ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 73. Вып. 6, 2009
УДК 531.36:534.1
© 2009 г. Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ МАЯТНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ
Исследуются частоты и формы параметрических колебаний маятника переменной длины при значениях коэффициента модуляции от сколь угодно малых до предельно допустимых. Аналитическими и численными методами построены и изучены границы резонансных зон первых четырех мод колебаний, установлены основные качественные свойства высших мод. Доказано полное вырождение мод с четными номерами, т.е. совпадение частот нечетных и четных форм собственных колебаний для допустимых значений параметра модуляции. Построена глобальная картина границ областей устойчивости нижнего положения равновесия и показано существенное отличие от диаграмм Айнса—Стретта. Установлены специфические свойства собственных форм колебаний.
При наличии огромного числа публикаций, посвященных проблемам неустойчивости состояний равновесия (см. [1—13] и библиографию), исследования параметрического возбуждения колебаний многомерных механических систем, в том числе классические, часто ограничиваются теоретическим или численным анализом предельных случаев асимптотически малых вариаций параметров системы. Исключение представляют исследования колебаний систем, описываемых уравнениями Матье и Мейснера [14, 15]. В качестве математического аппарата используются методы малого параметра (Ляпунова—Пуанкаре [2—7]), асимптотические методы усреднения (Крылова—Боголюбова—Митропольского [8]) и др. Численные исследования на основе теории Флоке—Ляпунова [3—6], методов математической физики [11—16] и вариационных подходов Бубнова—Галеркина—Ритца [12, 14, 15] также опираются на методы возмущений.
Для приложений, однако, весьма важны решения проблем параметрической устойчивости и неустойчивости положений равновесия при заданных конкретных, а не сколь угодно малых значениях коэффициента модуляции. Эти решения требуют разработки эффективных численно-аналитических методик, которые могут быть реализованы с помощью современного программного обеспечения для всех допустимых значений параметров. Быстро сходящийся метод ускоренной сходимости в сочетании с процедурой продолжения по параметрам позволяет исследовать стандартные и обобщенные параметрические колебания в широкой и предельно допустимой области параметров различных систем [17—19].
Ниже применяется разработанный ранее [17, 18] подход к исследованию периодических краевых задач, возникающих при анализе устойчивости нижнего положения равновесия плоского математического маятника переменной длины.
1. Постановка задачи. Считается для простоты, что голономная механическая система реализуется с помощью нерастяжимой нити (невесомого стержня) и точечной массы, которая заданным (периодическим) образом перемещается вдоль оси (сход со связи не допускается). Предполагается, что длина такого маятника изменяется в широких допустимых пределах. Требуется построить периодические режимы малых колебаний, т.е. определить границы областей неустойчивости (резонансы) и устойчивости (по линейному приближению). На основе решения самосопряженных периодических краевых задач на собственные значения и функции [16—18] необходимо построить высокоточные диаграммы зависимости собственных значений системы от коэффициента модуляции в допустимых пределах его изменения, аналогичные диаграммам Айнса—Стретта и Мейснера [14, 15].
Построим математическую модель маятника переменной длины £ с неподвижной осью колебаний или вращений. Декартовы координаты точечной массы m (m = 1) описываются выражениями
х = i sin ф, у = - i совф (mod2n)
i = í(t) = í0(1 - ecos2Qt), 0 < e < 1 (.)
где ф — угол отклонения оси маятника относительно вертикали; для простоты принято гармоническое во времени t изменение длины £, однако коэффициент модуляции e не предполагается малым. При перемещениях массы расстояние £ до оси варьируется в пределах £ 0(1 + e), т.е. может принимать достаточно малые значения при фиксированной величине £0 и e ^ 1, а также сколь угодно большие при £0 ^ ж и фиксированном коэффициенте модуляции e < 1. Параметры i0 — среднее расстояние и 2Q — частота далее исключаются посредством стандартной процедуры перехода к безразмерной задаче.
С помощью выражений (1.1) представим потенциальную энергию U и выпишем координаты скорости движения х, y массы, на основе которых вычислим кинетическую энергию T. Имеем
U((,t) = -g£ (t)cos ф
х = Iфcosф + Isinф, у = Iфsinф- Icosф (1.2)
T = (£2( t)(2 + £2( t)) / 2, £ = 2 e£ 0 Q sin2Q t
Здесь g — ускорение сил тяготения. Стандартные выкладки позволяют получить уравнение движения Лагранжа для обобщенной координаты ф
£2ф + 2££ф + g£sinф = 0, £ = £(t) (1.3)
Используя это уравнение, а также уравнения Ньютона, вычислим относительную величину силы реакции
N = gcosp - ( + 2, N/m ^ N, ( = 4e(0Q2cos2Qt
Если маятник подвешен на гибкой нити, то для сохранения знака силы реакции N > 0 во избежание схода со связи требуется ввести существенные ограничения на величины £,Ф и др. В частности, при ф = ф = 0 натяжение N нити положительно, если
4e£0^ < g, т.е. при достаточно малой силе инерции переносного ускорения. Центробежные силы инерции, согласно уравнению (1.3), способствуют натяжению, что естественно.
