научная статья по теме УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЕВИ ДЛЯ ФЛУКТУАЦИЙ ПЛОТНОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА В ГРАНИЧНОЙ ПЛАЗМЕ ТОРСАТРОНА Физика

Текст научной статьи на тему «УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЕВИ ДЛЯ ФЛУКТУАЦИЙ ПЛОТНОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА В ГРАНИЧНОЙ ПЛАЗМЕ ТОРСАТРОНА»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2003, том 29, № 5, с. 413-423

^ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

И ХАОС

УДК 533.93

УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЕВИ ДЛЯ ФЛУКТУАЦИЙ ПЛОТНОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА В ГРАНИЧНОЙ ПЛАЗМЕ ТОРСАТРОНА

© 2003 г. В. Ю. Гончар, А. В. Чечкин, Э. Л. Сороковой, В. В. Чечкин, Л. И. Григорьева, Е. Д. Волков

ННЦ "Харьковский физико-технический институт" Поступила в редакцию 29.08.2002 г.

Окончательный вариант получен 14.11.2002 г.

Исследуются функции распределения флуктуаций ионного тока насыщения и плавающего потенциала, измеренных ленгмюровскими зондами в граничной плазме торсатрона У-3М. Показано, что эти функции распределения могут быть отнесены к классу устойчивых распределений Леви. Методом процентилей оценены параметры устойчивых распределений, а именно показатель Леви и масштабный множитель для различных положений зондов. Эти параметры являются количественными характеристиками интенсивности и перемежаемости турбулентности в граничной плазме торса-трона.

1. ВВЕДЕНИЕ

Известно, что турбулентность граничной плазмы, характеризуемая аномально высоким уровнем флуктуаций плотности заряженных частиц и флуктуаций электрического поля, играет определяющую роль в формировании аномальных потоков частиц и тепла из области магнитного удержания в замкнутых магнитных ловушках различного типа (см., например, [1, 2] и приведенные там ссылки). Это было подтверждено и в экспериментах на стеллараторе-торсатроне "Ураган-3М" (У-3М) [3, 4]. Значительное внимание в экспериментальных исследованиях уделяется анализу статистических свойств флуктуаций. Такие исследования важны для построения адекватных теоретических моделей турбулентности и аномального переноса. Действительно, в процедурах замыкания, используемых в теории плазменной турбулентности, фактически делается предположение о том, что статистические свойства флуктуационных процессов близки к свойствам гауссовского случайного процесса, что позволяет при выводе уравнений турбулентности выразить нечетные моменты флуктуаций через четные моменты высших порядков, которые затем расцепляются на парные по правилу расцепления для гауссовских случайных процессов (см., например, обзор [5]). Это предположение, в частности, подразумевает, что функции плотности распределения вероятностей Probability Density Functions (PDF) амплитуд флуктуаций имеют асимптотики, быстро спадающие при больших значениях флуктуаций. На качественном языке это означает, что большие амплитуды флуктуаций (например, величиной в несколько среднеквадратичных отклонений) встречаются

крайне редко. Между тем в экспериментах, проведенных на различных установках, в граничной плазме наблюдались флуктуации плотности и потенциала, временные реализации которых имеют "взрывную" структуру, т.е. содержат резкие пики или выбросы [6-9]. Такой характер случайных сигналов является следствием перемежаемости плазменной турбулентности. Из-за наличия выбросов PDF флуктуаций может значительно отличаться от гауссовской. Еще более отчетливо это свойство наблюдается в реализациях локального потока частиц в радиальном направлении [2, 9].

Для характеристики негауссовских свойств PDF традиционно используются значения третьего и четвертого моментов PDF или характеристики асимметрии и эксцесса [10]. Часто говорят, что эксцесс является мерой перемежаемости [5]. Представляет несомненный интерес и более детальная информация о PDF, позволяющая сделать вывод о принадлежности распределения к известным классам вероятностных законов, которые широко распространены в разноообразных приложениях. В [2] проведен детальный статистический анализ характеристик турбулентного потока частиц по данным измерений в плазме стелларатора Л-2М и модельной установки ТАУ-1 и сделан вывод, что PDF приращений локального потока могут быть описаны масштабными смесями гауссовских законов. В частности, в случае дрейфовой турбулентности PDF приращений описывается распределением Лапласа.

В данной работе исследуются PDF флуктуаций ионного тока насыщения (ИТН) и плавающего потенциала (ПП), измеренных ленгмюровскими зондами, помещенными в граничную плазму торсатрона У-3М. Как и при исследовании электро-

статической турбулентности в граничной плазме многих замкнутых магнитных ловушек (см., например, [11]), предполагалось, что вклад флукту-аций температуры электронов во флуктуации ИТН и ПП можно не учитывать и считать флуктуации ИТН и ПП пропорциональными флуктуа-циям, плотности и потенциала плазмы соответственно. С точки зрения вопросов, рассматриваемых в настоящей работе, это предположение не имеет принципиального значения. Проведенный анализ показывает, что регистрируемые флуктуации распределены по устойчивым законам Леви, существенной отличительной особенностью которых является наличие неэкспоненциальных медленно убывающих степенных асимптотик. По нашему мнению, эти наблюдения представляют интерес как для экспериментальных исследований флук-туационных процессов в других установках с магнитным удержанием плазмы, так и для построения новых теоретических моделей плазменной турбулентности и аномального переноса.

2. УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЛЕВИ.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ

Устойчивые вероятностные распределения, основы теории которых были заложены французским математиком П. Леви (Р. Ьёуу) [12], представляют собой замечательный класс вероятностных законов, важность которых обусловлена предельными теоремами теории вероятностей, сформулированными и доказанными в работах П. Леви и

A.Я. Хинчина (1936 г.), Б.В. Гнеденко (1939 г.) и

B. Деблина БоеЪИп) (1940 г.) [13]. Согласно этим теоремам, устойчивые распределения (и только они) являются предельными для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Это означает, что эти распределения (как и распределение Гаусса) естественно возникают, когда эволюция физической системы и/или исход случайного эксперимента определяются суммой большого числа случайных факторов. Именно поэтому устойчивые распределения Леви естественно рассматривать в качестве математических моделей для широкого класса измеряемых случайных процессов, которые не подчиняются гауссовской статистике. Важной особенностью устойчивых распределений является наличие у них степенных асимптотик, спадающих как |х |-1 - а при х —► где а - показатель Леви,

0 < а < 2. Отсюда следует, что моменты порядка q > а и, в частности, дисперсия расходятся1. Это

1 Заметим, что еще до П. Леви, начиная с работ В. Парето (1897 г.), распределения, обладающие степенными асимптотиками, получили широкое распространение в задачах экономической статистики (распределения Парето) [14]. В отличие от устойчивых, эти распределения не являются предельными в смысле предельных теорем теории вероятностей.

приводит к тому, что результаты, полученные путем обработки экспериментальных данных, могут оказаться чувствительными к объему выборки. Это обстоятельство требует известной осторожности при обработке экспериментальных данных и обсуждается в [15-17]. Один из методов, позволяющих оценивать параметры устойчивых распределений при работе с небольшими выборками, описан ниже в разд. 4.

Классическим примером устойчивого распределения, известного в физике еще до работ Леви, является распределение Хольцмарка [18, 19]. Ряд "родственных" примеров приведен в монографии [20], долгое время являвшейся единственной монографией в мировой литературе, целиком посвященной устойчивым законам. Разнообразные примеры из физики, финансовой математики, биологии, генетики, геологии собраны в недавно вышедшей монографии [21].

Предельные теоремы теории вероятностей и замечательные свойства устойчивых вероятностных распределений служат математическим фундаментом движения Леви, которое представляет собой тип случайного блуждания, являющийся естественным обобщением броуновского движения. В физике интерес к движению Леви был обусловлен задачами аномальной диффузии, в которых квадрат смещения возрастает со временем г не как линейная функция времени (закон обыкновенного броуновского движения), а, напротив, либо медленнее г (субдиффузия), либо быстрее г (супердиффузия). В применении к явлениям супердиффузии употребляются термины "движение Леви в пространстве" или "полеты Леви в пространстве", а в применении к явлениям субдиффузии - "полеты Леви во времени". Такая терминология, действительно, отвечает очень простой качественной картине аномальной диффузии (см. [22]). К настоящему времени стало понятным, что аномальные случайные процессы и аномальные диффузионные явления широко распространены в природе (см. многочисленные примеры в [22-26]). Субдиффузионный закон блуждания частиц в случайном магнитном поле был получен в [27]. Численное моделирование аномального транспорта магнитных силовых линий в турбулентном магнитном поле демонстрируют суб- и супердиффузионное поведение при небольших уровнях флуктуаций поля и гауссовский диффузионный режим при больших уровнях флуктуаций [28, 29]. Численное моделирование диффузии пробных заряженных частиц, движущихся в турбулентных электростатических полях, являющихся решениями уравнения Хасегавы-Мимы, демонстрирует аномальную зависимость квадрата смещения от времени [30]. Такие задачи требуют построения моделей движения Леви и развития разнообразных и эффективных методов оценки статистических характеристик по экспериментальным дан-

ным. Детальному исследованию двух важных типов движения Леви (обыкновенное движение и дробное движение) посвящена работа [31]. С другой стороны, кинетическое описание движения Леви требует применения аппарата дробных производных и также представляет собой область активных исследований (см. [26, 32, 33] и ссылки в этих работах). В [34] дробное уравнение Фокке-ра-Планка, содержащее дробную временную и дробную пространственную производные, было предложено в качестве феноменологического уравнения для PDF флуктуаций плотности, полученных в измерениях на токамаке DIII-D. В [35] дробное кинетическое уравнение Фоккера-Планка, содержащее дробную производную по скорости, предложено для описания релаксации, немаксвеллов-ских стационарных состояний и супердиффузии плазмы в маг

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком