МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014
УДК.624.074.4
© 2014 г. О. М. ПАЛИЙ ВАРИАНТ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ ТОЛСТЫХ ОБОЛОЧЕК
Обсуждается вариант прикладной теории оболочек большой толщины, основанный на введении силовых и кинематических гипотез, дополняющих и расширяющих состав гипотез Лява—Кирхгоффа и Тимошенко— Рейснера. Выписана полная система уравнений, включающая соотношения упругости, геометрические соотношения (перемещения, деформации), уравнения равновесия. Произведена верификация выведенной системы уравнений в частных случаях. Отмечается, что погрешность теории не превосходит квадрата отношения толщины к радиусу по сравнению с единицей.
Ключевые слова: Оболочка, относительная толщина, кинематические и силовые гипотезы, перемещения, деформации, напряжения, система уравнений.
1. Введение. В основе современной теории тонких оболочек лежит предложенная Кирхгоффом для тонких пластин система кинематических и силовых гипотез, распространенная затем Г. Ароном и А. Лявом на тонкие оболочки произвольной геометрии (гипотезы Лява—Кирхгоффа). Достаточно строгое обоснование точности этих гипотез было произведено В.В. Новожиловым [1, 2], показавшим, что погрешность указанных гипотез имеет порядок отношения толщины оболочки к ее радиусу по сравнению с единицей. Высказывавшиеся в последующем определенные сомнения в отношении точности гипотез в отдельных специфических случаях (угловые точки, специальные виды нагрузок, трансверсальные напряжения в слоистых оболочках) не ставят под сомнение надежность расчетных схем, основанных на отмеченных гипотезах. Они лишь привлекают внимание к такого рода задачам и позволяют наметить пути ухода от ожидаемых погрешностей. Таким образом, вопрос о расчете тонких оболочек можно считать полностью разрешенным.
Однако в последнее время при создании реальных объектов все чаще приходится использовать конструкции с большими относительными толщинами, для которых погрешности гипотез Лява—Кирхгоффа становятся неприемлемыми. Возникает очевидное желание создать для такого класса оболочек свой вариант прикладной теории, который, обладая ясностью классической теории и соизмеримой с ней простотой, приводил бы к приемлемым погрешностям, скажем, порядка квадрата отношения толщины к радиусу по сравнению с единицей. Не останавливаясь на подробном обсуждении работ, посвященных данной проблеме, имеет смысл выделить три основные направления ее решения. Это прежде всего классический прием разложения решения по фундаментальным функциям, например, полиномам Лежандра [3, 4]. Можно использовать полную систему уравнений теории упругости, представляя решение в виде суммы перемещений срединной поверхности и некоторых добавок, определяемых из условия минимизации невязок между точным и приближенным решениями [5]. Получаемые в обоих вариантах теории уравнения, хотя и могут быть построены с достаточной степенью точности, но приводят к сложным системам уравнений. Как представляется, более перспективным является подход, в котором используются силовые и кине-
матические гипотезы [6, 7]. Здесь основная трудность — оценка получаемой погрешности решения.
Предлагаемый вариант теории позволяет, хотя бы приближенно, дать такую оценку. Полученная система уравнений является достаточно простой и в основных своих чертах совпадает с уравнениями [7].
2. Исходные положения. В основе предлагаемого варианта теории оболочек большой толщины лежат две широко используемые кинематические гипотезы Тимошен-ко—Рейснера:
прямолинейные волокна оболочки, нормальные к ее срединной поверхности до деформации, остаются прямолинейными в процессе деформирования оболочки;
косинус угла наклона таких волокон с срединной поверхности деформированной оболочки равен осредненному по толщине углу сдвига.
