ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2009, № 9, с. 104-106
УДК 550.831
УТОЧНЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ
© 2009 г. Б. П. Петрухин
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 29. 10. 2008 г.
Среди компонент дипольных нормальных полей, используемых в высокочастотной электроразведке, электрические компоненты Ех и Еу нормального поля горизонтального электрического диполя имеют весьма сложный вид. Проверка этих величин средствами компьютерной математики, связанная с разработкой классической (динамической) теории интерференционных зондирований, показала, что вышеуказанные выражения, приведенные в геофизической литературе, содержат значительные ошибки. Рассмотрению этого вопроса посвящена настоящая статья.
PACS: 91.50.Iv
В последнее время дипольные высокочастотные электромагнитные зондирования привлекают все большее внимание геофизиков. Наиболее полную и точную информацию эти методы дают при решении прямых и обратных задач, основанных на точном вычислении различных компонент этих диполей. Составной частью этой проблемы является определение компонентов Ex, Ey горизонтального электрического диполя, нормальные поля которых имеют в высокочастотном диапазоне весьма сложный вид.
Подобные же выражения встречаются и при зондированиях низкочастотными океаническими донными установками, когда нельзя пренебрегать волновым числом верхней среды.
Как обычно, под нормальным полем понимается поле на поверхности раздела двух однородных полупространств. Ось х направлена вдоль питающего диполя, а ось y - перпендикулярно ей в горизонтальной плоскости, т.е. на границе раздела.
Насколько нам известно, аналитические выражения Ex и Ey высокочастотного горизонтального электрического диполя приведены лишь в работах А.В. Вешева. Они имеют следующий вид [Ве-шев, 1980]:
E =
2 Pki
(4na + iюе1)r3(k\- kl)
a(k1) - a(k0) + cos 6(b(k0) - b(k1)) +
+ hki k0 r
i i ' (-%r), 2 ,2,2 1 2 2Л
e (x - h ) dx - 3-r cos 6 x
xj e( -xr)(x2- h2)2 dx
(1)
Здесь
а(д) = е(-дг)((1 + дг(д2 + 2(-д + к1 + к0)2) + ¿2г2д2),
Щ) = е(-дг)((-дк1 + к0)2(3 + 3дг + 2д2г) + + Н2г2д2(1 + дг + 1 Н2г2д2)),
ю, £, ко, к1 имеют общепринятые значения круговой частоты, диэлектрической проницаемости проводящей среды, волновых чисел воздушной и проводящей сред (в системе СГС), б - угол между осью диполя и осью х, г - расстояние между питающим и приемным диполями, а1 - удельная проводимость нижней среды, р - момент электрического диполя, р = М,1 - сила тока, - длина диполя.
,2 k0 k1 , ,
h = —-2, q = ко, ki.
k 0 + k1
Величина Ех приведена в системе СГС, причем квадрат волнового числа имеет вид:
2 4naiffl^i' + ю eiui ki = ---
(2)
с - скорость света в вакууме. Для нормального поля, где верхнее полупространство представлено воздухом, г = 0.1, причем
00 = 0, £0 = 1, | = 1.
Зависимость от времени во всех случаях полагается
в виде e
,(-imi)
УТОЧНЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ 105
Выражение для Еу имеет вид [Вешев, 1980]:
Еу _
2 рк^т б 008 б
(4па1 + гюе1)г3(к\ - к0)
5 к1
где
/ (к 0) - / (к 1) Ге(-Хг)(х2- й2)2 йх
(3)
№ = е'
= р(-чг)
(-<? + к1 + к)(3 + 3дг + ч2г2) +
2 2 2
+ й2г2д^ 1 + дг + й г3 ^ ^
Е- _ в
008 б
го Э
ЭФ(г, 0)
д г
- к2Рл(г, 0)к (4)
Еу _ в —2 ду
у ск2ду
008 б
дФ( г, 0) дг
(5)
Здесь в = -. Для интегралов Рх(г, 0), Ф(г, 0) получены их решения [Ваньян, 1965; Бурсиан, 1972]:
р2 3 0(Х г )Х йХ
(6)
Р
(г- 0) = 1^
0
+ п
0
2 Г/-1 , 7 \ (-к»г) ,1 , , ч (-к1г) 1 2-2 [(1 + к0 г) е - (1 + к1 г) е ] -5,
к1 - к
к1 2 2 ф(г, 0) _ Г2к1 30( Хг) ХйХ _ 2 к 1 ^ х
22 п0к1 + п1 к0
/4 ,4
к1 - к0
к1
(7)
Ь,2 (-V) ,2 (-V), , , , г е( Хг)йх
-(к:е - к0е ) - кокхй -—
г
к
7х2- л2_
Ч = к1, ко.
В процессе разработки на кафедре геофизики геологического факультета МГУ динамической (классической) теории интерференционных зондирований [Хмелевской, 2004] выяснилось, что приведенные в [Вешев, 1980] величины Ех и Еу содержат ошибки, допущенные при выполнении громоздких рутинных преобразований. Эти ошибки были обнаружены при использовании системы компьютерной математики (СКМ) МАРЬБ-6, легко оперирующей с символьными выражениями [Дьяконов, 2001].
Исследованиями целого ряда геофизиков, основанных на использовании уравнений Максвелла, введении электрического вектора-потенциала и последующих преобразованиях нормальных полей Ех, Еу горизонтального электрического диполя, получено их представление в общем интегральном виде. Например, в [Вешев, 1980] оно имеет вид:
п0 = л/к2+Х2, п1 = Тк^+Х2, выражение для волнового числа к приведено выше. 30 - функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка.
