УДК 551.509.313:[551.507.3+551.571]
Усвоение и коррекция данных радиозондовых наблюдений за влажностью в системе усвоения данных на основе локального ансамблевого фильтра Калмана
В. С. Рогутов*, М. А. Толстых*' **
Реализована процедура усвоения данных наблюдений за влажностью в системе усвоения данных на основе локального ансамблевого фильтра Калмана. Применена коррекция времени задержки и солнечного нагрева в процессе радиозондовых наблюдений за влажностью. Представлены результаты усвоения радиозондовых наблюдений за влажностью и результаты их коррекции по сравнению с усвоением без влажности. Показано, что использование коррекции данных наблюдений за влажностью позволяет уменьшить ошибки при усвоении в цикле.
Ключевые слова: усвоение данных, локальный ансамблевый фильтр Калмана, влажность, радиозондовые наблюдения.
1. Введение
Для расчета гидродинамических прогнозов погоды требуются начальные данные. Оценку состояния атмосферы в заданный момент времени получают с помощью системы усвоения данных наблюдений. Эта оценка во многом определяет качество численных прогнозов погоды, особенно для заблаговременности прогноза до нескольких суток. Для системы усвоения в качестве исходных выступают данные наблюдений, например данные наземных станций, радиозондов, спутников, а также первое приближение, обычно краткосрочный прогноз модели на шесть часов. Задача усвоения данных заключается в получении поля объективного анализа — наилучшей оценки состояния атмосферы в заданный момент времени.
В настоящее время широко распространены две группы методов усвоения данных: вариационное усвоение (трехмерное или четырехмерное — ЭБ-уаг [9] или 4Б-уаг [17]) и усвоение с помощью ансамблевых фильтров Калмана [5, 12]. Кроме того, активно развивается и гибридное усвоение, учитывающее достоинства обеих групп методов.
В Гидрометцентре России разработана система усвоения данных на основе трехмерного вариационного усвоения (ЭБ-уаг) [2] и разрабатывает-
* Гидрометеорологический научно-исследовательский центр Российской Федерации; e-mail: rogutovv@mail. ru.
** Институт вычислительной математики Российской академии наук; e-mail: tolstykh@ m.inm.ras. ru.
ся система иа основе локального ансамблевого фильтра Калмана с преобразованием ансамбля (ЬБТКБ) [18]. В локальном ансамблевом фильтре Калмана было реализовано усвоение данных наблюдений за температурой и скоростью ветра. Данные наблюдений за влажностью не учитывались. В настоящей статье рассматривается дальнейшее развитие системы усвоения на основе ЬБТКБ [18], а именно реализация усвоения данных наблюдений за влажностью.
Влажность — важная переменная в численном прогнозе погоды, так как она определяет не только факт и сумму выпавших осадков, но и изменение температуры при конденсации и испарении, меняющее градиент давления, что влияет на динамику атмосферы. Однако из-за статистических свойств (негауссово распределение ошибки, небольшой радиус корреляции по сравнению с другими переменными) и относительно низкого ка-чес тва дан ных на блюде ний за влаж нос тью их усвое ние оста ет ся слож ной задачей.
Было проведено исследование влияния усвоения данных радиозондо-вых наблюдений за влажностью и влияния их коррекции на ошибки объективного анализа и шестичасового прогноза (первого приближения), полученные при циклическом усвоении этих данных локальным ансамблевым фильтром Калмана [18], работающим совместно с глобальной численной моделью прогноза погоды.
2. Локальный ансамблевый фильтр Калмана
Усвоение данных — это циклический процесс, состоящий из шага прог-
Ъ _ 1)
ноза и шага анализа. Пусть ха(Ъ] _ 1) размерности N — вектор объективного
анализа, полученный на предыдущем шаге усвоения; х(Ъ]) = М] _ 1,](ха(Ъ]_ 1)) — первое приближение (результат краткосрочного прогноза, стартовавше-
го с предыдущего анализа); М] _ 1,] — оператор модели атмосферы; у° -
вектор наблюдений размерности Ы0.
При решении задачи усвоения данных необходимо найти оценку вектора объективного анализа ха(Ъ) по вектору первого приближения хъ(Ъ) и вектору наблюдений у°, полученному в момент ]. Методы усвоения данных (ЭБ-уаг, ансамблевые фильтры, оптимальная интерполяция) сводятся к решению задачи минимизации функционала
Дх) = (хь _ х)т(Рь)-1(хь _ х) + (у0 _ Н(х))ТВГ1(у0 _ Н(х)). (1)
Здесь Рь — матрица ковариации ошибок первого приближения; Я — матрица ковариации ошибок наблюдений; Н(х) — оператор наблюдений. Предполагается, что ошибки векторов первого приближения и наблюдений имеют гауссово распределение, нулевое математическое ожидание, взаимно не коррелируют и не имеют временной корреляции. Решение можно записать в виде
ха(Ъ) = хъ(г) + Ж(уО _ Н](хь(Ъ])), (2)
где весовая матрица Ж в случае линейного оператора Н](х) определяется как
Ж = Р/НТ (Н7Р/НТ + Я)-1. (3)
Матрица ковариации ошибок анализа определяется формулой
ра = рЬ _ рьн1(нрьн1 + ^ )-1 н рЬ . (4)
Если оператор модели М,-1-, линейный, то
РЬ = М _ ,/_ 1М _ 1,, + й, _ 1,,, (5)
гд е й, - 1, — матрица ковариации ошибок модели.
