющих волновод, и малой добавки ионов, образовавшихся ионизацией атомов фонового газа электронным ударом. Расчеты на основе нелокального дисперсионного уравнения, полученного ранее [Физика плазмы. 2010. Т. 36. С. 607], проведены во всем диапазоне допустимых значений напряженностей радиального электрического и продольного магнитного полей, для замагниченных и незамагниченных ионов. Спектр состоит из трех семейств электронных мод, частоты которых равны верхне- и нижнегибридным частотам с доплеровским сдвигом, и семейств "модифицированных" ионных циклотронных мод. Когда доплеровский сдвиг, обусловленный вращением электронов в скрещенных полях, компенсирует значение гибридной частоты, электронные моды становятся низкочастотными и взаимодействуют с ионными модами. При m = 1 только нижнегибридные моды могут быть низкочастотными, при m > 2 — и нижнегибридные, и верхнегибридные моды. В работе представлен спектр мод с азимутальным числом m = 2. Показано, что нижнегибридные моды ведут себя качественно так же, как и в случае m = 1. Верхнегибридные моды пересекаются со всеми гармониками MIC-частоты, положительными, отрицательными и нулевой, и в окрестности пересечений неустойчивы. Максимальные значения инкремента достигают нескольких единиц ионной ленгмюровской частоты. MIC моды неустойчивы в широком интервале изменения полей и имеют на два порядка меньшие инкременты нарастания. Неустойчивости обусловлены относительным движением электронов и ионов — поперечным током — и анизотропией функции распределения ионов.
DOI: 10.7868/S0367292114040027
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] определено поведение частот собственных мод "холодной" однородной чисто электронной плазмы, полностью заполняющей волновод, так называемых мод Трайвелписа-Гул-да, частоты которых равны гибридным частотам с доплеровским сдвигом, обусловленным вращением электронов по азимуту в скрещенных полях [2]. За счет доплеровского сдвига электронные моды могут стать низкочастотными. При азимутальном числе т = 1 только нижнегибридные моды проходят через область низких частот (моды семейств БЬИ, 8ЬИ в области I на рис. 1а, б). При т > 2 и верхнегибридные моды проходят через область низких частот (моды семейства 8иИ в области II на рис. 1а, в). При наличии в плазме ионов в областях I и II происходит пересечение электронных и ионных мод, что может привести к неустойчивости. На основе численного решения нелокального дисперсионного уравнения в [1] определен спектр колебаний с азимутальным числом т = 1 электронной плазмы, содержащей
малую добавку ионов, образовавшихся ионизацией фонового газа.
В настоящей работе определен спектр колебаний с азимутальным числом m = 2. Общая картина взаимодействия нижнегибридных и ионных мод в области I остается такой же, как и при m = 1 [1]. Основное внимание в работе уделено поведению верхнегибридных и ионных мод в области II.
Инкременты нарастания верхнегибридных мод определены также аналитически методом "одномодовой" теории возмущений, справедливой, однако при очень малой плотности ионов.
2. МОДЕЛЬ ПЛАЗМЫ И ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Рассматриваемая плазма имеет форму цилиндра радиуса a и ограничена металлическим кожухом того же радиуса. Магнитное поле B направлено вдоль оси цилиндра. "Холодные" электроны однородно распределены по радиусу (ne = const, r < a) и вращаются в скрещенных полях вокруг
устойчивость гибридных мод
443
0.015-
FLH =
o.oioH
0.005
><"0 <"V
I 11 I // ^ ££ £ ^
-0.005
«03
ш/шсе x 10 5
«II 1.0
«02
«
0 «03 «02
1.0 «
0.93900
0.93905
«
Рис. 1. Поведение собственных частот ю "холодной" чисто электронной плазмы во всем диапазоне допустимых значений параметра q (а) и в большем масштабе в области I (б) и области II (в). Результаты расчетов по формуле (2) для
2 — 2
азимутальных чисел m = 0,1, 2, 3, 4 при cos 0 = 10 , f = о. На рис. 1а, б штриховыми линиями обозначен допплеров-ский сдвиг частоты m®e, на рис. 1б они обозначены цифрами 1 и 2 для m = 1, 2 соответственно. Показаны также зависимости от q "модифицированной" электронной циклотронной частоты Qe (5) и MIC-частоты Qj. Все зависимости
нормированы на wce. Величины q0m и q0m есть значения параметра q (8), (9), при которых частоты ю SLH и SUH-мод (7) равны нулю. На рис. 1а, б показано по одной радиальной моде каждого семейства. Более высокие радиальные моды
(с меньшими cos 9) семейств SLH и FLH располагаются ближе к соответствующей пунктирной кривой m®e. На рис. 1в представлено поведение семейства медленных верхнегибридных (SUH) мод с азимутальным числом m = 2. Цифры 0, 1, ..., 4 и знак "го" обозначают номера радиальных мод, kza = 0.1. Серая полоса качественно обозначает положение высших радиальных мод, которые не учитываются при численном решении дисперсионного уравнения (2) методом Галеркина; здесь результаты расчетов неприменимы.
оси цилиндра с медленной частотой вращения юе = const.
