ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 2 ноябрь, 2005
© 2005 г. Д.В. Быков*, A.A. Славнов*
ВАКУУМНЫЕ КОНДЕНСАТЫ РАЗМЕРНОСТИ ДВА В КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫХ ТЕОРИЯХ
Исследована зависимость от калибровки вакуумного конденсата размерности два в абелевых и неабелевых теориях Янга-Миллса.
Ключевые слова: конденсат, калибровочная инвариантность, разложение Вильсона
1. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В последнее время все больше внимания в неабелевых калибровочных теориях уделяется вакуумным конденсатам (0|А°2|0) и (0|саса|0). Предполагается, что эти конденсаты несут информацию о таких непертурбативных явлениях в квантовой хромодинамике, как конфайнмент кварков [1], и дают вклад в непертурбативные части глюонного [2] и кваркового [3] пропагаторов. В работах [1] была выдвинута идея о том, что глюонный конденсат может быть чувствителен к топологическим дефектам, таким как, например, дираковские струны и монополи. Рассматриваемые конденсаты являются вакуумными средними операторов, зависящих от калибровки, что порождает сложности при использовании их для анализа наблюдаемых явлений. В работах [4], [5] было показано, что если рассматривать теорию Янга-Миллса как предел (регуляризованной) некоммутативной калибровочно-инвариантной теории, то вакуумное среднее {/ d4x A2ß) не зависит от выбора калибровки и, следовательно, может иметь непосредственный физический смысл. Это доказательство опирается на калибровочно-инвариантную регуляризацию некоммутативных теорий, вопрос о существовании которой нуждается в дополнительном исследовании. Поэтому представляет интерес анализ калибровочной инвариантности конденсата размерности два в коммутативной теории, а также вопрос о возможном вкладе этого конденсата в операторное разложение Вильсона. Частичный ответ на этот вопрос в рамках абелевой теории был дан в работе [4]. В настоящей работе мы продолжаем исследование данного вопроса как в абелевом, так и в неабелевом случае и исследуем проблему вильсоновского разложения в некоммутативной теории.
'Московский государственный университет, Москва, Россия. E-mail: dmitribykov@mtu-net.ru
t Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, Россия.
E-mail: slavnov@mi.ras.ru
148 д.в. быков, а. а. славнов '-'■»
ы
2. НЕКОТОРЫЕ КОНДЕНСАТЫ МАССОВОЙ РАЗМЕРНОСТИ ^ ДВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОЛЯ
В данном разделе мы будем рассматривать функции Грина и вакуумные средние глю-онного поля Ац (х) в а-калибровках, а также духовых полей с(х), с(х).
В неабелевых калибровочных теориях наиболее простыми являются функции Грина вида {Т Ац(х) Аи{у)), (Тс(х)с(у)). Современные численные расчеты континуальных интегралов, определяющих вакуумные средние, позволяют исследовать непертурбатив-ные вклады в эти пропагаторы. Такие вклады наиболее наглядно представлены в виль-соновских разложениях операторов ТА11(х)А„(у) и Тс(х)с(у), где они проявляются в виде степенных поправок к ведущему члену порядка 0((х — у)~2), который соответствует в разложении единичному оператору. Следующие операторы, дающие вклад в это разложение, суть операторы массовой разм^эности два: Ам (х)А^ (х) и с(х)с(х). В этой работе мы ограничимся рассмотрением этих конденсатов. Их вклад в разложение Вильсона имеет вид [6]
Г-«Ж
/сРхе^(ТА«(х)Аьи(0)) с£1аЬ(р) ■ 1 + С$]|вЬ(р)(^)2 +
J г р—► ОС ^
+ фаЬ(р)сёса + ■■■.
