ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 75. Вып. 1, 2011
УДК 539.374
© 2011 г. Р. А. Васин, П. А. Моссаковский
ВАРИАНТ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ТЕНЗОРА ПОВРЕЖДЕННОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
Предлагается подход к описанию процесса накопления повреждённости при деформировании упругопластического материала, основанный на идеях теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина. Формулируется вариант соотношений для тензора поврежденности, из которого как частный случай следует известная модель В.Л. Колмогорова. В качестве примера рассматривается класс процессов деформирования, для которых траектории деформаций представляют собой ломаные линии с протяженными звеньями.
1. О моделях накопления поврежденности. Критериям разрушения, моделям накопления поврежденности твердых деформируемых тел посвящена огромная литература. Не ставя целью дать ее обзор, отметим две характерные тенденции исследований по названной тематике — развитие подхода, основанного на описании поврежденности материала в рамках механики поврежденной сплошной среды, и использование тензорных мер поврежденности. В настоящей работе предлагаются соотношения для тензора поврежденности, по структуре аналогичные определяющим соотношениям теории упругопластических процессов А.А.Ильюшина [1, 2].
Определяющие соотношения поврежденной сплошной среды представляют собой те или иные определяющие соотношения неупругой среды (склерономная упругопла-стическая среда, реономная упруговязкопластическая среда), в которые входит параметр (или несколько параметров), отражающий меру поврежденности материала; для этого параметра вводится дополнительное кинетическое уравнение. Существенно, что определяющие соотношения поврежденной сплошной среды являются "связанными" — характеристики повреждённости и напряженно-деформированное состояние не могут быть найдены независимо. Примерами подобных определяющих соотношений могут служить некоторые модели накопления поврежденности в теории ползучести (см., например, [3]) или модель термовязкопластичности Ю.Г. Коротких [4].
Описанный учет поврежденности отличается от более традиционного, в котором оценка накопленной поврежденности и (или) проверка условия разрушения производятся по независимо определяемому напряженно-деформированному состоянию материала. Такова, например, модель неупругости В.С. Бондаря [5], построенная, как и модель Ю.Г. Коротких, на базе теории течения с трансляционно-изотропным упрочнением. Таково и условие разрушения, широко используемое в расчетах процессов обработки металлов давлением, предложенное В.Л. Колмогоровым [6] для упругопластических процессов с траекториями деформаций малой кривизны
(1.1)
Здесь ä — длина дуги траектории пластических деформаций, Лр — функция температуры Т, интенсивности скоростей пластических деформаций uu и характеристик напряжённого состояния — параметра Лоде и показателя вида напряженного состояния k, равного отношению гидростатического давления к интенсивности напряжений. При
простом нагружении, когда и k — постоянные, величина Лp равна длине дуги s в момент разрушения (при заданных T(t) и uu(t), t — время).
Закон линейного, по существу, суммирования (1.1), очевидно, малопригоден для процессов сложного нагружения. В подходе В.Л.Колмогорова для существенно сложного нагружения, представляемого траекторией напряжений в виде многозвенной ломаной, условие (1.1) заменяется на условие
n Si
I K)f = 1; = J dp (1.2)
«-iл P
в котором n — число этапов (звеньев многозвенной ломаной) и значения и k на каждом этапе постоянны. Условия (1.1) и (1.2) явно учитывают историю нагружения материала. Следует, однако, отметить, что условие (1.2) не переходит непрерывно в (1.1) (за исключением очевидных случаев n = 1 или а, = 1), и в этом смысле оно математически некорректно.
Одно из первых обстоятельных рассмотрений поврежденности как тензорного объекта и строящихся на его основе мер повреждений было предложено А.А. Ильюшиным [7]. В его подходе тензор, характеризующий накопление повреждений, считается функцией состояния макрочастицы и, согласно принципу макроскопической определимости [2], однозначно определяется процессом нагружения, т.е. тензором напряжений с компонентами aiJ(t) (и, вообще говоря, моментами различных порядков) и T(t). А.А. Ильюшиным предложены конкретные варианты теории накопления повреждений с использованием симметричного тензора повреждений второго порядка и различных мер повреждений для одного и того же материала.
Один из вариантов подхода А.А. Ильюшина в терминах пространства деформаций был конкретизирован И.А. Кийко [8] в следующей форме. Поврежденность описывается тензором-девиатором второго ранга, которому в пространстве деформаций [2] ставится в соответствие вектор P с компонентами
t
Pt(t) = J Aij (T (т), k(x),o(x))Vjdx (1.3)
0
Здесь Uj(т) — компоненты вектора скорости деформаций v(t); и = |v|, Ау — экспериментально определяемые функции (вместо функций Ау в соотношение (1.3) могут входить соответствующие функционалы). В качестве одной из мер накопленной пластической деформации принимается pu = |P|; тогда исчерпанию ресурса пластичности соответствует условие
Pu = 1
Для частного вида соотношений (1.3), когда
All = A-22 = А; A33 = A44 = Л55 = A3; Aij = 0, i ф j
0 О
из опытов на растяжение при ц = щ = const и на кручение при и3 = и3 = const находятся материальные функции Ai = (Л P(T, k, и))-1 (i = 1, 3); Лр и ЛР — функции предельной пластичности соответственно при растяжении и кручении.
