УДК 517.913
УСТОЙЧИВЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ "ВОКРУГ" КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ © 2010 г. Б. Б. Крейсман
Астрокосмический центр Физического института РАН, г. Москва Поступила в редакцию 06.11.2008 г.
Методика генерации пространственных периодических решений ограниченной круговой задачи трех тел из периодических орбит плоской задачи использовалась для семейств орбит вокруг коллинеарных точек либрации ^ и Ь2. Развивая семейства, полученные при резонансе 1 : 1, мы получили устойчивые решения как в системе Земля—Луна, так и в системе Солнце—Земля. Конечно, понятие "вокруг точки либрации" весьма условно; полученные орбиты становятся больше похожими на орбиты вокруг меньшего притягивающего тела. Дальнейшее развитие семейства орбит "вокруг" точки либрации Ь2 в системе Солнце—Земля позволило найти орбиты, удовлетворяющие новым, существенно более жестким ограничениям по охлаждению космического аппарата проекта Миллиметрон.
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа является продолжением публикаций [1]—[4] и использует описанные в них обозначения и алгоритмы. Напомним важнейшие из них, основанные на публикациях [5]—[14].
Пусть две материальные точки с массами М1 и М2 движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс с угловой скоростью О под действием взаимного ньютонианского притяжения, а третье тело имеет пренебрежимо малую массу. Проще всего уравнения движения третьего тела выглядят во вращающейся (синодической) системе координат в безразмерной форме. Начало координат находится в барицентре притягивающих тел, ось Х1 направлена от тела меньшей массы М2 к телу большей массы. Система вращается против часовой стрелки с угловой скоростью О вокруг оси Х3; в качестве единицы времени берется 1/0, расстояние между телами — Я, единицы массы — Мг+М2. В этой системе притягивающие тела неподвижны и имеют координаты (т2, 0, 0) и (—т1, 0, 0), где т1 и т2 — их безразмерные массы, тх = Ы1/(Ы1 + М), т2 = М2/(М1 + М2).
Для системы Земля—Луна используется т2 = = 0.0121505816234336, для системы Солнце— (Земля + Луна) т2 = 0.0000030404235885.
Функция Гамильтона Н(х) вычисляется по формуле:
тт t 2 2 2 mx m2
H — — (X4 + X5 + Хб ) + %2 X4 Xj X5 ,
2 rx Г2
r\ — (xj - m2)2 + x2 + X3, r 2 — (xj + mxf + x2 + x3,
где г1 и г2 — расстояния до притягивающих тел. Уравнения движения имеют вид:
dx
dt
= JH' (x),
Здесь х — шестимерный вектор, компоненты которого хки х3+к, к = 1, 2, 3, — канонически сопряженные (координаты и импульсы), Н' (х) — шестимерный вектор — градиент функции Гамильтона.
Матрица шестого порядка J имеет вид:
J =
О3 E;
-E3 03
где E3 и 03 — единичная и нулевая матрицы третьего порядка.
Первых интегралов, отличных от интеграла энергии H(x) = const, нет и задача не интегрируется в квадратурах. Исторически принято интеграл энергии записывать в виде -2H(x) = C, где C называется константой Якоби.
1. ВЫХОД ИЗ ПЛОСКИХ СЕМЕЙСТВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
Пусть известно некоторое периодическое решение х(?) = Хд(?), называемое далее опорным, в окрестности которого функция Гамильтона Н по крайней мере дважды дифференцируема. Рассмотрим возмущенное движение х(?) = Хо(0 + у(0). Подставляя его в уравнения движения, разлагая правые части в ряд Тейлора по у(?) и отбрасывая члены разложения сте-
Рис. 1
пени выше первой, получаем уравнения возмущенного движения в первом приближении:
^ = гач^у,
си
называемые уравнениями в вариациях Пуанкаре.
Они линейные, с зависящими от времени коэффициентами. Решение с начальными условиями уСО) = Уо представимо в виде: у(0) = Y(/)y0, где Y(/) — матрица размерности 6, называемая матри-циантом. В случае периодичности решения с периодом Т матрица M, M = Y(T), называется матрицей монодромии.
