ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Мочалин А.А.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ОТ НЕРАВНОМЕРНОЙ РАДИАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
На базе полубезмоментной теории В.З. Власова рассматривается задача об устойчивости цилиндрической изотропной оболочки переменной вдоль образующей толщины при действии осесимметричного изменяющегося вдоль оси оболочки радиального давления. При одном соотношении изменения толщины и давления получено точное решение для нахождения одной из величин в законе изменения давления, при которой происходит потеря устойчивости оболочки.
Исследования устойчивости оболочки от действия неравномерного давления, по-видимому, начинаются с работ Б.О. Элмроса [1] и В.И. Моссаковского [2]. Решение некоторых задач для неоднородных оболочек с переменной радиальной нагрузкой имеются в работах [3]. Но в них решались задачи отдельно от влияния переменности толщины оболочки и отдельно от действия переменной нагрузки. Рассмотрим задачу о получении зависимостей для расчета критического давления с учетом неоднородности оболочек и нагрузок.
В линейной теории цилиндрических оболочек широкое применение нашла полу-безмоментная теория В.З. Власова [4], учитывающая особенности напряженного состояния оболочек, длина которых находится в пределах В < I < 8В, где В — диаметр оболочки, I — ее длина. В основе этой теории лежат статическая и геометрическая гипотезы, позволяющие существенно упростить уравнения, описывающие состояние устойчивости оболочки. Считается, что удлинение в окружном направлении и углы сдвига в срединной поверхности равны нулю, полагаются равными нулю перерезывающая сила и изгибающий момент в осевом направлении, а также крутящий момент.
Такого же результата, что и с помощью гипотез В.З. Власова, можно достигнуть, применяя менее сильный, но более глубокий и общий принцип [5], заключающийся в следующем. В длинной цилиндрической оболочке все функции, описывающие напряженно-деформированное состояние, вдоль образующей цилиндрической оболочки изменяются значительно более плавно, чем в направлении направляющей. Поэтому производные по продольной координате намного меньше, чем по окружной координате, и первыми по сравнению со вторыми можно пренебречь.
Однако из-за наглядности и простоты выкладок будем использовать подход, предложенный В.З. Власовым. Учитывая допущения этой теории, уравнение совместности деформаций запишем в виде
4 2 2
Я ^ + = ^, (1)
4 Я 2 2
ду ду дх
а уравнения равновесия после несложных преобразований можно записать одним уравнением вида
4 2 2
д М2 1 д2М2 д2Т Я--- +--^ + —^
ду Я ду дх
р р = - д——1 + д—2 - Я д —-' л л ^ 5
дх ду
ду
где х — координата, откладываемая по образующей; у — координата, откладываемая по дуге поперечного круга цилиндра.
Соотношения упругости с учетом допущений полубезмоментной теории В.З. Власова запишем в виде Т1 « Eh £1, M2 = Dк2 .
Введем новые переменные * = х/1, 9 = у/Я (I — длина оболочки) и функцию Ф соотношениями
u = -
1 д3Ф
l д *д 92'
и =
2
1д2 Ф
Я
9
, =
2 Я
1 4Ф
£1 = -
94
1 д4 Ф
222 I д *2д92
(
Я
д Ф + 5_Ф
^д94 д96
т = _ЕН д Ф
1 ,2 „ 2 1 „ 2,
Г д * д 9
М2 = -
D
Я
64
д6 ф + 5_ф
^д96 д9
(3)
Подстановка соотношений (3) в уравнение (1) тождественно удовлетворяется, а
подставляя их в уравнение (2), приходим к следующему уравнению: „ „0 0
д *
д2 Ф д *2.
Dl
ЕЯ
(
ООФ + Цр*^9 d9 = 0,
о о
о* 1 д—1 , 1
где Р* =---+ -
I д * Я
——2 - Щ , а О = £-1
д 9 д 92 У д 92
■ + д22
92
(4)
дифференциальный оператор
В.З. Власова.