Принятые гипотезы позволяют выписать следующие соотношения
u* = и + z9, и* = и + zy w* = w + ф ( z )
9 = 9q + YI, y = у + y 2
где u, u, w — перемещения срединной поверхности по координатным осям; и*, и*, w* — перемещения по тем же направлениям, но в поверхности, отстоящей на z от срединной; 0, v — углы поворота прямолинейных волокон в плоскостях, нормальных к срединной поверхности, относительно исходного состояния волокон; 9Q, уq, yb у2 — углы поворота нормали к срединной поверхности и углы сдвига в указанных выше плоскостях.
Здесь и далее предполагается, что все искомые выражения являются функциями двух криволинейных координат, отнесенных к срединной поверхности. При этом для нее используется система главных координат ai, a2 с параметрами Ляме Ab A2 и главными радиусами кривизны Rb R2. В качестве третьей координаты z = a3 принята нормаль к срединной поверхности. Функция ф ( z ) остается пока неопределенной.
Построение системы уравнений начнем с анализа уравнения, описывающего равновесие в отношении усилий, ориентированных по нормали к срединной поверхности. В записи, принятой в [7], оно имеет вид
(<5uH2) + (cJ23#i) + # (33H1H2)- H2 ^ Си - Hi H С22 = Q (2.2)
da1 oa2 dz dz dz
где Gi3, g23 — касательные напряжения в плоскостях, нормальных к срединной поверхности, Сц — нормальные напряжения по )-ым направлениям. Параметры Ляме H для плоскости, отстоящей на z от срединной поверхности, и радиусы кривизны R) связаны с параметрами A) соотношениями
H = A fi + 4 -^f 4]=-^, l, j = 1,2
1 ' У R) дщ yRj) Ridai
Дальнейшее преобразование и интегрирование (2.2) осуществляется на основе следующих допущений. Касательные напряжения с13, с23 равномерно распределены по толщине (следствие гипотез (2.1)), а нормальные напряжения с11, а22 принимаются на основе соотношений теории тонких оболочек. В случае ортотропного материала эти напряжения выражаются через деформации и кривизны срединной поверхности (е1, е2,..., т2) следующими равенствами:
СТц = --1-[ +V12E2 + Z (1 +V12^2 )]
1 — V12V21
+V21E1 + Z ((2 +V21«i)]
(2.3)
^22 =■
1 — V12V21
При интегрировании уравнения (2.2), так же как и в последующих преобразованиях, отбрасываются члены малости 5 2 = (h/R )2 по сравнению с единицей, что соответствует точности получаемой системы уравнений. Интегрирование (2.2) приводит к равенству
R1 R2
O33I 1 + Z + Z I = Со + C1Z + zEfa I-1 + ^ 1 +
R1 R2
+ Zp*e I 1 + V21 I + Z2 E*œ I 1 + v12 I + Z2 e*œ I 1 + V21
+ ze2£ 21R+RJ+"2 E1(11r+R2 J+"2 E2(21 R + R
(2.4)
Произвольные постоянные С0, С1 в (1.4) находятся из условий на поверхностях оболочки
G33 (h/2) = q\, CJ33 (- h/2) = -q
и определяются равенствами
Г 2
(2.5)
Со =
дз - дз - h 2 8
С1 = q+ + дз- - h
1 1|%1 R2 ) U R1 )\
E*si| 1+ V2 ] + Е*г 2 (-1+ V21
R1 R2
R2 R1
(2.6)
Напряжения a33 с учетом (2.6) равны
+ —
( + qз-)
Сзз = quzlh. +
зз 2
z+h П +1
h 4 V R %2
— H1 -
4z 2
E*œi| -1 + + E*œ2I-1 +
R1 R2 ) V R2 R1
1 - 4-
h2
(2.7)
В приведенных выше зависимостях введены следующие обозначения: Еь Е2 — модули нормальной упругости по направлениям а:, а2; v¡j (при ; ^ у) — коэффициенты поперечного сжатия по направлению ¡ от усилия по направлению у; Е* = Е^ (1 - V у^у);
д+, д-— нормальные по отношению к внешней и внутренней поверхностям оболочки составляющие нагрузки.
