ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 253-266
УДК 519.634
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА-БЮРГЕРСА1)
© 2015 г. А. П. Чугайнова*, В. А. Шаргатов**
(*119991 Москва, ул. Губкина, 8, МИАН;
**115409 Москва, Каширское ш., 31, Нац. исследовательский ядерный ун-т <МИФИ>) e-mail: A.P.Chugainova@mi.ras.ru; shargatov@mail.ru Поступила в редакцию 16.07.2014 г.
Исследуется устойчивость нестационарных решений задачи Коши для модельного уравнения, учитывающего сложную нелинейность, а также дисперсию и диссипацию. Это уравнение может описывать распространение нелинейных продольных волн в стержнях. Ранее обнаружено сложное поведение бегущих волн, которые можно рассматривать как структуры разрывов в решениях этого же уравнения, не учитывающего диссипацию и дисперсию. Это приводит к многозначности решений стандартных автомодельных задач, решения которых строятся из последовательности волн Римана и ударных волн, имеющих стационарную структуру. Многозначность решений обусловлена наличием особых разрывов, что является следствием существенного влияния дисперсии при наличии вязкости. Численно решены задачи об устойчивости особых разрывов при изменении параметров дисперсии и диссипации. Выполненные расчеты моделируют задачу об исследовании устойчивости особого разрыва, которой проходит через слой среды с измененными параметрами дисперсии и диссипации. Библ. 15. Фиг. 12. Табл. 2.
Ключевые слова: обобщенное уравнение Кортевега—де Вриза—Бюргерса, устойчивость нестационарных решений, разностный метод решения.
Б01: 10.7868/80044466915020076
ВВЕДЕНИЕ
Для описания крупномасштабных явлений механики сплошной среды используются нелинейные гиперболические уравнения, в то время как при рассмотрении явлений меньшего масштаба в уравнениях необходим учет членов высшего порядка дифференцирования, отвечающих за процессы диссипации и дисперсии. Образование разрывов, типичное для нелинейных гиперболических уравнений, предотвращается упомянутыми членами высшего порядка дифференцирования, в результате чего вместо разрыва образуется узкая переходная зона с непрерывным изменением величин, которая называется структурой разрыва. Во многих случаях структура является бегущей волной и называется стационарной. Если характерный пространственный масштаб задачи достаточно велик, то решение, представляющее структуру разрыва, можно заменить разрывом, а в области непрерывности решения пользоваться гиперболической системой уравнений. Часто явно или неявно предполагается (см.[1]—[5]), что реально могут существовать разрывы, имеющие стационарную структуру. Такие разрывы называются допустимыми. Требование существования решения, представляющего стационарную структуру разрыва, приводит к соотношениям, связывающим величины по обе стороны от разрыва. В случае общего положения число таких соотношений равно или больше числа соотношений, которые следуют из законов сохранения гиперболической системы. Если на эволюционном разрыве выполняются только соотношения, следующие из законов сохранения, то такой разрыв называют априорно эволюционным. Если требования существования структуры помимо законов сохранения приводят к дополнительным соотношениям, то такие разрывы с учетом этих дополнительных соотношений оказываются эволюционными (см. [6]). При определенных условиях дополнительные соотношения на разрывах могут возникать в тех случаях, когда число законов сохранения совпадает с
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 13-01-12047).
порядком гиперболической системы. Эти разрывы были названы особыми (см. [7]). При значительном влиянии дисперсии в структуре ударных волн число особых разрывов различных типов растет с ростом относительного влияния дисперсии по сравнению с диссипацией, что порождает множественную неединственность решений автомодельных задач (см. [7], [8]).
Рассматриваемое модельное уравнение является одним из самых простых уравнений, которое может иметь решения, содержащие особые разрывы. Исследование свойств решений этого модельного уравнения, облегчающего детальный теоретический анализ, проводится ради возможности обнаружения фундаментальных физических эффектов, характерных для процессов, в которых могут возникать особые разрывы. Аналогичный подход использовался в [9], где исследовалось наиболее простое из известных нам уравнений, позволяющих моделировать динамику неустойчивых детонационных волн, а также в [10], где исследование эволюции узкой полосы слабонеустойчивых мод для фильтрационных течений выполнено с помощью вещественного диффузионного уравнения Колмогорова—Петровского—Пискунова.
В [5], [11]—[13] изучались решения модельного уравнения (см. ниже уравнение (1.1)), учитывающего дисперсию, диссипацию и сложную нелинейность в виде бегущих волн, представляющие стационарные структуры разрывов для уравнений без дисперсии и диссипации. Обнаружены особые разрывы. Построены автомодельные решения задачи о распаде произвольного разрыва с использованием разрывов, имеющих стационарные структуры и показано, что в таком гиперболическом приближении существует много решений одной и той же автомодельной задачи для зафиксированных начальных данных. В [12] решения уравнений (1.1) строились численно.
