ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 1, 2012
УДК 531.36:534.1
© 2012 г. А. А. Зевин, Л. А. Филоненко
УСТОЙЧИВОСТЬ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассматриваются параметрические колебания сильно нелинейных систем с одной степенью свободы, при этом используется более общее определение таких колебаний по сравнению с общепринятым. Для двух семейств периодических решений, отвечающих основному параметрическому резонансу, найдены критерии устойчивости, проверяемые по знакам производных амплитудно-частотных характеристик. Указано условие, при котором последние монотонны, в результате одно из семейств устойчиво, другое неустойчиво. Показано, что в системе с вогнутой немонотонной упругой характеристикой устойчивое семейство теряет устойчивость при достаточно больших амплитудах, причем этот эффект не обнаруживается известными аналитическими методами нелинейной механики.
1. Введение. Рассмотрим уравнение
х + цф(х, х, юг) + /(х, ю, юг) = 0 (1.1)
где ц > 0 — малый параметр, функции ф(х, х, и /(х, ш, Т0-периодичны по ^ и дифференцируемы по всем переменным, причем
фх(х, х) = дф(х, х, юг)/дх > 0 при всех х, х, г (1.2)
Пусть х(^, ц) — Т-периодическое решение уравнения (1.1), где Т = кТ0, к — целое число. Как известно, это решение асимптотически устойчиво, если устойчиво соответствующее уравнение в вариациях
у + цЬ(г, ц)у + а(г, ц)у = 0
Ь(г, ц) = фх(х(г, ц), х(г, ц), юг), (1.3)
а(г, ц) = /х(х(г, ц), ю, юг) + цфх(х(г, ц), х(г, ц), юг)
Обозначим р1(ц), р2(ц) мультипликаторы уравнения (1.3). Из формулы Лиувилля при учете условия (1.2) получим
р 1 (ц)р 2 (ц) = ехР I- 2 \Ь (ц) А
< 1 при ц > 0 (1.4)
0
Пусть х(0 = х(^, 0) — соответствующее решение уравнения (1.1) при ц = 0
х + /(х, ю, юг) = 0 (1.5)
Установим связь между устойчивостью решений х(^, ц) и х(0. Как видно из соотношения (1.4), р1(0)р2(0) = 1. Если р1(0) и р2(0) комплексны, то |р1(0)| = |р2(0)| = 1, т.е. ре-
шение x(t) устойчиво в первом приближении. Учитывая, что при малых ц значения р:(ц), р2(ц) также комплексны, из соотношения (1.4) найдем |р:(ц)| = |р2(ц)| <1, поэтому решение x(t, ц) асимптотически устойчиво. При дальнейшем возрастании ц устойчивость сохраняется, пока р,(ц) Ф ±1.
Если мультипликаторы р:(0) и р2(0) действительны и р,(0) Ф ±1, то в силу соотношения р:(0)/р2(0) = 1 один из них по модулю превышает единицу, т.е. решение x(t) неустойчиво. Ввиду непрерывности функции р,(т) неустойчивость сохраняется при достаточно малых ц.
Таким образом, при любом значении ф(х, x, rat), удовлетворяющем условию (1.2), устойчивость семейства x(t, ц) при малых ц определяется устойчивостью решения x(t) уравнения (1.5). Поэтому ниже рассматривается устойчивость решений этого уравнения.
Полагаем, что
f(0, ю, юt) = 0 (1.6)
Заметим, что этому условию удовлетворяют, в частности, типичные параметрически возбуждаемые системы [1]
x + p(юОДх) = 0 и x + p(юt)x + f(x) = 0 (1.7)
Поэтому колебания в системе (1.5), (1.6) будем называть параметрическими.
Большинство аналитических исследований параметрических колебаний выполнено асимптотическими методами для конкретных уравнений вида (1.7) в предположении, что нелинейность системы либо параметрическое возбуждение малы, т.е. система квазилинейна либо квазиконсервативна [2—4]. Было проведено [5—7] строгое качественное исследование таких систем, свободное от указанных ограничений. Найдены [8] нелокальные критерии существования и устойчивости семейств периодических решений гамильтоновой системы и-порядка
Jx = Hx (x, t); J =
0 -1 1 0
H(x, t) = H(x, t + T) (1.8)
где гамильтониан Н(х, ?) удовлетворяет аналогичному (1.6) условию Нх(0, ?) = 0. В результате соответствующее линеаризованное уравнение имеет вид
/у = А(г)у; А( г) = А(г + Т) = Нхх( 0, г)
Поэтому колебания в системе (1.8) естественно считать параметрическими.