Так как нет однозначных интегралов, отличных от интеграла энергии, то характеристический многочлен Р матрицы монодромии M имеет вид:
Р = (р-1)2( р4 + ах р3 + а2 р2 + ах р +1),
где а1 и а2 — вещественные коэффициенты, регулярно изменяющиеся при движении по семейству периодических решений. Значения этих коэффициентов можно выразить через след матрицы M и след квадрата матрицы M. Если ах + 8 < а2, то многочлен Р представим в виде:
Р = (р - 1 )2(р2 - 251 р + 1 )(р2 - 252р + 1).
Вещественные параметры ^ и определяют устойчивость решения. Если они оба по модулю меньше единицы, то третий-шестой мультипликаторы лежат на единичной окружности комплексной плоскости и решение орбитально устойчиво. Если
< 1, I = 1, 2, то преобразование соответствующего двумерного подпространства в окрестности реше-
ния за период сводится к деформации и повороту на угол ф1? cos ф,- = s.
При движении по семейству периодических решений такой угол может стать кратным 2 п, ф^ = = 2np/q,p и q — целые, и возможна генерация новых семейств периодических решений с периодом qT в этом подпространстве.
Несложными выкладками можно показать, что матрица монодромии M плоского решения состоит из клеток, соответствующих плоскому решению (первый, второй, четвертый и пятый столбец и такие же строки), и клеток, соответствующих третьей степени свободы (третий и шестой столбец и такие же строки). Далее мы полагаем, что параметр st соответствует плоскому решению, а s2 — вертикальному ответвлению. Если |s2| < 1, то порождаются два новых семейства пространственных орбит. Два направления выхода из симметричных плоских в пространственные орбиты периода qT дают векторы (y3, 0) и (0, y6). Если |s2| = 1, то имеем резонанс 1 : 1 или 1 : 2 и порождается только одно новое семейство.
2. СЕМЕЙСТВА ПЛОСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ВОКРУГ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ L2 И L1
Наиболее популярными решениями плоской ограниченной задачи трех тел во вращающейся системе координат являются 5 положений равновесия — точки либрации L1—L5. Мы ограничимся рассмотрением двух коллинеарных (лежащих на оси X1) точек L1 и L2 в системах Земля—Луна и Солнце—
УСТОЙЧИВЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ "ВОКРУГ" 4500
3000
1500 -
0 -
1500
— 3000 -
—4500
— 3000 —2000 —1000 0 1000 —1000 0 1000 2000 3000
X, тыс. км
Рис. 2
(Земля + Луна). Точка Ьх лежит между притягивающими телами, а точка Ь2 — за меньшим телом.
На рис. 1 даны образцы орбит вокруг точек Ь2 и Ьх в системе Земля—Луна. Орбиты изображаются во вращающейся геоцентрической системе координат, расстояние до Луны принято 384.4 тыс. км. Точки либрации Ь—Ь5 в этой системе имеют координаты (—448.914902, 0), (—326.380865, 0), (381.675397, 0), (—192.2, —332.9) и (—192.2, 332.9). Движение по ор-
битам совершается в обратном направлении, то есть по часовой стрелке.
