ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 6, 2009
УДК 531.36:534.1
© 2009 г. А. П. Евдокименко
УСТОЙЧИВОСТЬ И ВЕТВЛЕНИЕ
ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ТРЕХЗВЕННОГО МАЯТНИКА В БЫСТРОВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
Исследуются относительные равновесия плоского трехзвенного маятника с вращающейся вокруг вертикали осью подвеса в поле силы тяжести. Маятник моделируется как система из трех материальных точек, последовательно соединенных невесомыми нерастяжимыми стержнями с помощью цилиндрических шарниров.
Исследованы все тривиальные положения равновесия, их устойчивость и ветвление. Основное внимание уделено нетривиальным положениям равновесия, т.е. таким равновесным конфигурациям маятника, для которых не все звенья вытянуты вдоль вертикальной оси. Исследованы вопросы существования, устойчивости и ветвления таких нетривиальных положений равновесия при достаточно больших угловых скоростях вращения. Построено разбиение плоскости геометрических параметров маятника на области с разным количеством нетривиальных относительных равновесий. Для каждого найденного нетривиального положения равновесия приведены условия, налагаемые на параметры системы, при которых положение равновесия существует, исследована их устойчивость и дано геометрическое описание конфигурации маятника.
Изучение динамики тела, подвешенного на струне (стержне) к вращающейся вокруг вертикали горизонтальной оси в однородном поле тяжести, берет свое начало в экспериментальных исследованиях, проводившихся под руководством М.А. Лаврентьева. Теоретические исследования динамики тела (или нескольких тел) со струнным приводом развивались рядом авторов [1— 9]. Также в различных постановках рассматривалась задача об относительном равновесии тяжелой нити, вращающейся вокруг вертикали [10—13].
1. Постановка задачи. Рассмотрим трехзвенный математический маятник, расположенный в плоскости Oxy, которая вращается с постоянной угловой скоростью ю вокруг вертикальной оси Oy. Длины звеньев (безмассовых стержней) маятника обозначим через a1, a2, a3, а расположенные на их концах точечные массы — через m^ m2, m3. Положение маятника во вращающейся системе отсчета будем определять углами ф1, Ф 2, ф3, отсчитываемыми от нисходящей вертикали против часовой стрелки. Будем считать, что ф1 е [0,п], фi е (] (i = 2,3) (фиг. 1).
Измененный потенциал механической системы складывается из потенциала Wg силы тяжести и потенциала We переносных сил инерции:
3 i 2 3 f i Л2
W = Wg + We = m£ajcosфу -у£mt £ajsinфу
i=1 j=1 i=1 Lz=1
Фиг. 1
После введения безразмерных параметров
2
_ a¿ _ ai _ m + т2 + m3 v_m2 + m3 q _ ю ai ai ai m3 m3 g
ц > v > i, Q> 0, p>0, q>0
его можно представить в виде
V = W = -цcosф1 - pvcosф2 - qcos93 -aim3g
ir-v f -2 ,2-2 , 2 • 2
sin ф1 + p vsin ф2 + q sin ф3 -Q(pvsin фlsln ф2 + pq sin ф^т ф3 + q sin ф^т ф3)
Очевидно, что количество и характер критических точек у функций W и V одинаковы, поэтому в дальнейшем будем изучать функцию V.
2. Тривиальные положения равновесия и их устойчивость. Положения относительного равновесия рассматриваемой механической системы соответствуют критическим точкам функции V [14], которые определяются из системы уравнений
dV = 0, 3V = 0, 3V = 0 (2.1)
5ф1 дф2 5ф3
Очевидно, система (2.1) допускает тривиальные решения вида sin ф,- = 0 i = 1,2,3
С учетом интервалов изменения углов ф1, ф2, ф3 имеется восемь геометрически различных тривиальных положений равновесия, существующих при любых угловых ско-
ростях. Будем обозначать эти решения S , где знак плюс или минус выбирается, если косинус соответствующего угла равен 1 (стержень направлен вертикально вниз),
или -1 (стержень направлен вертикально вверх). Таким образом, запись S + + означает, что рассматривается решение, для которого cos91 = 1, cos92 = -1, cos ф3 = 1, т.е. первый и третий стержни направлены вертикально вниз, второй — вертикально вверх.