Уравнение (4) в случае воздействия переменного осесимметричного внешнего давления, изменяющегося вдоль оси оболочки по закону q = примет вид
д*
К%)
д2 Ф д *2]
- г
г- 2 3 2 2 3 ■
г(к2 - 1) —оФ(*) h0(к - 1)/3(*)
Е
12Я3(1 - V2) J
Ф = 0,
(5)
. к1 Я
где А = —4 — , q0 — параметр, подлежащий определению.
Уравнением (5) будем пользоваться при исследовании устойчивости цилиндрических оболочек средней и большой длины. Его следует интегрировать при граничных условиях, зависящих от способа закрепления торцов оболочки.
Представляя функцию Ф(*) в виде Ф(*) = Х(*)еи подставляя ее в уравнение (5), применяя метод ВКБ, получим систему уравнений для определения функций Х(*)
и у(*).
Решение уравнения (5) с асимптотической погрешностью порядка ^0/Я запишем в виде
Х(*) = [ И(*) ~3/8 ]/(*) ^[С^п hАVо(*) + С20С8 h +
+ С38т Ау0 (*) + С4сс8 Ау0(*)],
^0 (*) = |и1/4(г) dz, И(*)
2 3 2 2 3
(к2 - 1)—0ф(*) ^(к2 - 1)/3(*)
Е
12Я3( 1 - V2) J
1_
/( * )'
к = -
2
2
Удовлетворяя граничным условиям, получим систему уравнений для определения постоянных интегрирования С1 (; = 1, 2, 3, 4), а равенство нулю ее определителя приводит к характеристическому уравнению.
Рассмотрим два способа закрепления краев оболочки, которым соответствуют следующие граничные условия [6]:
и = 0, и = 0 при £ = 0, £ = 1 или
Х(£) = 0,
йХ( £ )
й £
0 при £ = 0, £ = 1.
в случае жесткого закрепления краев и и = 0, Т1 = 0 при £ = 0, £ = 1
или
Х(£) = 0, йХ(£ = 0 при £ = 0, £ = 1, й £
если края оболочки свободно оперты.
Решения характеристического уравнения имеют вид: А,у0(1) = 4,73 для жесткого закрепления и А,у0(1) = п в случае свободного опирания краев,
где
1 г 2 ¥0( 1) = \ -
3 ,, 2
■2 „2.
(- -1)?0Ф(£) К,(- -1) Г (£)
Е/(£)
12Я3( 1 - V2)
1/4
й£.
Если ф(£) = (1 + а£) 6, а/(£) = (1 + а£) 2, то выражение у0(1) примет вид ¥0 (1) =
Г(. - - 1 ) <?р - Н 3 ( к 2 - 1 ) 2 1п ( 1 + а )
Е
12Я3( 1 - V2)
После проведения несложных преобразований и минимизации по к2 (к2 > 1 для оболочек средней длины), получим формулу для вычисления критического давления
д* = 4,73К(а) Е( V Я)
5/2 Я Тб
19 (1 - V2 )3/4
для жесткого закрепления краев и
д*
5/2 Я
пК(а)Е(Н0/Я) ' -
Тб
I 2 3/4
1 9 (1 - V2) 7
в случае их свободного опирания.
Рассмотрим точное решение уравнения устойчивости (5). Пусть оболочка находится под действием неравномерной радиальной нагрузки д = д0(1 + а£)-6. Компонента нагрузки дп в этом случае определяется выражением дп = — д0Як2(1 + а£)-6, где параметр д0 подлежит определению.
0
Выбирая функцию Ф в форме Ф = ^ Xk(£) sin k9 (где к — число волн вдоль окруж-
к = 1
ности оболочки при потере устойчивости) и задавая закон изменения толщины в виде h(£) = h0(1 + а£)-2, приходим к уравнению
d
(1 + а£)2 Ц
4 -6
-14(1 + а£) 6X = 0,
4 4 4 2 2 24
4 д0к I 2 I Н0(к - 1) к где л4 = -(к — 1)----; индекс к опущен.