3. Основные уравнения. Найденное выражение (2.7) для напряжений ст33 позволяет определить деформацию г33 = по нормали к срединной поверхности, воспользовавшись соотношением упругости
Озз
езз -Ц1«11 -Ц2^22, Ез =
Ез
Е
1 — l^1V1 з -^2з
=
Уз1 +V 21Уз2
1 -V12V 21 '
Ц 2 =
Уз2 +У12Уз1
1 -V12V 21
(3.1)
Подстановка в (3.1) выражений для с33, еп, е22 после исключения малых членов порядка 82 и интегрирования по z дает
ж* (г) = ж + ф(г), ф(г) = -И1г(е;- + 2 - (е2 + ^2) (3.2)
Надо отметить, что при выводе (3.2) отброшен член порядка, ст33/Е3*, что для обычных материалов приводит к погрешности порядка 82. Однако в тех случаях, когда Е3 ^ Еь его следует учитывать. Порядок такого учета дается в п. 6.
Равенства (3.2) позволяют построить уточненные, по сравнению с классической теорией, выражения для деформаций е11, е12, е22. Так, в общем случае [8] деформация е11, е12, е22 волокна в направлении а: определяется равенством
( 1 ди* 1 д А1 ж* ^ 1
еп = 1— -— +-—^и* + - 1
ч А1 да1 А1А2 да2 Я) 1 + гМ
Заменяя с принятой точностью (1 + г/й) на (1 - г/й) и учитывая (2.1), (3.2), можно получить
е11=(£1+Ч1 - й- * Я (£1+2Ж1)- * Я (£2+2 -2)
е22 = (2 + - - Я-(б1 + ^- (£2 + ^Ж2) (3.3)
е12 = е21 = ( + г- + (®2 + гт2)) - яг-
Входящие в (3.3) величины деформаций е1, е2, ю1 срединной поверхности выражаются через ее перемещения согласно зависимостям теории тонких оболочек. Что касается кривизн и кручения с учетом принятых гипотез (2.1), то они определяются равенствами, внешне совпадающими с принятыми в классической теории. Однако, входящие в них углы являются углами поворота волокон, а не срединной поверхности. Выражение, например, для кривизны определяется следующей зависимостью
»1 = ± ^ + ^ ¥ А15а1 А1А2 За2
э = + У1, =-!^ + и, У1 = А.
А15а1 Я1 013к
Здесь уместно вернуться к уравнению (2.2). При его интегрировании напряжения сти и ст22 заимствовались из теории тонких оболочек. Для уточнения решения можно было использовать более точные выражения вида
^11 = Е* (еп + У12е22) + Ц1О33 (3.4)
причем е11 и е22 должны определяться равенствами (3.3).
Величина напряжений ст33 имеет по отношению к сти порядок 8. Добавки к величинам еи, принятым в теории тонких оболочек, имеют тот же порядок. Учет в уравнении (2.2) этих поправок приводит к поправкам в строящемся решении порядка 82 по сравнению с единицей, что выходит за ожидаемую точность теории.
Теперь имеется возможность получить на основе (3.4) и (3.3) уточненные выражения для напряжений
Оц = Е1* |Б1 + ^Б2 + г (»1 + \-п»2) - ZSl ^^^ + у12
7Р [Н 2 ... г2»1 (2 + Ц + ^ Н
2
Н
2
Цг
+ Н
1 -
47
»11 1 + М
Чз
— + ( + Ч-))
Н
Е2 [ V 21 1 +—2 »2 \— + —
Е1 V &2
ОЦ = I * ]
.7» [Н! + V192±Ц1
2 V &2 +
(3.5)
Для напряжений ст22 соответствующее выражение можно получить из первого уравнения (3.5) путем замены индексов 1 на 2 и наоборот. Зная напряжения, можно выразить приведенные к срединной поверхности усилия (Ть Т2,... N2) и моменты (М1, М2,... М21) через ее деформации и кривизны, воспользовавшись равенствами ви
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.