Обозначим через As(Q) главный минор порядка s (s = 1,2,3) матрицы вторых производных функции V, вычисленной на тривиальном решении.
Рассматривая значения минора Д3 в корнях миноров Л12, а также в нуле и на , можно для каждого тривиального решения определить количество положительных корней минора Д 3 и их расположение относительно корней миноров Л1 2 и на основе этого сделать выводы о степени неустойчивости каждого тривиального решения.
Пусть Qj, Q2, Q3 — корни минора A3(Q). Ниже приводится краткое описание результатов исследования.
Для решения S+++ все три корня Q^ Q2, Q3 минора Д3 положительны, степень неустойчивости решения S+++ равна 0 (решение устойчиво) при Q е (0,Q]), равна 1 при Q е (Q1,Q2), 2 при Qe (Q2jQ3), 3 при Q е (Q3,»).
Степень неустойчивости решений S++ , S + +, S ++ равна 1 при Q е (0,Q]), равна 2 при Q е (Q^), 3 при Q е (Q2,«>). Конечно, численные значения корней Q^ Q свои
с++- о+-+ С-++
для каждого тривиального решения S , S , S .
Степень неустойчивости решений S + , S + , S + равна 2 при Q g (0,Q]) и 3 при Q е (Q1;w). Как и в предыдущем случае, значение корня Q1 зависит от рассматриваемого тривиального решения.
Степень неустойчивости решения S равна 3 при всех О > 0.
Таким образом, при переходе параметра Q через корни минора A3(Q) меняется степень неустойчивости тривиальных решений, следовательно, согласно теории бифуркации [14], от этих решений ответвляются другие (нетривиальные) положения равновесия: от решения S ответвляется три нетривиальных решения, от решений S ,
с+-+ о-++ " С+--- С-+- С--+
S , S — по два нетривиальных решения, от решений s , s , s — по одному соответственно.
3. Преобразование уравнений. Аналитически решить систему (2.1) трудно, поэтому представляется интересным получить асимптотические разложения ее решений при Q
^ ®. Для построения этих разложений удобно предварительно преобразовать систему (2.1). Вводя параметр
в=1
О. ай]
перепишем ее в матричной форме
цв-^cos ф1 — vp cos ф1 - q cos ф1 vcosф2 ve—vp cos ф2 — q cosф2 cosф3 — p cosф3 8 — q cos ф3
sin ф1 sin ф2 sin ф3
= 0
(3.1)
Система (3.1) имеет нетривиальное решение (ф1(е ),ф2(е ),ф3(е)) при фиксированном значении s тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы в точке (s,9i( s) ,ф2( s) ,ф3( s)) меньше трех, иначе все значения sin ф,- обязаны быть нулевыми [15].
Покажем далее, что для всех нетривиальных решений системы (3.1) ранг ее матрицы равен двум.
Непосредственным вычислением можно проверить, что у системы (3.1) не существует решения, для которого некоторая строка матрицы состоит из одних нулей. Из этого, в частности, следует, что ранг матрицы системы (3.1) не может быть равен нулю.
Проверим далее, что не существует решения, для которого ранг матрицы равен единице. Предположим противное, а именно, что вторая строка пропорциональна первой строке с коэффициентом X, а третья строка пропорциональна первой с коэффициентом Y. Из условий пропорциональности элементов первого столбца в этом случае получаем два равенства, из которых следует, что
Xv cos ф2 = Y сс^фз
Аналогично, из второго столбца матрицы имеем два равенства, из которых при учете полученного соотношения вытекает, что X = 0.
