М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015
УДК 532.516
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СКОРОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
© 2015 г. А. Г. ПЕТРОВ
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва e-mail: petrovipmech@gmail.com
Поступила в редакцию 12.04.2014 г.
Рассматриваются течения вязкой жидкости в области, на границе которой задаются скорость или напряжение. Показано, что решения краевых задач для уравнений Навье—Стокса и линейных уравнений Стокса с одинаковыми напряжениями на границе подчинены неравенству, которое позволяет получить строгую оценку сверху для функционалов скорости течения, возникающего под действием напряжения на границе области. Если же течение в ограниченной области вызвано касательным напряжением на границе и для больших чисел Рейнольдса справедлива теорема Бэт-челора, а также выполнено условие монотонной зависимости от числа Рейнольдса рассматриваемого функционала скорости, то для средней скорости на границе при всех числах Рейнольдса получены двухсторонние оценки.
Ключевые слова: вариационные принципы, неравенства, двухсторонние оценки, уравнения Навье—Стокса.
Вариационные принципы используются в механике сплошной среды довольно давно и описаны достаточно подробно в монографии [1]. Наиболее известны принцип Кельвина для идеальной жидкости и принцип Гельмгольца для уравнений Стокса вязкой жидкости [2, 3]. Линейные уравнения Стокса для течений вязкой жидкости с малым числом Рейнольдса аналогичны уравнениям линейной теории упругости, в которой вариационные принципы оказываются весьма полезными [4]. Вариационные методы для анализа краевых задач уравнений Навье—Стокса практически не применяются. По видимому, первая строгая оценка сверху для диссипации энергии решения уравнений Навье—Стокса с заданным касательным напряжением на граничной линии тока была получена в работе [5]. При предположении о монотонной зависимости диссипации энергии от числа Рейнольдса для нее получена оценка снизу.
Ниже приведено развитие этих результатов для более общих краевых условий.
1. Краевые задачи и функционалы. Рассмотрим течение вязкой жидкости в ограниченной области V, удовлетворяющее уравнениям Стокса
цДу = gгadp, (ИУу = 0 (1.1)
где V — векторное поле скорости, р — давление, ^ — коэффициент динамической вязкости.
Эту же систему уравнений в декартовых координатах хь х2, х3 можно записать в следующем виде
дИ = о, дШ = о, у = 1,2,3 дх1
дху
Ру = -рЬу + 2^1
ди1 + ди и дх1 дх1
(1.2)
V* • п= О
где здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
Для системы уравнений Стокса (1.1) сформулируем три краевые задачи со следующими условиями на границе д V.
Задача I. Задается скорость на границе V = V *. Для совместности с уравнением = О на V * следует наложить условие
*
ЗV
Задача II. Задается напряжение рп = Р, где компоненты вектора напряжений в жидкости на площадке с нормалью п(п1, п2, п3) определяются так (рп), = руПу.
Задача III. Задаются смешанные условия. На части границы дVl задается скорость V = V *, на второй части — напряжение р п = Р.
Для этих задач можно найти функционалы, которые на решении принимают наименьшее значение. Для задачи I функционал определяется через векторное поле скорости V так:
d(v) = \eyeydV V
Для задач II и III функционал имеет вид
I(V) = - | Р • vdS (1.3)
дV2
Пусть V' — соленоидальное векторное поле ' = О, дважды дифференцируемое по координатам х , и соответствующий ему тензор скоростей деформаций
ди+ди.
дх1 дх I
Приведем тождество, полезное для дальнейших преобразований еуеу — еУеУ = (е' — е' )(еу — е и) + 2(еи — е' )еи
(1.4)
С помощью уравнений Стокса (1.2) интеграл от второго слагаемого (1.4) преобразуется так:
Л = 21(еу - еу) eijdV = 2{
( д(у\ - и)Л дх,
еуйУ =
д(и\ - и)
дх,
< , 1 Гд((и' - и)РуКтуг
(Ру + = - I---dV
V V дх1
(1.5)
С помощью (1.4), (1.5) и теоремы Гаусса—Остроградского получаем d(v') - d(v) = |(е'ц- е,)(еу - еу^ + А
(1.6)
еу =
Д = 1 [ (и' - и)р (1.7)
ц
гЗУ
2. Вариационные принципы. Из равенств (1.6) и (1.7) вытекают следующие принципы:
Принцип 1. Функционал й(у') на соленоидальном векторном поле, удовлетворяющем краевому условию задачи I, принимает минимальное значение на ее решении.
Доказательство. Действительно, на соленоидальном векторном поле, удовлетворяющем краевому условию задачи I, из граничного условия (и! - и) |дУ = 0 ^ А = 0 и из (1.6) получаем
¿(у') - й(у) = |(4 - вуЩ - ву) йУ > 0
Равенство ^(у') = й(у) достигается, если V' тождественно равно V — решению задачи I , что и требовалось доказать.
Этот принцип доказан Гельмгольцем [2, 3].
Для задачи II теорема Гельмгольца не верна. Однако теорему можно видоизменить, если использовать функционал I (у) (1.3).
Принцип 2. Функционал I(у') на соленоидальном векторном поле, удовлетворяющем краевому условию задачи III, принимает минимальное значение на ее решении.