На графиках вместо х1, х2, х3 используются обозначения X, У, £
На рис. 2 даны образцы орбит вокруг точек Ь2 и Ьх в системе Солнце—(Земля + Луна). Орбиты изображаются во вращающейся геоцентрической системе координат. Точка (0, 0) соответствует Земле. Солнце находится справа по оси Х на расстоя-
Таблица 1. Параметры периодических орбит вокруг ^ в системе Земля—Луна с резонансами 1—4 по вертикали
п а! а2 ^2 т с И 2 и Р /я
1 —333.256 —.751215 —321.182 —.985479 11.9114 3.17435 1 0 1/1
2 —362.393 —.347098 —305.108 —1.267285 17.1528 3.02139 1 0 1/1
3 —370.729 —.150899 —289.899 —1.332133 21.7989 2.97098 0 90 1/4
4 —372.414 —.090899 —284.244 —1.350419 23.1856 2.95929 —.5 120 1/3
5 —373.723 —.035230 —278.682 —1.367993 24.3971 2.94928 —1 180 1/2
Таблица 2. Параметры периодических орбит вокруг ^ в системе Земля—Луна с резонансами 1—4 по вертикали
п а 1 а2 ^2 Т С * 2 и р/ч
1 —458.608 — 1.062653 —435.347 —1.340699 14.8319 3.15212 1 0 1/1
2 —473.630 —.824385 —400.410 —1.810468 18.7183 3.01377 1 0 1/1
3 —485.540 —.783739 —393.226 —2.092035 22.4325 2.97326 0 90 1/4
4 —490.152 —.774880 —391.798 —2.190531 23.6748 2.96368 —.5 120 1/3
5 —494.677 —.767508 —390.714 —2.286176 24.8107 2.95572 — 1 180 1/2
Таблица 3. Параметры периодических орбит вокруг ^ в системе Солнце—(Земля + Луна) с резонансами 1—4 по вертикали
п а 1 а2 ^2 Т С ^ 2 и р/ч
1 1259.379 .537409 1669.9233 .069365 .4870 3.000831 1 0 1/1
2 465.0545 1.329501 2048.9594 —.409612 .6550 3.000247 1 0 1/1
3 272.6409 1.756650 2384.2905 —.503121 .8080 3.000062 0 90 1/4
4 234.0268 1.896285 2511.6489 —.526292 .8561 3.000018 —.5 120 1/3
5 204.4012 1.028324 2636.4145 —.547049 .8989 2.999981 — 1 180 1/2
нии одной астрономической единицы, равной 149597.870691 тыс. км. Точки либрации Ь2 и Ь1 имеют координаты (-1508.1381, 0) и (1497.1694, 0).
В табл. 1 и 2 представлены параметры периодических решений в системе Земля-Луна с резонансами 1-4 по вертикали. Во втором и четвертом столбцах указаны координаты точек пересечения оси Х (в тысячах км), в третьем и пятом скорость уу (в км/с), в шестом — длительность периода (в сутках), в седьмом — константа Якоби, в восьмом — параметр 52, в
девятом и десятом — соответствующие ему угол поворота и кратность резонанса р/ч.
В табл. 3 и 4 дано то же для системы Солнце— (Земля + Луна). Длительность периода — в годах.
Видно, что орбиты вокруг точек Ь2 и Ь1 не только почти симметричны относительно меньшего тела (Луны или Земли), но имеют качественно одинаковую структуру вертикальных резонансов. Мы исследовали семейства, порождаемые первыми строками каждой из четырех таблиц, и получили качественно
Таблица 4. Параметры периодических орбит вокруг ^ в системе Солнце—(Земля + Луна) с резонансами 1—4 по вертикали
п а 1 а2 ^2 Т С 5 2 и р/ч
1 — 1687.7907 —.06945 — 1260.005 —.542509 .4938 3.000826 1 0 1/1
2 —2065.0278 .404544 —456.7476 —1.342135 .6586 3.000245 1 0 1/1
3 —2394.9800 .495388 —266.1833 — 1.778930 .8094 3.000063 0 90 1/4
4 —2520.6111 .517548 —227.9728 — 1.922929 .8572 3.000019 —.5 120 1/3
5 —2643.6735 .537229 — 198.6977 —2.059492 .8999 2.999983 — 1 180 1/2
УСТОЙЧИВЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ "ВОКРУГ"
275
¿2 1.5 1.0 0.5 0
—0.5 —1.0 —1.5 —2.0 —2.5 —3.0
2.0 1.5 1.0 0.5 0
-0.5 1.0 1.5
-2.0 — 1.
008 —1.006 —1.004 —1.002 —1.000 —0.998
¿1
2.9998 3.0000 3.0002 3.0004 3.0006 3.0008 3.0010
С
Рис. 3
Рис. 4
У 800
400
0
400
— 800
£ 2000
1600 1200 800 400 0
—400
—600—400—200 0 200—600—400 — 200 0 200 —800—400 0 400 800
X
X
Рис. 5
У 800
400
0
400
— 800
£ 2000
1600 1200 800 400
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.