ЕЯ3Н0 12Я (1 - V2)
Это уравнение после введения новых переменной I = 1п(1 + а£) и функции Ж(г) со- г
отношением X = Ж(1 + а£) е можно привести к дифференциальному уравнению четвертого порядка с постоянными коэффициентами, которое запишем в виде
W;4) - 10 ^(3) + 25 + 89 W -3 6 54
(
1- - Í451 w = о.
va4 1296^
Решение этого уравнения будем искать в виде Ж = е8г. Результат подстановки приводит к характеристическому уравнению
(52 + а 5 + с )(52 + Ь5 + й) = 0. а величины а, Ь, с, й определяются из следующих соотношений:
4
г 10 , , , , 25 , , , 89 , 145 л4
а + Ь =--, аЬ + с + й = —, Ьс + йа = —, сй =---.
3 6 54 1296
а
Из значения
5
25а2 т V600а4 + 129614 , _ 25а2 ± л/600 а4 + 129614
а = Ь = —, с = -—----, й .
3 36а2 36а2
Выражение для функции Х(£) примет вид
Х(£) = (1 + а£)2/3 [ ^п (51п (1 + а£)) + С2сои (51п (1 + а£)) + + ^п Н (51п (1 + а£)) + C4cos Н(5 1п (1 + а£))],
где 5 = 4/600а4 + 1296Л4/6а .
Решение задачи проведем для двух видов граничных условий: жесткого закрепления и свободного опирания краев оболочки.
В случае жесткого закрепления краев граничные условия имеют вид [6]
u = 0, и = 0 при £ = 0, £ = 1 или
Д£) = 0, йX£ = 0 при £ = 0, £ = 1. й £
эи
Если края оболочки свободно оперты, то следует удовлетворять условиям вида и = 0, Т1 = 0 при £ = 0, £ = 1
Х(£) = 0, = 0 при £ = 0, £ = 1.
й £2
Подчиняя общее решение уравнения граничным условиям и требуя совместности системы однородных уравнений, получаем соотношения для определения собственных значений в форме: 1 — ео8(б1п(1 + а)) = 0 для жесткого закрепления и 8ш(б 1п(1 + а)) = 0 в случае свободного опирания краев.
Для очень длинных оболочек ^у ^ 0^ имеем, независимо от способа закрепления
краев, величину параметра д0 в виде:
?0 = [Ек1(к2 - 1)]/Я312(1 - V2).
После минимизации по к2 (к2 > 1 для оболочек средней длины) получаем формулу для вычисления критического давления
?0* = Е^Р0( К/К)5/2 у Я 2 (6)
1 9(1 - V2) 7
„ ( 4,73а ^4 75 4 „ ( па ^4 75 4
где р0 = —----а в случае жесткого закрепления, р0 = ---а
Н0 V 1п (1 + аУ 162 у Р 'Н0 V 1п (1 + а/ 162
для свободного опирания краев.
Формулу (6) можно переписать для жесткого закрепления краев в форме
д* = 4,73ЕК(а)( й0/У)5/2 у ^
1 2 3/4'
1 9(1 - V2) 7
где К(а) « -а-, а для свободного опирания торцов, соответственно, в виде
1п (1 + а)
д* = пЕК(а)( Vя)5/2 ^-
1 9 (1 - V2) 7
Значения коэффициента К(а) для некоторых значений а приведены в таблице
или
а -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
К(а) 0,750 0,798 0,847 0,888 0,950 1 1,049 1,093 1,136 1,173 1,20
Выводы. Значения критического давления неоднородной цилиндрической оболочки под действием неравномерного давления, изменяющегося по закону изменения жесткости, пропорциональны критическому давлению оболочки постоянной толщины с коэффициентом пропорциональности К(а), и при увеличении отношения толщин Н1/Н0 на концах оболочки критическое давление уменьшается, а при его уменьшении критическое давление увеличивается.
Значения коэффициента Ща), полученные в результате точного решения, практически не отличаются от него в приближенном решении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Элмрос Б.О. Выпучивание цилиндрической оболочки, подверженной действию неравномерного внешнего давления // Прикладная механика. Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. № 4. М.: Изд-во ин. лит., 1962. С. 27-31.
2. Моссаковский В.И., Андреев Л.В., Зюзин В.А. Некоторые вопросы устойчивости цилиндрической оболочки под действием неравномерного давления // V Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. Тезисы докл. М.: Наука, 1965. С. 47-51.
3. Антоненко Э.В., Хлопцева Н.С. Устойчивость цилиндрической оболочки пере
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.