МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2012
УДК 532.5.013:532.135
© 2012 г. |Д. В. ЛЮБИМОВ| , А. В. ПЕРМИНОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СЛОЯ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ
ЖИДКОСТИ
Исследована устойчивость стационарного плоскопараллельного течения слоя неньютоновской жидкости в поле тяжести по наклонной твердой поверхности. Показано, что наиболее опасными являются длинноволновые возмущения, распространяющиеся по свободной поверхности. Построены карты устойчивости таких возмущений на плоскости число Рейнольдса — гравитационный параметр. С увеличением гравитационного числа устойчивость течения в слое понижается. Отклонение слоя от вертикали стабилизирует движение.
Ключевые слова: неньтоновская жидкость, реология, наклонный слой, устойчивость, свободная поверхность.
Одно из первых описаний основных положений ламинарного движения пленок реологически сложных сред дано в монографии [1]. Проанализированы решения стационарных и нестационарных краевых задач течения и теплообмена. Для задания реологических свойств неньютоновских жидкостей авторами использовались две модели: степенная и Шведова—Бингама [2]. В [3] получено выражение для скорости стационарного безволнового режима движения пленки жидкости Шведова—Бингама и определено положение границы раздела фаз. Решена задача ламинарного волнового течения тонкой пленки вязкопластичной жидкости по вертикальной поверхности. Показано, что усиление пластических свойств подавляет волнообразование в пленке. В монографии [4] приводятся обобщенные постановки задач устойчивости плоскопараллельных вязкопластичных течений. Для течений Куэтта, Пуазейля и движения слоя по наклонной плоскости получены интегральные оценки устойчивости невозмущенного процесса деформирования.
В [5] для ньютоновской жидкости, на основании линейной теории показано, что стационарное течение пленки становится неустойчивым по отношению к плоским длинноволновым возмущениям для чисел Рейнольдса Яе > 1.25tga, где а — угол между вертикалью и наклонной плоскостью. В качестве характерного значения скорости в числе Рейнольдса выбрана скорость свободной поверхности пленки. Дальнейшее изучение поведения длинноволновых возмущений с учетом изменения толщины слоя было произведено в [6—8].
В большинстве работ, посвященных движению пленок вязкопластичных материалов, авторы используют разрывную реологическую модель Шведова—Бингама, которая не позволяет корректно единым образом описать сложное нестационарное движение пленки во всей области течения. В этом случае представляется целесообразным применять реологические модели, сохраняющие физически важное свойство вязко-пластичных сред — резкое уменьшение текучести при малых скоростях деформации, и являющиеся, в то же время, аналитическими. Этим требованиям удовлетворяет реологическая модель Уильямсона [2].
В [9—10] проведен анализ влияния поля тяжести и тангенциальных гармонических вибраций твердой поверхности на течение слоя жидкости Уильямсона по наклонной бесконечной твердой поверхности. Показано, что вибрации порождают заметное осредненное течение жидкости. Обнаружен эффект немонотонной зависимости средней скорости течения от частоты вибраций поверхности.
20
Фиг. 1. Зависимости вязких напряжений от скорости сдвига при одномерном сдвиговом течении для ньютоновской, A = 0 (1), певдопластичной, A = 10 Па • с, В = 1 с-1 (2), вязкопластичной, A = 10 Па • с, В = 10-4 с-1 (3) и бингамовской, A = 10 Па • с, В = 0 с-1 (4), жидкостей при = 0.5 Па • с
Цель данной работы — исследование устойчивости стационарного плоскопараллельного течения слоя неньютоновской жидкости в поле тяжести по наклонной твердой поверхности. Реологические свойства жидкости задаются уравнением Уильямсона.
1. Основное течение. Опишем стационарное течение пленки жидкости Уильямсона по наклонной твердой поверхности, следуя работе [10]. Пусть имеется наклонный слой жидкости толщиной h, ограниченный с одной стороны свободной поверхностью, а с другой твердой плоскостью, на которой расположим координатные оси x и у. Ось z направлена нормально к подложке, плоскость x — z вертикальна. Слой находится в поле тяжести, угол наклона слоя а отмеряется от вертикали.
Компоненты тензора вязких напряжений жидкости Уильямсона определяются реологическим соотношением [2]
V в+4Т2
+ ц „
Щ +дУ1 дх, дхI '
12 =1 е ¡,е
(1.1)
Здесь A и B — реологические параметры жидкости, — динамическая вязкость жидкости при больших скоростях сдвига, т у — компоненты тензора вязких напряжений, еу — компоненты тензора скоростей сдвига. Если A = 0, то модель (1.1) переходит в классическую ньютоновскую.
На фиг. 1 приведены реологические кривые, соответствующие уравнению Уильямсона. Видно, что при В ^ 0 (3) и т < А скорость сдвига стремится к нулю. Медленное течение жидкости, в этом случае, характеризуется очень большой вязкостью. При
т У =
т > А жидкость течет, имея вязкость ц^ и динамический предел текучести A [11], а скорость сдвига линейно растет с увеличением приложенных напряжений, что характерно для вязкопластичных сред. Области течения, в которых выполняется условие т < А, назовем квазитвердыми зонами. В пределах квазитвердой зоны наблюдается пренебрежимо слабое по сравнению с жидкой зоной сдвиговое течение. В отличие от модели Бингама, модель Уильямсона в вязкопластичном пределе не дает четко ограниченной жесткой зоны, в которой полностью отсутствует сдвиговое течение, однако сохраняет физически важное свойство вязкопластичных сред — резкое уменьшение текучести при малых скоростях сдвига. Замена жесткой зоны на квазитвердую в рамках модели Уильямсона при описании вязкопластичных сред позволяет исключить постановку дополнительных условий на границе раздела зон.