Известны и другие подходы к описанию тензорного характера поврежденности материалов. В частности, тензор поврежденности задается (как и в настоящей работе) тем или иным кинетическим уравнением. Так, уравнение для тензора поврежденности Oy было принято в [9] в виде
Ц/ = 2W (aikZkj + akfiik)- Щ (1.4)
где aij — девиатор тензора остаточных микронапряжений ("добавочных" напряжений), W — энергия разрушения, sj/ — неупругая деформация, X — материальная функция.
Ниже предлагается подход к построению критерия разрушения, в котором учет истории нагружения основан на идеях теории упругопластических процессов А.А.Ильюшина [1, 2] и из которого как частный случай следует соотношение типа (1.1).
2. Построение соотношений для тензора поврежденности. Для простоты изложения выполним построение этих соотношений для склерономного начально изотропного материала в геометрически линейной постановке.
Общая процедура получения соотношений для тензора поврежденности с компонентами Ю/ состоит в последовательном повторении схемы, по которой в теории упругопластических процессов [1] строятся определяющие соотношения, с точностью до замены пространства деформаций Е5 на пространство пластических деформаций
Е5Р и тензора напряжений на тензор поврежденности. Симметричному тензору-девиа-тору второго ранга Ю/ ставится в соответствие вектор ю, задаваемый в пространстве Q5 и считающийся одним из физических векторов процесса нагружения [1]. В каждой
точке траектории пластических деформаций в пространстве Е/ вектор ю можно представить в репере Френе (рг) в виде
ю = юcos9,р,, cos9, cos9, = 1; i = 1, ...,5
Здесь 9, и ю = |ю| — функционалы процесса.
По аналогии с гипотезой компланарности (см. [10]) эволюционное уравнение для вектора ю может быть выбрано в форме
d— = A— + B — (2.1)
ds ds ю
где de — приращение вектора пластических деформаций, ds = |de|; A и B — функционалы процесса.
В качестве критерия разрушения материала можно принять условие достижения критического значения длиной дуги траектории поврежденности (годографа вектора ю в пространстве Q5)
s*
J dO (s) = 1; dQ = \d | (2.2)
или более традиционное условие
ю = 1 (2.3)
Варианты соотношений типа (2.1), учитывающие тензорный характер накопления поврежденности, известны в литературе (см., например, приведенное выше соотношение (1.4)), однако в них по существу не исследовалась зависимость функционалов A и B от наиболее характерного "векторного" параметра — угла сближения 9
л о о w de /0 ,ч
cos0 = w Pi, W =—, Pi =— (2.4)
ю ds
В то же время "векторные" свойства (несоосность векторов га0 и pi) представляют несомненный интерес. Представим соотношения (2.1) в виде отдельных уравнений для ю — характеристики "скалярных" свойств и для 9 — характеристики "векторных"
свойств. Умножая обе части соотношения (2.1) на га0 и на pi, после преобразований получим (штрих означает производную по s)
2
ю' = A cos 9 + B = F, (cos 0)' = ra0 ^ + Asin2 0 (2.5)
ds ю
Ограничимся в дальнейшем классом траекторий деформаций в виде многозвенных ломаных. Тогда на каждом звене кривизна траектории деформации равна нулю, и следовательно, второе из уравнений (2.5) упрощается:
0' = - A sin 0 (2.6)
ю
Полагая F и A в соотношениях (2.5), (2.6) (или A и B в уравнении (2.1)) некоторыми функциями s, параметров процесса a¡ и структурных параметров материала Ру- (и, соответственно, дополняя соотношения (2.5), (2.6) уравнениями для определения этих параметров), можно сформулировать конкретные частные варианты соотношений для вычисления ю.
При выборе функции F можно учесть, что запись кинетического уравнения для ш часто основывается на использовании энергетического подхода, когда принимается условие пропорциональности d ю и dW:
dW = Oj-dep или dW = a¡jde¡j
(последнее выражение использовалось в школе В.В. Новожилова; a¡j — см. соотношение (1.4)).
Рассмотрим простой случай, когда длины звеньев траектории деформаций достаточно велики, так что исчерпывается "след запаздывания" для вектора ю, и следовательно, изменение угла 9 на каждом звене можно считать слабо зависящим от предыстории. Примем, что первое из уравнений (2.5) имеет вид
ю' = г(ю - ю*)(г-1)/r(Лp)-1 (2.7)
Здесь r — постоянная материала, Лр — функция, имеющая тот же смысл, что и в формуле (1.1), только в число ее аргументов входят углы, задающие лучи в пространстве Ep, ю* — кусочно-постоянная функция процесса
Ю*($) =
0, 0 < 5 < 5!
/('к) ® (%) + [1 - /(¡к)] ®к(%-0), (к = (1 - ^ 9ок)/2, % < 5 < 1
(2.8)
90к — угол излома к-го звена траектории деформаций, / — функция, подлежащая экспериментальному определению (например, из серии э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.