Таким образом, для любого нетривиального решения ранг матрицы системы (3.1) всегда равен двум. т.е. для любого нетривиального решения системы (3.1) при фиксированном s имеют места равенства
-Xcosф3 - YvCOSф2 = Z^(s - cosф^
-X^cosф3 + Yv(s - pcos ф2) = -Zvpcosф1 (3.2)
X(s - qcosф3) - Yqcosф2 = -Zqcosф1
Покажем теперь, что коэффициент Z никогда не обращается в нуль, и его можно принять за единицу.
Положим в соотношениях (3.2) Z = 0. Если X = 0, то из равенств (3.2) следует, что и Y = 0. Значит X ф 0, и можно разделить каждое из уравнений (3.2) на X. Вычитая далее из первого уравнения второе, деленное на p, получаем
Y ve / Xp = 0
Отсюда следует, что Y = 0, а тогда из соотношений (3.2) получаем, что и X = 0.
Следовательно, Z ф 0, и можно считать, что Z = 1.
В дальнейшем для сокращения записи разложений решений по параметру s будем использовать обозначения
Av = V — 1, Aц = ц-1, A^v = ц —V
Аналогично тому, как это было сделано для коэфициента Z, можно показать, что коэффициент X также не может быть равен нулю, а коэффициент Y обращается в нуль, только если параметры системы удовлетворяют равенствам
q = v Mv/a^v = 1
В этом случае у системы (3.1) существуют решения
14-1 1 1 cosф1 =-, cosф2 = ±1, cosф3 =-, £2 > —
^£.A. у ^£.A. v .A. v
для которых У = 0. Для других решений системы (3.1), а также в случае, когда указанные равенства не выполняются, при достаточно малых е коэффициент У в ноль не обращается. Таким образом, можно считать, что X ф 0, У ф 0 при ^ > Для новых переменных X, У получаем уравнения
4 а 2
X2(Хр - Уд)2 - X2(р\х + V У)2ХА- +
V А^
+ e2 ¿-f2p + vY)2(Xp - Yq)2 = 0
p Л
(3.3)
H-V
Y2(рц + vY)2 - Y'
(
Y
vA„
pA
- X± + '-
-e
2 v2 2 p - Y
2 2 (PV + vY) P Av
HV
Y VAl
pA
HV
2 A 2 AHV
A HV V А2 AV
2 л ,HAV
q A HV V
= 0
Уравнения (3.3) определяют значения f, Y, после чего из соотношений
PV + vY YqvAц -XpA^v + pq\iAv
СС^ф! = —-£, COS ф2 = -----£ (3.4)
pA^v YpqAvA^v
^фз = v(fp- Yq) £
XpqAv
можно восстановить значения cosф(■, а для определения значений самих углов, надо, кроме того, установить знаки sinф(-. Именно, учитывая, что sinФ1 > 0, получаем
sgn(sin ф2) = sgn(- Y)sgn(cos91)sgn(cos92) sgn(sin ф3) = sgn(-X)sgn(cos91)sgn(cos93)
(3.5)
4. Предельные решения системы (3.3). Положив в уравнениях (3.3) б = 0, получим следующие предельные при е ^ 0 значения переменных X и У (собственные предельные точки):
Po _ (0,0), Pi 2 =
0 _рц(р ± 1)Av ' v(pAv ± Ац)у
P3,4 =
2
q Mv
vA,
^v
P5
5,6,7,8
_ I q|a(1 _Kiq _ к2p) _p^(v_Kq _к2pv) (ц-Kiq _ K2pv)' v(^_Kq _K2pv)
K
1,2
_ ±1
Точкам Р1 и Р3 (Р2 и Р4) соответствуют верхние (нижние) знаки.
Для определенности будем считать, что точкам Р5, ..., Р8 соответствуют следующие значения К1 и К2:
Р5 Рб Р Р
к1 = 1,к 2 = 1 к1 = 1,к 2 = -1 к1 =-1,к 2 = 1 к1 =-1,к 2 =-1
При некоторых значениях параметров предельные точки могут совпадать или не существовать. Так, точка Р при р = 1 совпадает с точкой Р0 и не существует при Р = Ац/Ау.
Фиг. 2
Для точек Р5, ...,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.