МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <1 • 2008
УДК 532.529
© 2008 г. С. А. ВОРОНИН, А. Н. ОСИПЦОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ ДИСПЕРСНОЙ СМЕСИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Рассматривается гидродинамическая устойчивость течения разреженной дисперсной смеси в равновесной по скоростям фаз области пограничного слоя с существенно неоднородным распределением концентрации частиц. Для описания двухфазной среды использована модель взаимопроникающих континуумов с несжимаемой вязкой несущей фазой. В межфазном обмене импульсов кроме силы Стокса учитывается подъемная сила Сэфмана. На основе численного решения краевой задачи для модифицированного уравнения Орра - Зоммерфельда проведен анализ кривых нейтральной устойчивости и исследована зависимость критического числа Рейнольдса от определяющих параметров. Показано, что учет неоднородности концентрации частиц в основном течении и подъемных сил Сэфмана, проведенный впервые, существенно изменяет границы устойчивости ламинарного течения в двухфазном пограничном слое.
Ключевые слова: устойчивость, пограничный слой, дисперсная смесь, частицы, уравнение Ор-ра - Зоммерфельда, сила Сэфмана.
Задача о гидродинамической устойчивости плоскопараллельного потока вязкой запыленной среды была впервые рассмотрена в [1]. В ней в предположении стоксовского закона сопротивления, однородного распределения частиц и отсутствия скоростного скольжения фаз в основном течении для амплитуды функции тока возмущенного движения несущей фазы было выведено модифицированное уравнение Орра-Зоммерфель-да. Это уравнение отличается от классического присутствием комплексного аналога профиля скорости основного течения. Асимптотический анализ нейтральных кривых для плоскопараллельных двухфазных течений, проведенный в данной постановке в [1, 2] для малоинерционных и очень инерционных частиц при однородной концентрации частиц в основном течении, показал, что первые дестабилизируют (т.е. понижают критические числа Рейнольдса), а вторые стабилизируют поток.
В литературе имеется значительное количество работ, в которых в линейной постановке, близкой к описанной выше, численно исследуются нейтральные кривые для различных плоскопараллельных запыленных потоков и различных значений параметра инерционности и массовой концентрации частиц. Так, устойчивость двухфазного течения в плоском канале анализировалась численно в [3-5]. Характеристики устойчивости свободных двухфазных течений исследовались в [6, 7] (слой смешения), [8] (струи и следы), [9] (струи). Результаты расчетов в перечисленных работах показывают, что наличие даже небольшой (менее 10%) массовой концентрации стоксовых частиц, равномерно распределенных в основном течении, может значительно (на порядок) изменить границы области устойчивости плоскопараллельных вязких потоков, причем наиболее существенно влияние частиц сказывается на течениях, ограниченных твердыми стенками. В течении Пуазейля наибольший стабилизирующий эффект оказывают частицы с длиной скоростной релаксации порядка ширины канала.
В работах [5, 8, 10] постановка Сэфмана модифицирована с учетом неоднородности концентрации частиц в основном течении. Были рассмотрены модельные профили концентрации в виде гауссовых кривых с различными положениями максимумов. Наличие
неоднородности концентрации частиц в основном течении приводит к новым качественным эффектам. Так, течение Куэтта, абсолютно устойчивое в чистом и равномерно запыленном газе, становится неустойчивым начиная с некоторого критического значения максимума концентрации частиц [10]. Устойчивость двухфазного течения в канале существенно зависит от положения максимума концентрации относительно так называемого критического слоя (где скорость основного течения совпадает со скоростью волны Толлмина - Шлихтинга). В цитируемых работах также показано, что наибольший стабилизирующий эффект имеет место, когда максимум концентрации частиц совпадает с положением критического слоя, а при некоторых условиях возможно разделение области неустойчивости (в плоскости "волновое число - число Рейнольдса") на две несвязные подобласти, в интервале между которыми течение устойчиво к любым двумерным возмущениям. В работах [11, 12] рассматривалась устойчивость модельных двухфазных течений со ступенчатыми профилями концентрации частиц в основном течении.
Устойчивость однородно запыленного пограничного слоя с профилем скорости Бла-зиуса исследовалась [13, 14] в постановке, близкой постановке [1]. На основании численных расчетов нейтральных кривых было показано, что наибольший стабилизирующий эффект оказывают частицы с длиной скоростной релаксации порядка локальной толщины пограничного слоя, а малоинерционные частицы дестабилизируют течение. Из-за возникающей в модифицированном уравнении Орра - Зоммерфельда особенности, обусловленной наличием частиц, появляется разрыв в зависимости скорости нарастания возмущений от волнового числа при фиксированных числе Рейнольдса и параметре инерционности частиц. Разрывы имеют место только в устойчивой области спектра и не влияют на вид нейтральной кривой.