2. Предварительные результаты. Решению х(^ = ^ + Т) уравнения (1.5) отвечает уравнение в вариациях
у + а(г)у = 0, а(г) = /х(х(г), ю, юг) (2.1)
Ниже будут использованы следующие факты теории уравнения Хилла с параметром
[9]:
у + Iа(г)у = 0; а(г) = а(г + в), Х> 0 (2.2)
В общем случае уравнение (2.2) устойчиво при Х е (Х2, Х2 + :) (; = 0, 1, 2, ...) и неустойчиво при Х < Х0 и X е (Х2_Х2) (; = 1, 2, ...) (фиг. 1, где интервалы неустойчивости показаны пунктиром). При этом Х2 < Х2 + ь то время как Х2_ : < Х2.
Если среднее значение а(?) на отрезке [0, 9] неотрицательно: е
ас = 1- |а(I) > 0 (2.3)
о
то Х0 = 0, т.е. "нулевая" область неустойчивости X е (0, Х0) отсутствует. Так как в уравнении (2.1) X = 1, то оно устойчиво, в частности, при
Х0 < 1 и Х2 < 1 <А3 (2.4)
и неустойчиво при
1 < Х0 и X < 1 < Х2 (2.5)
Именно эти условия используются ниже.
При X = и X = Х2 уравнение (2.2) имеет антипериодические решения у() = —у(? + 9) (; = 1, 2), поэтому Х:, Х2 — первые собственные значения краевой задачи для уравнения (2.2) при условиях
у (-0/2) = -у (0 / 2), у) (-0/2) = -у) (0 / 2) (2.6)
Как известно, собственные функции у (?) (; = 1, 2) имеют по одному нулю на [0, 9). Если
а( I) = а (-I) (2.7)
то нетрудно показать, что одна из этих функций четна, другая — нечетна. Ясно, что четная функция у1 (?) удовлетворяет условиям
у; (-0/2) = у' (0/2) = 0, у' (1)Ф 0 при I 6 (-0/2,0/2) (2.8)
нечетная у2 (?) — условиям
у;;(0) = у;;(0/2) = 0, у;;(0 Ф 0 при I 6 (-0/2, 0] (2.9)
Поэтому
Х1 = тт[Х'ь X"], Х2 = тах[А'ь X"] (2.10)
где Xj — первое собственное значение задачи (2.2), (2.8), Xj — задачи (2.2), (2.9).
При X = Х0 и X = Х3 уравнение (2.2) имеет периодические решения y ¡(t) = y ¡(t + 9), i = = 0, 3, поэтому X0, X3 — первые собственные значения краевой задачи для уравнения (2.2) при условиях
У (-0/2) = y(0/2), y (-0/2) = j) (0/2) (2.11)
Собственная функция y0(t) знакопостоянна, а y3(t) имеет два нуля на [0, 9). При условии (2.7) функция y0(t) четна, y3(t) четна либо нечетна. Как отмечено выше, при условии (2.3) Х0 = 0, при этом y0(t) = const.
3. Существование и устойчивость семейств периодических решений. Предположим, что
f(x, ю, юt) = f(x, ю, юt + я) = -f(-x, ю, юt) = -f(x, Ю, П/2 - юt)
/(х,ю,юг)х > 0 (х Ф 0); /х(х,ю,юг)> 0 при всех х, г (3.1)
/ю(х,ю,юг) > 0 и /(х, ю, юг)> 0 при г &(-п/(2ю), 0), х < 0
Таким образом, функция/(х, ю, ю?) периодична по ? с периодом Т0 = п/ю, симметрична и монотонна по х, ? и ю в указанных областях.
Например, в системах (1.7) условия (3.1) выполняются при
р(ю г) = а - Ь ео82ю г, а > \Ь\, /х(х)> 0, /(х) = -/(-х) (3.2)
Покажем, что в рассматриваемой системе существуют нечетное и четное симметрические решения х1(() и х2(?) с периодом Т = 2Т0 = 2п/ю и любой заданной амплитудой А > 0, монотонно изменяющиеся между экстремальными значениями —А и А, т.е.
х1( г) = -х1 (г + п / ю) = х1 (г + 2 п/ю), / = 1,2
х1 (г) = —х1(-г), х1 (г)> 0 при г с(-п/(2ю), п/(2ю)) (3.3)
х2(г) = х2(-г), х2(г) > 0 при г &(0,п/ю) Пусть х(г, А, ю) — решение уравнения (1.5) при х(-п/(2ю)) = -А < 0, х(-п/(2ю)) = 0
В силу второго условия (3.1) х (?, А, ю) = —/(х, ю, ю?) > 0 при х < 0, поэтому х(?, А, ю) монотонно возрастает и, следовательно,
х(г0,А,ю) = 0, х(г0,А,ю)> 0 при г0 = г0(ю) Можно показать, что ?0(ю) = 0 при некотором ю, т.е.
х(0, А, ю) = 0, х(г, А, ю) < 0 при г <=(-п/(2ю), 0) (3.4)
При учете соотношений (3.1) очевидно, что функция х(?, А, ю), будучи продолженной по ?, удовлетворяет условиям (3.3) для I = 1, что доказывает существование решения х:(?).
Существование решения х2(?) устанавливается аналогично. При этом следует положить
х( 0, А,ю) = -А, х (0, А,ю) = 0
Зависимость А2(ю) определяется соотношением
х(п/(2ю), А, ю) = 0 (3.5)
С помощью соотношений (3.3) и (3.1) можно проверить, что для указанных решений в уравнении (2.1)
а( г) = /х(х( г),ю,ю г) = а(-г) = а( г + в)), в = п/ю (3.6)
Заметим, что так как х(?, А) ^ 0 при А ^ 0, то значения ю° = ИшюДА) (; = 1,2) совпадают с границами основной области параметрического резонанса линеаризованной системы
х + а0(г)х = 0, а0(г) = а0(г + п/ю) = /х(0, ю, юг) (3.7)
В силу соотношений (3.1)
а(г) = /х(х(г), ю, юг) > 0 (3.8)
Поэтому выполняется условие (2.3) и, следовательно, нулевая область неустойчивости отсутствует (Х0(а,) = 0). Положив
т = ю 0г, Х(т) = х(т/ю0) получим
сРх/ йт1 + (ю0 )-2 а0 (т/ю0 )Х1 = 0. (3.8)
Учитывая, что функция х:(?) нечетна, х2(?) четна, найдем
0 ГЛ ... ч-т1/2 0 \-]-1/2
ю1 = [>1( а0)] , ю2 = [^1 (а0)]
Следующая лемма дает оценки величин (а:) и (а2), которые будут использованы ниже при анализе устойчивости решений х:(?) и х2(?).
Лемма. Собственные значения (а:) и (а2) задач (2.2), (2.8) и (2.2), (2.9) удовлетворяют неравенствам
(ах )> 1, Х"( а2 )< 1 (3.9)
Доказательство. По определению,
у 1 + (ах) ах (г) у1 = 0, у1(-п/(2 ю)) = у1(п/(2ю)) = 0 (3.10)
причем
у1(г) = у1 (-г), у 1(г) ф 0 при г е (-п/(2ю), 0)
Положив в уравнении (1.5) х = х:(?) и продифференцировав его по ?, получим V! + а1 (г)у 1 + /х(г),ю,юг) = 0; V!(г) = V1 (-г) = х^г) (3.11)
Умножив уравнение (3.10) на ух(?), (3.11) на у1 (?) и взяв разность результатов, после интегрирования по частям при учете равенства
у1 (-п/(2ю)) = у (0) = Vl (-п / (2 ю)) = (0) = 0
найдем
00
[Х1(а1) -1 ] | а1 (г)у1 (г^ 1 (г)йг = | /(х1(г),ю,юг)у\(г)йг (3.12)
-п/( 2ю) -п/( 2ю)
Так как
а1 (г)> 0, у1 (г)Ф 0, v1(г)> 0, х1 (г)< 0
0 10 Х4 \
Фиг. 1
и, в силу соотношения (3.1), /¡(х1), ю?) > 0 при ? е (—п/(2ю), 0), то интегралы в равенстве (3.12) имеют одинаковые знаки, откуда следует первое неравенство (3.9).
Учитывая, что А," (а2) отвечает задаче (2.2), (2.9), аналогично найдем 0 0
[А"(а2) - 1 ] | а2(0//(^2(I)Я = | (х2(0, ю, ю0//(^Я (3.13)
-л/(2ш) -п/( 2ш)
У2(?) = -У2( - ?)= Х2( - ?)
Так как/(х, ю?) > 0, у2(1) < 0 при ? е (—п/(2ю), 0), то А" (а2) < 1.
Полагаем, что
Ма2) > 1 (3.14)
где А3(а2) — второе собственное значение задачи (2.2), (2.11).
Пусть А,(ю) ( ' = 1, 2) — амплитудно-частотные характеристики решений х,(?, ю); А,ш(ю) = йА(ю)/йю.
Теорема 1. В системе (1.5), (1.6), (3.1) решение х:(?, ю) с амплитудой А:(ю) устойчиво (неустойчиво), если соответствующее значение А1ш(ю) < 0 (А1ш(ю) > 0). Решение х2(?, ю) при А2ш(ю) <
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.