В электронной плазме присутствует малая добавка ионов одного сорта (n;-/ne <§ 1), которые образовались ионизацией молекул фонового газа электронным ударом. Равновесная функция распределения таких ионов имеет вид [3]
F(eL, M,vz) = NElY ((a) -e± )x
Ti (Aci (1)
x S(s± -®rotM)8(vz),
где N — плотность образовавшихся ионов (N = const, r < a), Y — функция Хевисайда, 5 — дельта-функция Дирака, mi, s ±, M, vz — масса, поперечная энергия, обобщенный импульс и продольная скорость иона, юс- — циклотронная частота иона, T = 2n/Q i = const — период радиальных осцилляций иона в скрещенных полях,
i 2 \ 1/2 Qj = 1юс, - 4eEr/mr) = const — "модифицированная" ионная циклотронная (MIC) частота, коэффициент <arot = -cEr/(Br) = const > 0. Радиальное электрическое поле (Er = -d¥(r)/dr < 0) определяется пространственным зарядом электронов и ионов. В любых полях считаем его равным
Er = - (m/2e)®pe(1 - f)r, где юPe = (4пе\/me)' — ленгмюровская частота электронов, f = N/ne = const < 1 — коэффициент зарядовой нейтрализации (см. [1]). При этом электрический потенциал ¥(r) есть квадратичная функция радиуса W(r) = 2 2
*¥(a)(r /a ), ¥(a) > 0 .В этом случае все частоты вращения электронов и ионов не зависят от радиуса и для ионов может быть применен метод решения линеаризованного уравнения Власова, развитый в [4].
Дисперсионное уравнение собственных колебаний рассматриваемой заряженной плазмы имеет вид [1]
det(L« - Лк1) = 0. (2)
Диагональная матрица Lk1, равная
(3)
Lki = (К m, kz\ + k2za 2&e) 5 к1,
e 1
ee = 1 -
ю p
(ю - mюe)2 - D.2e
e
S3 = 1 -■
ю p
(4)
(ю - тюе)
Для частот юе и Ое используем общие выражения [2], справедливые в любых, не только в сла-
бых для электронов, радиальных электрических полях
®e , Q = К»| (1 " id " ft),
2 2
q = ^ 1 > i(1 -f) > 0. oxe
(5)
Это позволяет проводить рассмотрение устойчивости плазмы во всем интервале допустимых значений электрического и магнитного полей. Во вращающейся плазме частота 0.а (а = е, I) играет роль "модифицированной" (эффективной) циклотронной частоты: юса ^ Оа. Указывая на это соответствие, советские авторы [5] ссылаются на работу [6]. Автор монографии [2] называет эту частоту частотой вихря и ссылается на работу [7]. Японские авторы [8] — на выполненные еще в 1943 г. работы [9], посвященные задаче о движении электронов в скрещенных полях и в поле волны в магнетроне, в которых величина О е, по-видимому, на самом деле была введена впервые.
Недиагональная симметричная матрица Лк1, равная [1]
2 да
Л - &pi
Лк1 - NlNk
m± m p = _a
I
ю - p a
Jm + pfe )Jm + pfet) X
X Jp(z+ )Jp(Z+) +
m ( 1 1
— + p\—--2
—- I—- —+
— a
Jdx ddx \_Jm + p (zi X)Jm + P (z- X)] Jp (z+X) J p (z+X) +(6)
2 2
1 kza
Q
i I Ю
Q~ p
JxdxJm + p(ziX) X
описывает вклад разделения зарядов и возмущения плотности электронов. В (3) кт, 1 — I -й корень функции Бесселя Jm, кг — продольный волновой
вектор, 5 к1 — символ Кронекера, бе, 3 — диагональные компоненты тензора диэлектрической проницаемости "холодных" электронов вращающейся плазмы, равные [2]
Х Jm + p(zkX)Jp(z+X)Jp(z+kX)
описывает вклад ионов фонового газа с функцией распределения (1). В (6) И1т = (1/72) + ^,) -
норма функции Бесселя, = кт1 |ю±| /О{, ю± = (-юа ± ОI)/2 — "медленная" и "быстрая" частоты вращения иона в скрещенных полях [2], ю' = ю- тю+ — частота волны в системе отсчета, вращающейся с "медленной" частотой вращения
иона ю+, ®2pi = 4ne N/mi — квадрат ионной ленг-мюровской частоты.
2
0
Выражение (6) справедливо во всем диапазоне допустимых значений электрического и магнитного полей (0 < q(1 - f) < 1), во всем диапазоне MIC частот (ю' ~ Qt), при произвольных продольном волновом векторе kz и азимутальном числе m. Выражения для электронного слагаемого Lkl (3), (4) справедливы в приближении "холодных" электронов | ю-mraj/(kzvTe) « mae/(kzvre) > 1 (vie — тепловая скорость электронов).
3. ПОВЕДЕНИЕ МОД ЧИСТО ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМЫ
В отсутствие ионов собственные моды волновода, заполненного заряженной "холодной" однородной электронной плазмой, - это моды Трайвелписа—Гулда с доплеровским сдвигом, обусловленным вращением электронов в скрещенных полях. При частичном заполнении волновода плазмой частоты мод определяются численно. При полном заполнении — совпадают с гибридными частотами с доплеровским сдвигом [2]
1
ю = m<e ± -
,1/2
Q2
2
■ ю ±
pe —
:[(^2 + <<Pe)2 - 4Wpe^2COS2 е]1/2}1/2.
(7)
рого отмечалась еще в [10]. В эксперименте изменяется именно д, а кг, как правило, остается неизменным. Зависимости частот от д фактически являются зависимостями от доплеровского сдвига частоты вращающейся плазмы тше (см. (5)). Параметр д во вращающейся плазме играет такую же роль, что
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.