Вывод (6) хорошо известен (см. напр. [Ваньян, 1965]); решение (7) приведено в статье В.А. Фока: "О расчете электромагнитного поля переменного тока при наличии плоской поверхности раздела", включенной в качестве приложения (с. 325-342) в монографию [Бурсиан, 1972].
В системе СИ, используя результаты Л.Л. Ванья-на [Ваньян, 1965], после некоторого их преобразования можно показать, что:
Е _ р г со [1
х _ [дХ
008 б
дФ( г, 0) -дг
- к2Рх(г, 0 )к (8)
Легко видеть, что для Еу в системе СИ по аналогии с (4) и (8):
е _ р_ г о [ д
у _ 2п2к? дУ
008 б
дФ( г, 0) -дг
(9)
Квадрат волнового числа в системе СИ имеет вид:
2 -гю[0 2 кг _ —--££0[0о .
(10)
0
Здесь £' - относительное значение диэлектрической проницаемости, £0, [0 - диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума. Подробнее описания величин и значения параметров в системе СИ см. в [Ваньян, 1965].
Сравнивая (4) с (8), нетрудно видеть, что для получения Ех в системе СГС и в системе СИ необходимо вычислять одно и то же выражение, заключенное в фигурные скобки в указанных формулах. Обозначим его через Кх. Точно также из (5) и (9) следует, что основное выражение для Еу, заключенное в квадратные скобки, одинаково в СГС и в СИ. Его обозначим через Ку. Используя средства компьютерной математики, находим величины Кх и Ку. Для компактности статьи промежуточные выкладки не
к
0
X
к
0
106
ПЕТРУХИН
приводятся. При желании соответствующие расчеты нетрудно получить на компьютере.
2
X
2 kl
к — _1
r ( k 1- ko )
, О 7 7 2 ,0,2,2, (-klr)
(k1 r + 2k1k0r + 2k0 + k1 )e -- (k0 r + 2 k0 kl r + 2k2 + k0) e( k°r) + + cos26[(3k0k2r + k0klr2 + 3k2)e( kor)- (klk0r2 + 3k1k2(jr + 3k0)e( kir)] +
,-ki
+ hk1 k0 r
e(~xr)d% (l -
. -. cos2e(x + 1)) dx
J / 2 72 V r V Y
^л/ x - h v v *
(11)
Умножая Кх на соответствующие коэффициенты, приведенные в (4), (8), найдем искомые выражения Ех. В системе СГС:
Ex —
2 pkl
(4 па + г юе) r3 (k4 - k4)
Kx.
В системе СИ:
Ex — -
ргюц^
2 п
3 4 4 r (k i- ko)
K.
(12)
(13)
2
X
2kl
K — _l
У ^/4 ,4ч
r ( k l- ko ) (3 kl + 3 k0kl r + r2k0 kl) e( kor) -- (3k2 + 3klk2r + r2k0k2)e( klr) +
l (-Xr)
+ hk, k0r3 I* <e
l 0 J T2 V r
k0V x - h
+ X dX
(14)
Умножая Ку на соответствующие коэффициенты, приведенные в (5), (9), найдем искомые выражения Еу. В системе СГС:
У
ЕУ —
2 pk\ sin e cos e (4па + г юе) r3 (k4- k40) У
Ky.
(15)
В системе СИ:
Ey
-рг ю ц si n ö co s ö
2п
k2l
_к
3 4 4 У
r (kl-k0)
Сопоставляя (1) с (9), а (3) с (15), нетрудно видеть, что эти выражения существенно различаются между собой, хотя они и должны характеризовать одни и те же величины. Компьютерный анализ показывает также, что они несводимы друг к другу путем каких либо преобразований. Интересно отметить, что при квазистационарном приближении (1), (12), (3), (15) сводятся к хорошо известным низкочастотным выражениям для Ех и для Еу [Вешев, 1980; Ваньян, 1965]:
Ex —
Idlp
2 nr
l [ 3cos2Ö + (l + k l r) e~V-2 ].
Приведение результатов в системе СГС связано с тем, что именно в этой системе получены исправляемые формулы в [Вешев, 1980]. Использование системы СИ является обязательным в свете предъявляемых в настоящее время требований. Для Ку
3Idlpl Л Ey — —— sin e cos e.
2 п r
В заключение отметим, что столь длительное существование невскрытых ошибок при нахождении Ex и Ey говорит о слабом развитии теории высокочастотных электромагнитных зондирований, что, в свою очередь, связано с применением при их интерпретации преимущественно кинематического подхода . Не вдаваясь в подробности, которые выходят за рамки статьи, отметим лишь что кинематический подход, несмотря на свою простоту, имеет целый ряд принципиальных недостатков. Отметим также, что кривые интерференционных зондирований, к проблеме расчета которых относится настоящая статья, являются спектральными по отношению к кривым радарных зондирований, и поэтому все выводы, полученные при изучении интерференционных кривых, например, на математических моделях, оказываются справедливыми и в области высокочастотной импульсной (т.е. радиолокационной) электроразведки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. Л.: Недра. 1972. 368 с. Ваньян Л.Л. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра. 1965. 108 с.
Вешев А.В. Электропрофилирование на постоянном и переменном токе Л. 1980. 392 с.
Хмелевской В.К, Петрухин Б.П. Изучение возможностей радиоволновых зондирований по результатам решения прямых и обратных задач для плоскопараллельной среды // Разведка и охрана недр. 2004. № 5. С. 44-47. Дьяконов В. Maple 6 Учебный курс. СПб: "Питер бук". 2001. 603 с.
X
X
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.