УДК 551.465.001.572
Вариационное усвоение данных для оптимизации граничных условий в моделях океана
К. Казанцева*, Е. Казанцев**, М. А. Толстых***-****
Описано развитие идей Г. И. Марчука в области вариационного усвоения данных для моделей океана, применяемых в том числе в совместных моделях долгосрочного прогноза погоды. Особое внимание уделено оптимизации граничных условий на твердых границах. Рассмотрены идеализированные и реалистичные конфигурации моделей. Показано, что такая оптимизация позволяет определить наиболее чувствительные операторы модели и существенно приблизить решение модели к усваиваемым данным.
Ключевые слова: вариационное усвоение данных, граничные условия, модель океана, долгосрочный прогноз погоды.
1. Введение
Мы познакомились с Гурием Ивановичем Марчуком в 1990 г., когда один из нас начал работать в Институте вычислительной математики АН СССР, другой был в нем аспирантом, а третья после защиты диссертации приехала в этот институт на стажировку. Тогда Г. И. Марчук освободился от своих обязанностей Президента АН СССР и получил возможность уделять больше внимания делам института. Нас поражало, насколько быстро Гурий Иванович мог разобраться в докладе или в отчете даже по новой для него теме.
Г. И. Марчук щедро делился своим опытом ученого и человека. Среди его рекомендаций была, например, такая: раз в несколько лет менять тему исследований. Он сам именно так и делал — спектр его научных интересов простирался от моделирования ядерных реакторов до иммунологии. Результаты изучения каждой из областей Гурий Иванович публиковал в книге. В его монографии входил только новый, нигде не публиковавшийся материал, целая книга новых идей, объяснений, выкладок.
Одна из лекций Г. И. Марчука, прочитанная в Институте Эли Картана в Нан-си, была посвящена теории оптимального управления, сопряженным операторам и теории возмущений. Гурий Иванович много работал над методами решения обратных задач, особенно сложных для нелинейных систем уравнений. В середине 1970-х годов в работах [1, 44] он сформулировал теорию возмущений для решения таких задач и 20 лет спустя рассказывал о развитии этой теории им и его учениками [2, 4].
* Университет Гренобль-Альпы, Лаборатория Жана Кунцманна, Гренобль, Франция.
** ИНРИА, Лаборатория Жана Кунцманна, Гренобль, Франция; e-mail: kazan@imag.fr.
*** Институт вычислительной математики Российской академии наук.
**** Гидрометеорологический научно-исследовательский центр Российской Федерации.
Последователи Г. И. Марчука применили теорию возмущений для инициализации атмосферных моделей путем решения проблемы оптимального сочетания данных модели и наблюдений [5, 6, 45]. Вскоре на основе работ Гурия Ивановича и его друга Ж.-Л. Лионса об оптимальном управлении [37] и французские ученые применили сопряженные уравнения для создания вариационных алгоритмов усвоения метеорологических данных и оптимизации начальных условий моделей атмосферы [31, 33].
К концу 1980-х — началу 1990-х годов множество научных коллективов, как математиков, так и геофизиков, оказались вовлеченными в разработку новых методов усвоения данных и решения обратных задач [3, 18, 38, 46, 47] и в использование этих методов в моделях океана и атмосферы [13, 36, 49, 56]. Это привело к существенному повышению достоверности прогноза погоды [23]. Во второй половине 1990-х годов практическую реализацию теории и методов усвоения данных начали оперативно использовать в Европейском центре среднесрочных прогнозов погоды (ЕЦСПП), Метеорологической службе Великобритании, Метеослужбе Франции и многих других центрах.
Для кратко- и среднесрочного численного прогноза погоды обычно применяют модели атмосферы при фиксированных температуре поверхности океана и концентрации морского льда. Для вероятностного долгосрочного прогноза погоды преобладающим подходом в мире является использование совместных моделей атмосферы, океана, морского льда и деятельного слоя суши [15]. Например, в Европейском центре среднесрочных прогнозов погоды и Метеослужбе Великобритании совместно с соответствующими моделями атмосферы применяют модель океана NEMO (http://www.nemo-ocean.eu/) [54]. Эта модель подробно описана в работе [43], она широко используется европейским сообществом, в том числе в совместных моделях, предназначенных для долгосрочного прогноза погоды.
Последние исследования показывают, что использование совместных моделей важно в среднесрочном и даже в краткосрочном прогнозе погоды в высоких широтах [50]. Это связано и с той ролью, которую играют полыньи в формировании мезомасштабных полярных циклонов. В настоящее время ведущие центры — Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды и Метеослужба Великобритании — планируют в ближайшие годы оперативную реализацию совместной модели для среднесрочного прогноза погоды.