(1)
Для того чтобы проанализировать поведение глюонного пропагатора при больших импульсах, следует вычислить вакуумное среднее этого выражения. При этом, очевидно, необходимо знать свойства конденсатов (0|(Лр2|0) и (О^с^О). В частности, представляет интерес вопрос о том, возможно ли построение из данных конденсатов (или соответствующих операторов) калибровочно-инвариантных или хотя бы БРСТ-инвариант-ных величин. На последний вопрос ответ частично был дан в работе [6]: в калибровках с фиксирующим калибровку/духовым членом вида1'
£ор + РР = уВаВа~^д1аМсьсаВа+Вад„А°+саМаЬсь~~д2гаМгае}сьс<1сес* (2)
существует БРСТ-инвариантный оператор О = /йАх (А1Х(х)А,1(х) — а'с(х)с(х))/2. Стоит отметить, что БРСТ-инвариантность данного оператора сохраняется и в II(^-теории в калибровке лоренцева типа, однако в общем случае теории Янга -Миллса в наиболее часто употребительной калибровке лоренцева типа (а-калибровке) это утверждение несправедливо. Действительно, Ь^р + рр из (2) ни при каком а' не переходит в член вида
¿ск + рр = -\ваВа + Вад»А1 + саМаЬс\
соответствующий калибровке лоренцева типа. Кроме того, можно непосредственно проверить, что
<Ю
<Рх
а
д.(Ааиса) + -Г
аМсъсаса
аМсьслса
фО.
(3)
^ Здесь В - вспомогательное поле Наканиши- Лаутрупа, интегрирование по которому легко проводится в континуальном интеграле.
С другой сторер оператору в силу
В работе [6] таю антным не толькс абелевой калибр Отметим нема в очных полей в а что в абелевой С фотонного поля л
где О^г2) не зави казать. проведя в этого утверждеив иное доказательс нам построить см
Действительно, в
Учитывая, что
получаем калибро ражений ясно, что вочно-инварианте]
3. ВКЛАД РАЗЛОЖЕНИ
В данном разде.] либровочная инв;
г
г
гт ы
:ости г*
"-лние глю-
31 Грина .пых ин-урбатив-
совках
" (2) г))/2.
I -те-1 наи-рж-
згт в
тз^зопро-
вакуумные конденсаты размерности два
149
С другой стороны, в физическом секторе оператор А = сьс'}са эквивалентен нулевому оператору в силу единичного духового числа:
^рЬув): ^Ьов^рЬуз) = <9вНЗт|^рЬу5) = О,
(4)
В работе [6] также доказано, что вышеупомянутый оператор является БРСТ-инвари-антным не только в калибровке, определяемой функционалом (2), но и в максимальной абелевой калибровке.
Отметим немаловажное принципиальное различие между пропагаторами калибровочных полей в абелевой и неабелевой теориях. Примечательным является тот факт, что в абелевой (7(1)-теории калибровочный параметр а входит в полный пропагатор фотонного поля лишь через тривиальную продольную часть:
РуРи
п4 '
(5)
где (7(р2) не зависит от а (в неабелевой теории это утверждение неверно, что легко показать, проведя вычисления в низших порядках теории возмущений). Доказательство этого утверждения можно найти, например, в работе [4]. В приложении 1 мы приведем иное доказательство, основанное на тождествах Уорда. Данное утверждение позволяет нам построить следующую калибровочно-инвариантную величину:
(0\Т(А11(х)А^у)+ас(х)с(ут.
Действительно, в абелевой теории духовое поле является свободным, и
(6)
<0|Г(с(х)сЫ)|0> = I сРре1
р(х-у) _
1
р2 + ге
Учитывая, что
(О\Т(А^х)А^ут = I сРре^-У^р),
получаем калибровочную инвариантность указанной величины. Из аналогичных соображений ясно, что вакуумный конденсат (0| (х)А>х (х) + ас(х)с(х) |0) также калибро-вочно-инвариантен.
