ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2008, том 34, № 1, с. 3-19
ТОКАМАКИ
УДК 533.9
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРОФИЛЕЙ
© 2008 г. Ю. Н. Днестровский, А. Ю. Днестровский, А. В. Данилов, С. Е. Лысенко, С. В. Черкасов
РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза, Москва, Россия
Поступила в редакцию 23.11.2006 г. Окончательный вариант получен 22.05.2007 г.
Предложена непротиворечивая формулировка вариационной задачи для канонического профиля, уточняющая задачу, поставленную Б.Б. Кадомцевым для круглого плазменного цилиндра. Результаты распространяются на тороидальную плазму с произвольным сечением. Для этой задачи предложены граничные условия, позволяющие выделить решение "типа Кадомцева" (канонический профиль) среди решений уравнения Эйлера. Построены канонические профили для Ь- и Я-мод. С помощью численных методов показано, что для ряда интересных примеров вторая вариация функционала магнитной энергии положительна. Кратко описана транспортная модель и связь между каноническими, расчетными и экспериментальными профилями в токамаках.
PACS: 52.55.Fa, 52.25.Fi, 52.55.Dy
1. ВВЕДЕНИЕ
Работа Б.Б. Кадомцева о самоорганизации плазмы [1] давно уже стала классической. Однако в ней имеются некоторые недоговоренности, оставляющие у читателя чувство смущения. Рассматривается задача о минимуме функционала полной энергии для цилиндрической плазмы круглого сечения с условием сохранения тока плазмы
= 2п J j rdr = const.
(1)
Недоговоренность заключается в отсутствии четкого определения величины у. Если это локальная плотность тока, то она должна быть связана с полоидальным магнитным полем Бе и функцией ц ~ Бе/г соотношением
у ~ 1/г й/йт(т2ц) = 2ц + тйц/йт. (2)
Однако при вычислении вариации функционала автор [1] вынужден предположить, что
У = у(ц) (3)
(т.е. у не зависит от производной йц/йт), так как, если (2) справедливо, то вариация интеграла (1) равна нулю, и этот интеграл не дает вклада в уравнение Эйлера.
В настоящей работе предлагается один из возможных путей снятия описанного противоречия. Мы показываем, что вместо плотности тока у в (1) в подынтегральном выражении следует использовать такую функцию г(ц), которая близка к плотности тока у, но совпадает с ней лишь на экс-
тремали, т.е. на решении уравнения Эйлера. Такой подход позволяет непротиворечиво сформулировать вариационную задачу. Для Я-моды в цилиндрической плазме с круглым сечением функция г (ц) может быть выписана в явном виде: г (ц) = ц2. Однако уже для Ь-моды в цилиндре и для Ь- и Я-мод в тороидальной плазме эта функция в явном виде не выражается. В настоящей работе показано, что функция г (ц) может быть построена через решения уравнения Эйлера. Само уравнение Эйлера легко обобщается с цилиндрического случая на тороидальный с помощью усреднения по магнитной поверхности локальной плотности тока и локального значения полои-дального магнитного поля. Для такого обобщения не требуется информация о виде функции г (ц). Специфика задач для Ь- и Я-мод отражается в постановке граничных условий. В работе предлагаются граничные условия для канонического профиля Я-моды (с пьедесталом тока и давления на краю плазмы) и Ь-моды (без пьедестала). Зная решение уравнения Эйлера с поставленными граничными условиями, можно найти функцию г (ц) и форму сохраняющегося интеграла (1). Тем самым можно восстановить вариационную задачу, эквивалентную поставленной краевой задаче. Сами канонические профили для Ь- и Я-мод могут быть использованы для сравнения с профилями экспериментальных параметров (давления, температуры и плотности) [2].
Канонические профили Ь-моды и Я-моды соответствуют состояниям плазмы с неполной и полной релаксацией [1]. Эта интерпретация позволяет использовать канонический профиль Я-моды для определения критических градиентов
a
0
температуры и давления в транспортных уравнениях [3-5].
Таким образом, в качестве новых результатов работа содержит непротиворечивую постановку вариационной задачи для цилиндрической плазмы с круглым сечением и для тороидальной плазмы с произвольным сечением. Новыми являются также результаты по постановке задачи для ¿-моды в круге и постановка граничных условий для Ь- и Я-мод в тороидальной плазме с произвольным сечением. Впервые проведена оценка второй вариации функционала для плазмы с произвольным сечением. Проведено сравнение с результатами работы [1] по каноническим профилям для Ь-моды.