Линеаризация оператора модели и использование уравнений (4) и (5) на практике затруднены. В ЭБ-уаг при минимизации функционала (1) вместо матрицы Р. , вычисляемой на каждом шаге усвоения, используется
заранее заданная матрица В, описывающая ошибки первого приближения в среднем. Идея ансамблевых фильтров Калмана состоит в том, чтобы вместо одного анализа и первого приближения использовать ансамбли анализа и первых приближений, аппроксимирующие матрицы ковариаций. Пусть (£■ _ Д ... хак(г. _ :)} — ансамбль из К векторов анализа, заданный
(или полученный) на предыдущем шаге усвоения. Как правило, величина К составляет несколько десятков, таким образом, она много меньше Иа и Ы0. Пусть хк (г.) — результат прогноза погоды на момент 1,, стартовавшего
с анализа хК Обозначим X = [хЬ (^) _ хь (^), ..., хьк(^) _ хь (^)] —
матрица отклонений от среднего первых приближений, где хь — среднее по ансамблю первое приближение, X = [хК (^) _ хк (^), ..., хак(г.) _ хк (^)] —
матрица отклонений от среднего анализа, ха — средний анализ. Тогда мат ри цу рь мож но оце нить по дан ному ан сам блю
Рк = Хь (Хь )Т/(К _ 1). (6)
В локальном ансамблевом фильтре Калмана [5, 12] решение ищется в подпространстве, натянутом на векторы отклонений от среднего первых приближений. На каждом шаге усвоения вычисляются вектор среднего анализа ха и матрица отклонений от среднего анализа X. При этом матрица ковариации ошибок анализа вычисляется в пространстве ансамбля размерности К, что позволяет уменьшить объем вычислений:
хк(г,) = хь(г,) + ХЬРа(н,хь)Тя;1 (у, _ н,хь), (7)
Ха = Хь[(к - 1)Рк ]1/2, (8)
ра = [(к _ 1)/ + (нуХЬ )Тя]1(н}ХЬ )]_1, (9)
гд е ра — матрица ковариации анализа в пространстве ансамбля первых приближений размерности К х К. При этом матрицу рк можно оценить по по лу чен но му ансамблю анализа
рк = Ха (Ха )Т/(К_ 1). (10)
При использовании ансамбля, состоящего из К участников, матрица р имеет ранг, равный К - 1. При небольших значениях К и больших размерностях рь это приводит к появлению ложных корреляций. Для повышения ранга матрицы рь и уменьшения ложных корреляций применяется локали-за ция.
На практике обычно применяются два варианта локализации [5, 10, 12]. При локализации наблюдений для каждой области анализа используется ограниченный набор данных наблюдений (в пределах заданного расстояния от области анализа). При локализации анализа Ръ умножается на функцию, убывающую в зависимости от расстояния до области анализа.
В данной реализации фильтра [18] применяется локализация наблюдений — вычисления производятся независимо для каждого узла сетки с использованием данных наблюдений, попадающих в локальную область. Для локальных наблюдений элементы матрицы Я1 поэлементно умножаются на убывающую функцию /(г/с), где г — расстояние между узлом анализа и точкой наблюдения; с — радиус корреляции. В качестве функции/используется корреляционная функция Гаспари — Кона [7]
/ (х) =
5
-- + х 3
-5 + х
5
-+х 3
- + х(0,5 - 0,25х) 8
+ 1,
0 < | х < 1;
/У
\лл
-+ х(-0,5 + х/12) 8
+ 4-—, 1 < х < 2, х = г/ с; (1 1 ) 3х
х > 2.
Вертикальная локализация наблюдений реализована аналогично, в качестве г используется разность логарифмов давления между точкой наблюдения и узлом анализа.
Усвоение данных наблюдений в соответствии с формулами (7)—(9)
г>Ь
приводит к недооценке диагональных элементов матрицы ковариации Р , что в свою оче редь при водит к недо о цен ке веса изме ре ний при цик ли чес-ком усвоении совместно с моделью атмосферы. При циклическом усвоении в течение длительного времени вес наблюдений может убывать неограниченно, и анализ полностью определяется первым приближением [20]. Причина в том, что при использовании формулы (6) для оценки матрицы ковариации ошибок первого приближения не учитывается погрешность модели. Другая причина — использование для решения и оценок матриц ковариаций ансамбля ограниченного размера. Один из способов решения этой проблемы — применение разных параметризаций неадиабатических процессов подсеточного масштаба и возмущения параметров этих параметризаций на шаге прогноза для разных участников ансамбля [11]. Другой способ, использованный в данной реализации фильтра, -применение аддитивной и мультипликативной инфляции [5, 12].
При использовании мультипликативной инфляции матрица ковариации ошибок первого приближения умножается на коэффициент р > 1, тогда формула (9) приобретает следующий вид:
Ра = [(£ - 1)р-7 + (НХъ )тЯ -1 (НХъ )]-1. (9')
При использовании аддитивной инфляции к полученным членам ансамбля X прибавляется случайный шум, параметризующий погрешность модели. В данной реализации фильтра аддитивная инфляция реализована в виде шума е = ^ Гтя7тя, где Ут„ — сферические гармоники; коэффициенты
2
х
х
0
гтя имеют гауссово распределение, коррелированны по высоте и независи-
мы для раз ных пе ре мен ных.
3. Усвоение данных радиозондовых наблюдений за влажностью
При усвоении данных наблюдений в качестве переменной, описывающей влажность, можно использовать относительную влажность, массовую долю влаги
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.