научная статья по теме УТОЧНЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ Геофизика

Текст научной статьи на тему «УТОЧНЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2009, № 9, с. 104-106

УДК 550.831

УТОЧНЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ

© 2009 г. Б. П. Петрухин

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 29. 10. 2008 г.

Среди компонент дипольных нормальных полей, используемых в высокочастотной электроразведке, электрические компоненты Ех и Еу нормального поля горизонтального электрического диполя имеют весьма сложный вид. Проверка этих величин средствами компьютерной математики, связанная с разработкой классической (динамической) теории интерференционных зондирований, показала, что вышеуказанные выражения, приведенные в геофизической литературе, содержат значительные ошибки. Рассмотрению этого вопроса посвящена настоящая статья.

PACS: 91.50.Iv

В последнее время дипольные высокочастотные электромагнитные зондирования привлекают все большее внимание геофизиков. Наиболее полную и точную информацию эти методы дают при решении прямых и обратных задач, основанных на точном вычислении различных компонент этих диполей. Составной частью этой проблемы является определение компонентов Ex, Ey горизонтального электрического диполя, нормальные поля которых имеют в высокочастотном диапазоне весьма сложный вид.

Подобные же выражения встречаются и при зондированиях низкочастотными океаническими донными установками, когда нельзя пренебрегать волновым числом верхней среды.

Как обычно, под нормальным полем понимается поле на поверхности раздела двух однородных полупространств. Ось х направлена вдоль питающего диполя, а ось y - перпендикулярно ей в горизонтальной плоскости, т.е. на границе раздела.

Насколько нам известно, аналитические выражения Ex и Ey высокочастотного горизонтального электрического диполя приведены лишь в работах А.В. Вешева. Они имеют следующий вид [Ве-шев, 1980]:

E =

2 Pki

(4na + iюе1)r3(k\- kl)

a(k1) - a(k0) + cos 6(b(k0) - b(k1)) +

+ hki k0 r

i i ' (-%r), 2 ,2,2 1 2 2Л

e (x - h ) dx - 3-r cos 6 x

xj e( -xr)(x2- h2)2 dx

(1)

Здесь

а(д) = е(-дг)((1 + дг(д2 + 2(-д + к1 + к0)2) + ¿2г2д2),

Щ) = е(-дг)((-дк1 + к0)2(3 + 3дг + 2д2г) + + Н2г2д2(1 + дг + 1 Н2г2д2)),

ю, £, ко, к1 имеют общепринятые значения круговой частоты, диэлектрической проницаемости проводящей среды, волновых чисел воздушной и проводящей сред (в системе СГС), б - угол между осью диполя и осью х, г - расстояние между питающим и приемным диполями, а1 - удельная проводимость нижней среды, р - момент электрического диполя, р = М,1 - сила тока, - длина диполя.

,2 k0 k1 , ,

h = —-2, q = ко, ki.

k 0 + k1

Величина Ех приведена в системе СГС, причем квадрат волнового числа имеет вид:

2 4naiffl^i' + ю eiui ki = ---

(2)

с - скорость света в вакууме. Для нормального поля, где верхнее полупространство представлено воздухом, г = 0.1, причем

00 = 0, £0 = 1, | = 1.

Зависимость от времени во всех случаях полагается

в виде e

,(-imi)

УТОЧНЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ 105

Выражение для Еу имеет вид [Вешев, 1980]:

Еу _

2 рк^т б 008 б

(4па1 + гюе1)г3(к\ - к0)

5 к1

где

/ (к 0) - / (к 1) Ге(-Хг)(х2- й2)2 йх

(3)

№ = е'

= р(-чг)

(-<? + к1 + к)(3 + 3дг + ч2г2) +

2 2 2

+ й2г2д^ 1 + дг + й г3 ^ ^

Е- _ в

008 б

го Э

ЭФ(г, 0)

д г

- к2Рл(г, 0)к (4)

Еу _ в —2 ду

у ск2ду

008 б

дФ( г, 0) дг

(5)

Здесь в = -. Для интегралов Рх(г, 0), Ф(г, 0) получены их решения [Ваньян, 1965; Бурсиан, 1972]:

р2 3 0(Х г )Х йХ

(6)

Р

(г- 0) = 1^

0

+ п

0

2 Г/-1 , 7 \ (-к»г) ,1 , , ч (-к1г) 1 2-2 [(1 + к0 г) е - (1 + к1 г) е ] -5,

к1 - к

к1 2 2 ф(г, 0) _ Г2к1 30( Хг) ХйХ _ 2 к 1 ^ х

22 п0к1 + п1 к0

/4 ,4

к1 - к0

к1

(7)

Ь,2 (-V) ,2 (-V), , , , г е( Хг)йх

-(к:е - к0е ) - кокхй -—

г

к

7х2- л2_

Ч = к1, ко.

В процессе разработки на кафедре геофизики геологического факультета МГУ динамической (классической) теории интерференционных зондирований [Хмелевской, 2004] выяснилось, что приведенные в [Вешев, 1980] величины Ех и Еу содержат ошибки, допущенные при выполнении громоздких рутинных преобразований. Эти ошибки были обнаружены при использовании системы компьютерной математики (СКМ) МАРЬБ-6, легко оперирующей с символьными выражениями [Дьяконов, 2001].

Исследованиями целого ряда геофизиков, основанных на использовании уравнений Максвелла, введении электрического вектора-потенциала и последующих преобразованиях нормальных полей Ех, Еу горизонтального электрического диполя, получено их представление в общем интегральном виде. Например, в [Вешев, 1980] оно имеет вид:

п0 = л/к2+Х2, п1 = Тк^+Х2, выражение для волнового числа к приведено выше. 30 - функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка.