Исследуем устойчивость положения равновесия ф = ф = 0 системы (1.3) в линейном приближении. Для этого отбросим нелинейные (кубические) по ф члены, разделим уравнение (1.3) на величину £ > 0 и введем новую неизвестную переменную u согласно соотношениям
u = £(t)ф, ф£2(t) = ú£(t) - u£(t)
Тогда получим уравнение
ú + £_1(t)(g -£(t))u = 0 (1.4)
которое содержит три размерных параметра: g, £ 0,Q — и безразмерный коэффициент модуляции e. Посредством замен, приводящих к безразмерным параметру ^ и аргументу 0, представим уравнение (1.4) в виде
,,, ц- 4ел2ео82л9 „ л2е „ а Ш п , „ Л ,, <-ч
и + --и = 0; ц = —^ > 0, 8 = —; 0 < е < 1 (1.5)
1 -еео82л8 £ 0Ш2 п
где штрихами обозначены производные по 0. Уравнение параметрических колебаний (1.5) содержит только два безразмерных параметра: ^ и е. Аргумент 0 имеет смысл фазы параметрического возбуждения, период которого равен единице.
Согласно общей теории [2—7, 14—18], требуется найти значения параметра ц = ц (е), при которых уравнение (1.5) допускает двоякопериодические решения. Кривые ц (е) ограничивают резонансные зоны, внутри которых имеет место экспоненциальная неустойчивость положения равновесия и малых колебаний. Вне этих зон выполняются условия устойчивости по первому приближению.
Исследование задачи об устойчивости положения равновесия маятника приведено к форме двоякопериодической краевой задачи на собственные значения и функции, например в виде уравнения (1.5) и краевых условий
и(90 + 2) = и(90), и'(90 + 2) = и'(90) (1.6)
где 90 — произвольная величина, в частности, 90 = -1. Условия (1.6) эквивалентны следующим [17—19]:
и (0) = и (1) = 0, ц = ц\е), и = и5(0, е) (1.7)
и (0) = и (1) = 0, ц = цс(е), и = ис(0,е) (1.8)
Соотношениям (1.7) отвечают нечетные решения (собственные значения и функции), а (1.8) — четные. Таким образом, требуется построить решения двух самосопряженных краевых задач на собственные значения и функции с условиями первого и второго рода на концах интервала, т.е. задачи типа Штурма—Лиувилля [14—19]. Отметим, что приведенная постановка нестандартна, поскольку параметр модуляции е не мал и входит в коэффициенты уравнений (1.5) сингулярным образом: коэффициенты становятся неограниченными для 9 = 0, 1 при е ^ 1. Эффективное численно-аналитическое решение требует, как отмечалось, разработки высокоточных быстросходящих-ся алгоритмов [17, 18].
В традиционных постановках величина е полагается малой, слагаемое 2££<р в уравнении (1.3) отбрасывается необоснованно, а специфические свойства количественного и качественного характера, присущие механической задаче, игнорируются (см. ниже). Обычно ограничиваются уравнением Матье, для которого получены фундаментальные результаты. В классических исследованиях построены частотные диаграммы Айнса—Стретта и разработан обстоятельный математический аппарат [2—8, 14, 15].
2. Приближенное аналитическое исследование краевых задач. Существенные различия решений для исходного уравнения (1.5) и уравнения Матье проявляются также при малых значениях параметра е, т.е. в рамках теории возмущений. Естественно, они усугубляются при увеличении e до значений порядка единицы, что подтверждается аналитическими и численными методами.
Будем строить искомые собственные значения и функции задач (1.5), (1.7) и (1.5), (1.8) в виде регулярных разложений по степеням е
ц *'с(е) = ц(0)*'с + ец(1)5'с + е У2)*'с +...
и*'сф,е) = и(О)*'с(0) + еи(1Кс(0) +... ^
Конечные условия при 0 = 0 и 0 = 1 должны выполняться тождественно по е, т.е. для всех функций и(')5,с(9) (/ = 0,1,...). Неизвестные ц(г)5'с, и(г)5'с находятся последова-
тельным элементарным интегрированием соответствующих неоднородных дифференциальных уравнений и применением альтернативы Фредгольма [2, 18].
На начальном шаге (i = 0, e = 0) решаются элементарные задачи; имеем нечетные и четные порождающие собственные функции и значения
ц С°Кc = (ли)2, u(n°)s = Asn sin nn 0
u(0)c = A°c cosnn0, Asn'c = const, n = 0,1, 2,...
гл ч /'Ч 'ЧЧ (1)s с (1)s,c
С помощью выражений (2.2) вычисляются искомые величины ц , u как решения неоднородных краевых задач; имеем уравнение и альтернативу Фредгольма
(2.3)
u + ц u = -ц u + (4n - ц )qu
^(1)s'cJ(«(0)s'c>2^9 = (4п2 - ^(0)s'c>J^(«(0)s'c)2^0; q - cos2n0
0 0
Подставляя для ц(0)s'c, u(0)s'c известные выражения (2.2), получим, согласно второму соотношению (2.3), искомые коэффициенты разложений для первых и последующих мод (резонансных зон, см. фигуру)
= +-п, = 0; n = 2, 3,...
u,(1)s = —3 A1 sin3n0, u,(1)c = —3 A1 cos3n0 1 16 1 16 1
u21)s = Bs2 sin2n0, u21)c = B2cos2n0; Bs2'c = const (2.4)
(1)s = 1 asisinn(n - 2)0 - sinn(n + 2)0Л
Un = An I 2 , 0ч2 , , ,,2 2 2 V.n - (n - 2) (n + 2) - n
(1)c _ 1 ac I cos n(n - 2)0 - cos n(n + 2)0 un _ ~ An I 2 2 2 2
2 ^n2 - (n - 2)2 (n + 2)2 - n
; n > 3
На фигуре представлен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.