Вследствие ограниченности числа наблюдений в океане традиционно модели океана проверяли лишь на воспроизведение неких интегральных характеристик. Использование совместных моделей атмосферы и океана для прогноза погоды диктует повышенные (по сравнению с климатическими моделями) требования к точности воспроизведения поля температуры поверхности океана, а также концентрации морского льда. Поэтому рассматриваемая в данной статье разработка системы усвоения данных наблюдений для оптимизации условий на твердых границах для моделей океана является важной задачей и для систем численного прогноза погоды, особенно в связи с развитием в России совместной модели атмосферы и океана, предназначенной для долгосрочного прогноза погоды [7].
Стоит отметить, что усвоение данных наблюдений прежде всего было направлено на оптимизацию начальных условий моделей. Как показано в работе [39], решение нелинейной модели чрезвычайно чувствительно к начальным
данным, и малая ошибка в их оценке может увеличиваться экспоненциально. Этот факт привлек внимание к изучению устойчивости решений геофизических моделей по отношению к неточностям в начальных условиях и определил основную цель усвоения данных: трех- и четырехмерный анализ полей метеорологических и океанических данных с целью согласования их с моделью и последующего использования в качестве начальных данных для модели.
Конечно, высокая чувствительность решения нелинейной модели к начальным условиям несомненна. Однако можно предположить такую же или даже большую чувствительность решения к другим параметрам модели, таким как коэффициенты диффузии, аппроксимация подстилающей поверхности, параметризации подсеточных процессов, описание приконтинентальных областей в моделях океана и другим внутренним модельным параметрам. Действительно, сильная зависимость модельных течений от граничных условий отмечена в работах [8, 57], от аппроксимации рельефа морского дна — в [17, 22, 41], от коэффициентов диффузии — в [11], от фундаментальных параметризаций типа приближения Буссинеска и гидростатики — в [40]. Чувствительность модели мелкой воды к разным параметрам анализируется в работе [30]. Теоретические и практические особенности использования сопряженных уравнений для оценки параметров геофизических моделей обсуждаются в обзоре [48], однако сравнительно небольшое число работ посвящено усвоению данных с целью уточнить или оптимизировать параметры модели, отличные от начальных условий. Можно процитировать несколько попыток применения вариационных методов для оптимизации донного рельефа [25, 42], для управления граничными условиями на открытых границах региональных моделей океана [52, 53, 55], но таких работ существенно меньше, чем работ по оптимизации начальных условий модели.
2. Усвоение данных для согласования модели и ее граничных условий
Остановимся подробнее на вариационном усвоении данных с целью согласовать модель и ее граничные условия на твердых границах. Особое внимание будет уделено ситуациям с наличием выраженных пограничных слоев, так как в этих случаях наблюдается наиболее сильная зависимость решения модели от аппроксимации граничных условий.
Оптимизацию граничных условий с помощью сопряженных уравнений уже использовали для простых систем. Так, в работах [12, 19] описано оптимальное управление условиями для линейного уравнения теплопроводности, в [34, 35] — для уравнения Бюргерса, в [32] — для нелинейного уравнения баланса. Принимая во внимание результат [35], показывающий, что аппроксимация нетривиальных граничных условий должна следовать нескольким правилам, чтобы обеспечить необходимый порядок аппроксимации и остаточный член, в [26] было предложено управлять дискретизацией в приграничных точках того дифференциального оператора, который их использует. Действительно, информация о граничных условиях поступает в модель через специфическую дискретизацию операторов вблизи границы, и, управляя этой дискретизацией, с одной стороны, можно управлять непосредственно условиями, а с другой стороны — контролировать их аппроксимацию на модельную сетку.
Предположим, что на смещенной сетке для функции и ее производной оператор производной определен при х > 0 и поставлено некое граничное условие в точке х = 0. Тогда если функция определена в целых узлах хп = пН (п — целое число), то для вычисления значения производной вблизи границы будем использовать формулу
ди Л а0 + а1и(0) + а 2и(И) (1)
дх )х=Н/2 h
Если функция определена в полуцелых узлах хп = (п - 1/2)Н, то производная будет вычисляться по формуле
ди Л а0 + аги^ /2) + а2u(3h /2) (2)
-дх ) х=0 h
Как видно, любые граничные условия, в том числе неоднородные, могут быть учтены с помощью выбора соответствующего набора коэффициентов а. Так, например, условие и(0) = А будет учтено и аппроксимировано со вторым порядком точности выбором а0 = -А, а1 = 0, а2 = 1 в формуле (1) и а0 = -2А, а1 = 2, а2 = 0 в формуле (2).
В связи с тем, что используется сетка со смещенными узлами, для решения задачи потребуется также интерполяция из целых узлов в полуцелые и наоборот. Интерполяции в приграничных узлах также должны учитывать граничные условия, поэтому их дискретизацию будем проводить аналогичным образом, с помощью построения линейных комбинаций значений функции с ко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.