Ранее в [14] были изучены решения исследуемого нелинейного уравнения, содержащего только диссипативные члены (без членов с третьей производной от неизвестной функции, обеспечивающих дисперсионные эффекты). В этом случае особые разрывы отсутствуют, решения задач однозначны, структуры разрывов стационарны, автомодельное решение в гиперболическом приближении единственно.
В [13] численно изучено влияние дисперсионных членов на формирование асимптотик модельного уравнения. Численно решены задачи о взаимодействии нелинейных волн, движущихся навстречу одна другой (или когда одна волна догоняет другую) в случае, когда соответствующие автомодельные задачи о столкновении разрывов имеют неединственное решение. Кроме того, изучены ситуации, когда в результате взаимодействия волн при больших временах формируются асимптотики, содержащие разрывы с нестационарной периодической колебательной структурой.
В данной работе численно изучается устойчивость особых разрывов при прохождении слоя среды с измененными параметрами. Численное решение одномерного нестационарного модельного уравнения представляет собой определенные сложности. Описаны три разностные схемы этого уравнения и проведен анализ сходимости и точности разностных решений, полученных с использованием этих разностных схем. В разд. 1 излагаются результаты предшествующих исследований, необходимые для понимания новых результатов, представленных в разд. 2, 3.
При m, ц = const это уравнение представляет собой простейшее уравнение, описывающее продольные волны в стержне при наличии дисперсии, диссипации и нелинейности, задаваемой функцией ф(и). Как отмечалось в [7] , уравнение (1.1) может быть получено из уравнения, описывающего продольные волны в упруго-вязком стержне, в котором зависимость суммарного упругого напряжения в поперечном сечении от продольной деформации мало отличается от линейной. В этом случае функция u = u(x, t) — смещение частиц вдоль оси стержня, принимаемой в качестве оси x, а уравнение (1.1) описывает волны, распространяющиеся в отрицательном направлении оси х, при условии, что волны, распространяющиеся в положительном направлении, малы. Получение (1.1) из уравнения для деформации стержня проводится так же, как выводятся уравнения Бюргерса или Кортевега—де Вриза из соответствующих уравнений, описывающих волны, которые могут распространяться как в положительном, так и в отрицательном направлении оси x. В уравнении (1.1) последний член в правой части описывает дисперсионные эффекты (коэффициент m — параметр дисперсии). В стержне эти эффекты происходят за счет влияния ма-
1. РАЗРЫВЫ СО стационарной структурой
Рассмотрим решения уравнения
(1.1)
и
Фиг. 1.
лой неодномерности при распространении волн достаточно большой длины. Член, содержащий функцию ц(х), учитывает вязкие эффекты и обусловливает диссипацию.
При распространении длинных волн оба члена в правой части становятся малыми по сравнению с членами в левой части и при пренебрежении правой частью уравнение (1.1) приобретает вид
где с(и) — характеристическая скорость. Уравнение (1.2) допускает разрывные решения. Заметим, что при применении преобразования Галилея к функции с(и) прибавляется постоянная, а функция ф(и) приобретает линейное по и слагаемое.
Уравнение (1.2) (так же как и (1.1)) выражает закон сохранения, поэтому соответствующее соотношение на разрыве можно записать в виде
где Ж — скорость разрыва, квадратными скобками обозначена разность значений функций за и перед разрывом.
Неединственность решений автомодельных задач для уравнения (1.2) с использованием разрывов со стационарной структурой имеет место, если график функции ф(и) имеет две точки перегиба (см. [12]). В качестве такой функции при расчетах, результаты которых излагаются ниже, взята функция
др(и) ди
(1.2)
Ж = [Р(и) ]
(1.3)
р(и) = и - и .
График этой функции изображен на фиг. 1 при т = 1.3, ц = 0.05. Стационарная структура разрывов описывается следующими равенствами:
4 2
(1.4)
и = и(%), % = х - Ж?, т- ц — = Ди), Ди) = Ж(и - иг) - (р(и) - р(иг)),
(1.5)
Нш и(%) = и1, Нш и(%) = иг.
Если такое решение существует, то с точки зрения большого масштаба длины оно должно представлять собой разрыв со стационарной структурой, в котором и = и1 и и = иг — состояния перед (х < 0) и за (х > 0) разрывом. Нетрудно убедиться, что состояния и1 и иг удовлетворяют соотношениям (1.3) и представляют, таким образом, состояния за и перед разрывом, соответствующим закону сохранения. На графике функции ф(и) (см. фиг. 1) состояние перед разрывом, в качестве которого принято иг = —1, обозначено буквой А.
В [15] показано, как получить решение задачи (1.5), если функция Д(и) является полиномом. Там же получены и исследованы решения для случая, когда Д(и) является полиномом второй или третьей степ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.