Вывод (6) хорошо известен (см. напр. [Ваньян, 1965]); решение (7) приведено в статье В.А. Фока: "О расчете электромагнитного поля переменного тока при наличии плоской поверхности раздела", включенной в качестве приложения (с. 325-342) в монографию [Бурсиан, 1972].

В системе СИ, используя результаты Л.Л. Ванья-на [Ваньян, 1965], после некоторого их преобразования можно показать, что:

Е _ р г со [1

х _ [дХ

008 б

дФ( г, 0) -дг

- к2Рх(г, 0 )к (8)

Легко видеть, что для Еу в системе СИ по аналогии с (4) и (8):

е _ р_ г о [ д

у _ 2п2к? дУ

008 б

дФ( г, 0) -дг

(9)

Квадрат волнового числа в системе СИ имеет вид:

2 -гю[0 2 кг _ —--££0[0о .

(10)

0

Здесь £' - относительное значение диэлектрической проницаемости, £0, [0 - диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума. Подробнее описания величин и значения параметров в системе СИ см. в [Ваньян, 1965].

Сравнивая (4) с (8), нетрудно видеть, что для получения Ех в системе СГС и в системе СИ необходимо вычислять одно и то же выражение, заключенное в фигурные скобки в указанных формулах. Обозначим его через Кх. Точно также из (5) и (9) следует, что основное выражение для Еу, заключенное в квадратные скобки, одинаково в СГС и в СИ. Его обозначим через Ку. Используя средства компьютерной математики, находим величины Кх и Ку. Для компактности статьи промежуточные выкладки не

к

0

X

к

0

106

ПЕТРУХИН

приводятся. При желании соответствующие расчеты нетрудно получить на компьютере.

2

X

2 kl

к — _1

r ( k 1- ko )

, О 7 7 2 ,0,2,2, (-klr)

(k1 r + 2k1k0r + 2k0 + k1 )e -- (k0 r + 2 k0 kl r + 2k2 + k0) e( k°r) + + cos26[(3k0k2r + k0klr2 + 3k2)e( kor)- (klk0r2 + 3k1k2(jr + 3k0)e( kir)] +

,-ki

+ hk1 k0 r

e(~xr)d% (l -

. -. cos2e(x + 1)) dx

J / 2 72 V r V Y

^л/ x - h v v *

(11)

Умножая Кх на соответствующие коэффициенты, приведенные в (4), (8), найдем искомые выражения Ех. В системе СГС:

Ex —

2 pkl

(4 па + г юе) r3 (k4 - k4)

Kx.

В системе СИ:

Ex — -

ргюц^

2 п

3 4 4 r (k i- ko)

K.

(12)

(13)

2

X

2kl

K — _l

У ^/4 ,4ч

r ( k l- ko ) (3 kl + 3 k0kl r + r2k0 kl) e( kor) -- (3k2 + 3klk2r + r2k0k2)e( klr) +

l (-Xr)

+ hk, k0r3 I* <e

l 0 J T2 V r

k0V x - h

+ X dX

(14)

Умножая Ку на соответствующие коэффициенты, приведенные в (5), (9), найдем искомые выражения Еу. В системе СГС:

У

ЕУ —

2 pk\ sin e cos e (4па + г юе) r3 (k4- k40) У

Ky.

(15)

В системе СИ:

Ey

-рг ю ц si n ö co s ö

2п

k2l

3 4 4 У

r (kl-k0)

Сопоставляя (1) с (9), а (3) с (15), нетрудно видеть, что эти выражения существенно различаются между собой, хотя они и должны характеризовать одни и те же величины. Компьютерный анализ показывает также, что они несводимы друг к другу путем каких либо преобразований. Интересно отметить, что при квазистационарном приближении (1), (12), (3), (15) сводятся к хорошо известным низкочастотным выражениям для Ех и для Еу [Вешев, 1980; Ваньян, 1965]:

Ex —

Idlp

2 nr

l [ 3cos2Ö + (l + k l r) e~V-2 ].

Приведение результатов в системе СГС связано с тем, что именно в этой системе получены исправляемые формулы в [Вешев, 1980]. Использование системы СИ является обязательным в свете предъявляемых в настоящее время требований. Для Ку

3Idlpl Л Ey — —— sin e cos e.

2 п r

В заключение отметим, что столь длительное существование невскрытых ошибок при нахождении Ex и Ey говорит о слабом развитии теории высокочастотных электромагнитных зондирований, что, в свою очередь, связано с применением при их интерпретации преимущественно кинематического подхода . Не вдаваясь в подробности, которые выходят за рамки статьи, отметим лишь что кинематический подход, несмотря на свою простоту, имеет целый ряд принципиальных недостатков. Отметим также, что кривые интерференционных зондирований, к проблеме расчета которых относится настоящая статья, являются спектральными по отношению к кривым радарных зондирований, и поэтому все выводы, полученные при изучении интерференционных кривых, например, на математических моделях, оказываются справедливыми и в области высокочастотной импульсной (т.е. радиолокационной) электроразведки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. Л.: Недра. 1972. 368 с. Ваньян Л.Л. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра. 1965. 108 с.

Вешев А.В. Электропрофилирование на постоянном и переменном токе Л. 1980. 392 с.

Хмелевской В.К, Петрухин Б.П. Изучение возможностей радиоволновых зондирований по результатам решения прямых и обратных задач для плоскопараллельной среды // Разведка и охрана недр. 2004. № 5. С. 44-47. Дьяконов В. Maple 6 Учебный курс. СПб: "Питер бук". 2001. 603 с.

X

X

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Геофизика»