Доказательство. Действительно, из определения функционала (1.3) и равенств (1.6) следует
I(у') -1(у) = Ц(й(у') - й(у)) - | (у'- у) • PdS =
дУ2
( \ = ц |(ву - в у)(ву - в у)йУ + А - | (у'- у) • PdS
\У / дУ2
На части границы ЗУ разность у'- у = 0, а на второй части ЗУ> задано напряжение РуПу = р. Поэтому из (1.7) получаем
цА = | (у'- у) • Рй8 ^
дУ2
I(у') -1(у) = Ц|(ву - ву)(ву - ву)йУ > 0 (2.1)
У
Равенство достигается при тождественности скоростей деформаций в'у = ву, что и требовалось доказать.
Если отсутствует граница дУ> или дУь то задача III превращается в задачу I или II соответственно. Для задачи II этот результат тоже доказан Гельмгольцем (см. замечание на стр. 779 [2]). Доказанный здесь принцип 2 можно назвать обобщенным принципом Гельмгольца. Он оказывается справедливым для более общей смешанной задачи III.
В теории упругости и пластичности сформулированы и доказаны аналогичные принципы [4].
3. Вариационный принцип для уравнений Навье—Стокса. Пусть векторы и и у являются решениями уравнений соответственно Навье—Стокса и Стокса в области У с краевыми условиями задачи III на границе д У
цАи = gradp + р(иУ)и, Шуи = 0
цАу = gradp, divv = 0
Поле скорости u удовлетворяет всем условиям вектора v', для которого верно неравенство (2.1). Полагая в нем v' = u, получим неравенство
I(u) -1(v) > 0
Полученный результат формулируется следующим образом:
Принцип 3. Функционал I(u) на решении уравнений Навье—Стокса с одним из граничных условий задач I, II или III превосходит функционал I(v) на решении уравнений Стокса с тем же граничным условием.
4. Случай, когда граница области является поверхностью тока. Ортогональность скорости и нормали к поверхности — условие того, что граница дV представляет собой поверхность тока. Запишем эти условия для решения уравнений Стокса v и Навье— Стокса u
v • n = 0, u • n = 0 (4.1)
Пусть на одной части поверхности тока 3VJ задана касательная скорость vt, а на второй части 5V> задана касательная составляющая напряжения PT. В работе [6] рассмотрено волновое течение вязкой жидкости со свободной поверхностью 3V>, на которой PT = 0.
Ниже рассматривается течение в компактной области при v * = 0 и отличном от нуля касательном напряжении PT. Тогда для решений уравнений Стокса и Навье—Стокса следуют законы равенства диссипируемой энергии работе поверхностных сил (теорема живых сил)
2^d(v) = J P • vdS, 2^d(u) = J P • udS (4.2)
dV2 dV2
В силу отсутствия на линии тока нормальной составляющей скорости (4.1) работа поверхностных сил равна скалярному произведению касательных составляющих
P • v = Pt • vт.
При сформулированных условиях с помощью равенств (4.2) функционалы I(u) и I(v) можно выразить либо через диссипативную функцию, либо через работу поверхностных сил
I(u) = -|d(u) = - J P • udS, I(v) = -|d(v) = - J P • vdS
dV2 dV2
Применяя принцип 3, с помощью полученных равенств получаем.
Принцип 4. В области, ограниченной поверхностью тока, на одной части которой dVi скорость равна нулю, а на другой 3V> задано касательное напряжение PT, диссипи-руемая энергия для решения краевой задачи Стокса больше чем для решения задачи Навье—Стокса при тех же условиях на границе
d(u) < d(v)
Таким образом, получаем удивительный факт: при заданном касательном напряжении на границе диссипируемая энергия на решении уравнений Стокса имеет не минимум, как в принципе Гельмгольца, а максимум.
Принцип 5. В области, ограниченной поверхностью тока, на одной части которой dVi скорость равна нулю, а на другой задано касательное напряжение PT, работа поверхностных сил для решения краевой задачи Стокса больше чем для решения задачи Навье—Стокса при тех же условиях на границе
J P • udS < J P • vdS (4.3)
dV dV
Под действием касательного напряжения создается течение с характерной скоростью и0 = 1РТ/ц, по которому можно составить число Рейнольдся Яв=р и01/ ц, где I — характерный размер области течения, р — плотность жидкости. Принципы 4 и 5 можно сформулировать так:
й(и) _ зу
Р • udS
= /(Яе) (4.4)
й(у) | Р • уй8
дУ
Функция /(Яе) обладает свойствами /(0) = 1, /(Яе) < 1. Существует диапазон чисел Рейнольдса 0 < Яе < Яе0, в котором функция/(Яе) убывает. Отсюда следует, что (при одном и том же условии на границе) с увеличением числа Рейнольдса средняя скорость на поверхности уменьшается. В некоторых случаях оказывается, что функция /(Яе) убывает во всем диапазоне чисел Рейнольдса. Тогда можно получить двухсторонние оценки
| Р•udS
/И < ^ = дУ-< 1 (4.5)
й(у) | Р • уй8
дУ
Ниже применение принципов 4 и 5 и вытекающих из них неравенств (4.5) иллюстрируются на примерах.
5. Течение в прямоугольнике под действием касательного напряжения. Рассмотрим двумерное течение вязкой жидкости в прямоугольнике 0 < х < а, 0 < у < Ь. На трех сторонах прямоугольника: х = 0, х = а, у = 0 выполняется условие прилипания. На четвертой стороне у = Ь действует постоянное касательное напряжение т. Оно вызывает течение, которое нужно изучить. Такая задача возникает для описания течения в водоеме под действием ветра.
Для распределения скорости вязкой жидкости и(х), х е (0, а) на поверхности у = Ь определим среднюю скорость
а
1
и = _ | и(х)йх
а
0
Введем в рассмо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.