В работах [13, 14] были оставлены без внимания два очень важных обстоятельства. Во-первых, в межфазном взаимодействии не учитывались подъемные силы, хотя еще в [15] было показано, что учет подъемных сил Сэфмана приводит к появлению неустой-чивостей даже в чисто сдвиговом течении дисперсной смеси, а в [16, 17] отмечалось, что в пограничных слоях влияние сил Сэфмана очень велико даже для мелких частиц размером несколько микрон. Во-вторых, при анализе устойчивости пограничного слоя исходное распределение концентрации частиц предполагалось постоянным, хотя в работах [16, 18] было продемонстрировано, что в области неравновесного по скоростям фаз течения происходит переход от однородного к существенно неоднородному профилю концентрации частиц, вид которого зависит от соотношения сил Стокса и Сэфмана. Для "мелких" частиц характерно формирование профиля концентрации с монотонным увеличением концентрации частиц в направлении стенки, в то время как в случае "крупных" частиц в квазиравновесной зоне пограничного слоя формируется профиль концентрации с максимумом на внешней границе пограничного слоя. В настоящей работе постановка задачи устойчивости двухфазного пограничного слоя развита на случай учета неоднородностей концентрации частиц в основном течении и подъемных сил Сэфмана в межфазном взаимодействии и проведен анализ влияния указанных факторов на границы устойчивости ламинарного режима.
1. О модели дисперсной смеси и роли различных сил в межфазном взаимодействии. Для описания движения гетерогенной среды принята двухконтинуальная модель [19]. Смесь состоит из вязкой несжимаемой несущей фазы и дисперсных частиц. Частицы -сферы одинакового радиуса о, массы т, их объемная концентрация мала т5 ^ 1, эйнштейновская поправка к вязкости несущей фазы не учитывается. Несмотря на малость объемной доли частиц их массовая концентрация считается конечной: а = mNs/р ~ 0(1), здесь N2 - характерная числовая концентрация частиц, р - плотность несущей фазы. Это условие может быть достигнуто в случае малости отношения плотностей несущей фазы и материала частиц. Рассматривается диапазон размеров частиц, для которого можно пренебречь броуновским движением (следовательно, в среде частиц отсутствует тензор напряжений) и принять континуальный характер обтекания частиц несущей фазой.
Числа Рейнольдса обтекания частиц, вычисленные по относительной скорости, считаются малыми: Res = p|u - us|o/|J. < 1. Здесь и далее индекс s относится к параметрам дисперсной фазы, ц - динамическая вязкость несущей фазы.
Поскольку ниже будет рассмотрена задача линейной устойчивости стационарного течения дисперсной смеси в квазиравновесной по скоростям фаз области пограничного слоя, проведем анализ важности учета различных составляющих межфазной силы для рассматриваемых условий. Квазиравновесная область пограничного слоя расположена на расстояниях от передней кромки L > lv [16, 18], где lv = тЦ/бпоц - длина скоростной релаксации фаз при стоксовском законе сопротивления частиц, U0 - характерная скорость несущей фазы (скорость внешнего потока).
Основные составляющие силы межфазного взаимодействия в рассматриваемых условиях таковы:
fst = 6 лоц( u - Us) (1.1)
„ 2 з d, . „ 4 зdu
ivm = 3npOdt(U - Us), fA = 3Пр! d
fM = лро3[(u - Us)X w], fSaf = j6.46o2(u - Us) /цр
2— \d(u - us) dt, fBB = 6ро Vnvj
dt
Jt-h
Здесь: - сила присоединенных масс, fA - сила Архимеда, fM - сила Магнуса [20] (ш - угловая скорость вращения частицы), fSaf - сила Сэфмана [21] (орт j перпендикулярен направлению потока), fBB - сила Бассе - Буссинеска [22].
Оценим величины этих сил по отношению к силе Стокса для нестационарного течения, слабо отклоняющегося от стационарного течения в квазиравновесной области пограничного слоя. Для этого введем характерные масштабы величин: 5 - толщина пограничного слоя в рассматриваемой области, Ь - расстояние от начала пограничного слоя, и0 - скорость на внешней границе пограничного слоя, У0 - масштаб нормальной скорости фаз в пограничном слое, и1 - масштаб рассогласования продольных и поперечных компонент скоростей фаз на рассматриваемом линейном этапе роста отклонений решения от стационарного течения (поскольку возмущения скоростей фаз не должны выходить за рамки применимости погранслойного приближения, положим и1 ~ У0 ^ и0), масштаб времени Ь/и0. В силу уравнения неразрывности имеем
5 Уо 1 Р и0 Ь
5 ~ т-0 ~ -1= < 1, Яеь = 0-
Ь ио Ь ц
Предполагая также, что угловая скорость вращения частицы имеет порядок завихренности несущей фазы ю ~ и0/5, получаем оценки порядка величин различных сил по отношению к силе Стокса
Ifk _ 2 f!? IfAi _ 2 f!^2 lR~ Ifumi _ 1 f!^2
I fst| x ~ 9 W ' | fsj y ~ 91 5j | fst|~ 9
(1.2)
1/4
| 1 вв\ _ 1 О \Ыу _ 1 Го^ \ 1 Saf \ У _ 646О_
I fsí\ п5, \ fsí\ у 61 5J ^ \ fsí\ у 6п 5Ке-
Анализ выражений (1.2) показывает, что при учете конечности размера частицы по отношению к толщине пограничного слоя главный вклад вносит сила Сэфмана, осталь-
0
ные силы - малые более высокого порядка. Поэтому ниже в межфазном взаимодействии буде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.