3. ВКЛАД КОНДЕНСАТОВ (А^) И (сс) В ВИЛЬСОНОВСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА Т(А(1{х)А^(у) + ас(х)с(у)) В [/(1)-ТЕОРИИ
В данном разделе мы рассмотрим вопрос о том, какие ограничения накладывает калибровочная инвариантность вакуумного среднего (0|^С(а;,7/)|0), где /С(х,у) =
Т(А^(х)А^ (у) + ас(х)с(у)), на члены, входящие в вильсоновское разложение этого оператора. Вильсоновское разложение для оператора К(х, у) в коммутативной V (1 )-теории (с учетом взаимодействия со спинорным полем ф(х) массы т) имеет вид2)
ЦО"
о^ 1С(х,у) Со(х -у)-1 + - у)А»(у)А»(у)+
+ С£ь(х-у)са(у)сь(у) + •••• (7)
Коэффициенты и С^ безразмерны. Кроме того, в нашем распоряжении есть лишь две тензорные структуры: ги = - В теории присутствует один явный массовый масштаб - масса спинора т, и один скрытый - точка вычитания ц. Заметим, впрочем, что последняя входит лишь в логарифмические поправки к степенному разложению (мы рассматриваем случай г —» 0, но для справедливости такого разложения необходимо, чтобы \д\пг2ц2\ < 1). Таким образом, любой коэффициент разложения имеет следующую структуру:
С(г) = Ага(1 + '£Ак(д\ пг2»2)к\ (8)
^ к=1 '
Вопрос с^массе спинора является несколько более тонким. Могут ли члены с отрицательными степенями т давать вклад в коэффициентные функции? Если да, то вся структура вильсоновского разложения для несингулярных членов разрушается, так как тогда можно было бы операторы произвольной массовой размерности делить на необходимую степень массы и в результате получать величины другой массовой размерности. При этом в любом порядке по 2 возникает бесконечный ряд из конденсатов. К счастью, существует теорема Вайнберга, которая гарантирует для квантовой электродинамики существование предела нулевой массы спинора в случае диаграмм без исключительных внешних импульсов, и члены, упомянутые выше, запрещены.
Принимая во внимание все вышесказанное, запишем наиболее общий вид функций г(1) иГ( 1).
И °2аЬ'
= С{2Ц = Кбаь. (9)
Подставим их в разложение (7), получим
/С(х, у) -»• С0(х - у) • 1 + /М2Ы + кса(у)са(у) + ■■■. (10)
х — у—>0
Калибровочная инвариантность вакуумного среднего левой части этого соотношения накладывает ограничение на коэффициенты /3 и к:
(И)
Это равенство не нуждается в дополнительном доказательстве, так как в предыдущем разделемы мы показали, что в абелевом случае вакуумный конденсат (0|А2 (х) + ас(х)с(х) |0) не зависит от калибровки.
2^Мы не учитываем возможные конденсаты с ненулевым духовым числом, т.к. в физическом секторе теории они роли не играют.
этого опе-С(1)-теории
(7)
есть лишь явный мас-Заметим, =эо!.гу разло-:-азложения ; изложения
(8)
отрица--- струк-: как тог-"тоди-. _ :-:„сти. -частью,
!ЖИ
ных ций
О)
(10)
тноше-
(И)
-дыду-
-гхом сек-
4. НЕОБХОДИМОЕ СЛЕДСТВИЕ РАВЕНСТВА ¿(А^/Ж* = о ц
Особый интерес представляет случай неабелевой теории. В работе [4] методами некоммутативной теории поля показано, что калибровочно-инвариантным является конденсат <0|Л£ (*)Л£(*)|0>: ■
¿а
с^хА11(х)А^(х)^ = 0,
(12)
однако данное утверждение нуждается в некотором пояснении, т.к., например, из (5) видно, что в частном случае абелевой теории
^(0\А»(х)А»(х)\0) =2?(0),
ад = -[
агрх
Р2 + «е :ып
и производная конденсата равна нулю лишь при £>(0) = 0, что справедливо, например, в размерной регуляризации. Вполне возможно, что в некоммутативной теории требование существования калибровочно-инвариантной регуляризации яв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.