Выбирая масштабные множители Н, АН/ , А, рН2 /соответственно для пространственных координат, скорости движения жидкости, напряжений и времени, запишем уравнения движения жидкости в поле тяжести в безразмерном виде
^ + ВЬ (УУ) V = - Ур + Divт + Ю + ] Gtga, ШуУ = 0
- -( 1 +1!в,, ВЬ = АрН2, G = р^Нс08а, ь - ^ (1'2)
\Ь +Ы12 ) А А
где ВЬ — безразмерный динамический предел текучести; G — гравитационный параметр, характеризующий влияние поля тяжести, G = 0 соответствует горизонтальному слою либо отсутствию поля тяжести; Ь — реологический параметр; р — плотность жидкости; 1 и \ — единичные векторы, направленные вдоль осей x и z, соответственно; предельное напряжение сдвига равно 1.
Критерий ВЬ определяет влияние вязкопластичных свойств жидкости на устойчивость стекания пленки. Произведение динамического предела текучести и гравитационного параметра дает число Рейнольдса Яе = ВЬ • G = ирН/, где и = рgН2cosa|— характерная скорость стекания слоя.
В случае плоскопараллельного стационарного течения вдоль оси x все величины зависят только от координаты z. Уравнения (1.2) и граничные условия на твердой стенке и свободной поверхности запишутся в виде
т< = -0, т = +^ 1° (1.3)
ио = 0 ( = 0), Т = 0 ( = 1)
где и0 — компонента скорости стационарного течения жидкости вдоль оси x, подстрочные буквенные индексы здесь и далее обозначают производные по соответствующим координатам и времени. Решение системы (1.3) дается выражением
и0 = / (/1 - /)-17 (2/0 + 4Ь + ^ - /1)-G 1п [ -
/0 + /
/ + /1 + Gz) (1.4)
/0 = (1 - Ь - G), / = ^1+2Ь-20+/}+Ь)), /1 = /7о7"//Г+с7)
В предельном случае Ь ^ ж (А = 0) из (1.4) получаем полупараболический профиль скорости, имеющий место в ньютоновской жидкости. При Ь ^ 0 (В ^ 0) движущийся слой разделяется на зону вязкого течения, примыкающую к твердой подложке, и квазитвердую зону, расположенную вблизи свободной поверхности. В пределах ква-
зитвердой зоны скорость сдвига стремится к нулю. Жидкость приобретает вязкопла-стичные свойства.
2. Устойчивость основного стационарного течения. Рассмотрим возмущенное течение V = и о + и, р = ро + р. После подстановки V, р в (1.2) и линеаризации по возмущениям исходная система в проекциях на оси координат будет иметь вид
щ + ВЪ(щих + ) = -рх + ТоАи - т (ж^ + и%%) - Тз (м>х + и%)
V, + ВЬщоих =-ру - 1 т4 (у + ) (2 1)
+ ВИио(х = -р1 + ТоА( - Т1 (хх + и^х) - Т4(г, Шуи = 0
То + 1! , Т1 = , тз , Т4 =
{ь + uоz ) (Ь + ) (Ь + ) (Ь + )
где и, и, ( — x, у, z компоненты возмущений поля скорости, соответственно.
На твердой границе слоя и = и = ( = о. На свободной поверхности, при z = 1 + 0(х, у), выполняется условие для вязких напряжений и кинематическое условие. В силу малости возмущений свободной поверхности С эти условия можно выписать для невозмущенной поверхности при % = 1
£, + ВЬио£ х = ВИ(, и% + (х + ио% С, = о, и % + (у = о
р + роЛ =21+Ь-сЛС ь
где безразмерный параметр а = а'/АН характеризует поверхностное натяжение жидкости, ст' — размерное поверхностное натяжение.
Ограничимся рассмотрением плоских нормальных возмущений
и = у (%) ехр (¡кх + Х,), и = ф (%) ехр (¡кх + Х,), ( = (%) ехр (¡кх + Х,) р = д (%) ехр (кх + X,), £ = ? (%) ехР (¡кх + X,)
Подставим эти выражения в уравнения (2.1) и граничные условия, исключив из последних амплитуду возмущений свободной поверхности
(2.2)
(то - т1) |гг - т3|% - ((то + т1) к2 + X + ;кВЬио)| - (гкт3 + иогВЬ)% - ¡кд = О = -к (то + т1) |% + гкт4| - ((то - т1) к2 + X + гкВЬио)%, % = -гк|
¥ = ^ = о (% = о)
(X + ¡кВЪио)|% = —(ио^ВЪ + ¡кХ — к2ВЪио)^ (% = 1) (2.3)
- [ ро% — °к 2]| % — [;кро% — юк+ 2;к ио%% | + = о (% = 1)
Ь
Задача устойчивости (2.2), (2.3), к которой необходимо добавить выражение (1.4) для основного течения жидкости, содержит четыре безразмерных параметра ВЪ, О, а, Ь. При толщине слоя 1 см характерные значения безразмерных критериев для нефти и нефтепродуктов, реология которых хорошо описывается уравнением (1.1), будут сле-
4 2 — 2 2
дующими: ВЪ да (о + 1о ),в да (о + 1о ), а = (1о + 1о ). Для получения этих оценок использовались физические параметры нефти и нефтепродуктов [11]. Расчеты производились для двух значений реологического параметра Ь = 1 и 10-4, соответствующих псевдопластичной и вязкопластичной средам.
Bh
1000 =
10 =
0.0001
0.01
Фиг. 2
G
100
10
2 4
Фиг. 3
Фиг. 2. Зависимость динамического предела текучести нейтральных возмущений от волнового числ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.