Настоящая работа организована следующим образом. В разд. 2 мы пересматриваем вариационную задачу для круглого плазменного цилиндра и строим уравнение Эйлера в алгебраической и дифференциальной форме. Это позволяет найти канонические профили для Ь- и Я-мод, изменяя лишь граничные условия. Включенные в этот раздел Замечания разъясняют смысл рассматриваемой вариационной задачи. В разд. 3 этот метод обобщается на тороидальную плазму с произвольным сечением. Численно показано, что для ряда интересных примеров вторая вариация функционала магнитной энергии положительна. Раздел 4 посвящен сравнению вариационного принципа, используемого в настоящей работе, с другими вариационными подходами [6-7]. В разд. 5 обсуждаются основные приложения теории канонических профилей. Результаты работы суммируются в разд. 6. В Приложении сравниваются постановки задач для канонических профилей Ь-мо-ды в цилиндрической плазме с круглым сечением, описанных в разд. 2 и в [1].
Рассмотрим следующую постановку вариационной задачи для круглого плазменного цилиндра. Пусть Бе = Be(r) - множество достаточно гладких функций (функций сравнения), обращающихся в нуль в точке r = 0 (это функции, описывающие полоидальное магнитное поле). Параллельно рассмотрим также безразмерные функции сравнения ц = ц(г) = RBe/B0r, где R - большой радиус эквивалентного тора, Б0 - тороидальное магнитное поле в центре камеры.
Рассмотрим задачу о минимуме функционала магнитной энергии
a а
F1 = (1/8 п) J Be rdr ~ (l/8n)(B0/R) W, W = J^ r3dr (4) 0 0 при дополнительных интегральных условиях
a
J1 = J^2 rdr = const, (5)
; = J^ rdr =
const
(6)
и граничных условиях
ц(0) = Ц ~ 1, Цс(а) = Ца = 0.21рК/а2В0 (0 < ц < ц,). (7)
Здесь 1р - ток плазмы, а - малый радиус плазмы. Для упрощения формул в дальнейшем мы опустим множитель, стоящий в (4) перед W.
Смысл последнего из граничных условий (7) следующий. В силу (2), интеграл
I = J jrdr ~ а2ц = 0.2IpR/Bo,
(8)
2. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ С КРУГЛЫМ СЕЧЕНИЕМ
2.1. Канонические профили для Н-моды
В работе [1] был рассмотрен функционал полной энергии, включающий магнитную энергию тока и тепловую энергию плазмы. Однако в ходе решения задачи пришлось сделать дополнительные предположения о связи профиля давления плазмы с профилем тока и таким способом исключить давление из уравнения Эйлера. По-видимому, проще было бы рассмотреть функционал энергии одного лишь полоидального магнитного поля плазмы и получить уравнение Эйлера, не содержащее членов с давлением, а потом сделать дополнительные предположения относительно связи профилей давления и тока. Такое предположение могло бы быть проверено сравнением с экспериментом. Мы так и поступим.
пропорциональный току плазмы I , одинаков для всех функций сравнения. Поэтому сохранение полного тока является следствием граничных условий. Смысл условий (5)-(6) будет обсуждаться ниже. Задача (4)-(7) эквивалентна задаче на безусловный минимум функционала
F = J(^2 r2 + Хц2 + C^rdr,
0
где Х и C - параметры Лагранжа. Найдем вариацию функционала (9)
a
5F = 2 J5ц (цг2 + Хц + C/2)rdr
(9)
(10)
и потребуем, чтобы она обращалась в нуль. Тогда получим уравнение Эйлера
цг2 + хц + С/2 = 0. (11)
0
a
J
0
a
0
a
0
Решение уравнения Эйлера будем обозначать нижним индексом "с". Из (11) получаем
|с = С2/( г2 + X) = (С2/Х)/( г2/Х +1) =
2 , 2
(12)
= ц0/(1 + г /а,), С2 = -С/2.
/1 = ^ гйг = ЦоЦаа2/2,
(15)
/2 = ||!с гйг = Цо( а2 /2)1и(Цо/Ца). (16)
0
Смысл условия (6) можно понять, если ввести обычным образом полоидальный поток у: Бе ~ ~ г| = йу/йг. Условие (6) требует сохранения разности у(а) - у(0), что эквивалентно сохранению потока для всех функций сравнения.
Вторая вариация функционала (9)
Граничные условия (7) определяют постоянные С2 и X
X = а] = а2/(|0/|а - 1) > 0, С2/Х = |0 > 0. (13)
Решение (12)-(13) мы будем называть решением Кадомцева (каноническим профилем). Это решение обладает замечательным свойством
1С = 1/гй/йг(г2|с) = (2Х/С) I = (2/|0) I. (14) Таким образом, для канонического профиля плотность тока 1С пропорциональна |. Это свойство оправдывает выбор первого дополнительного условия в форме (5). Сравнивая дополнительное условие Кадомцева (1) с условием (5), мы можем сказать, что вместо плотности тока ] в интеграле (1) используем такую функцию | (в данном случае |2), которая близка к], но совпадает с ней только на экстремали функционала (9). Заметим, что плотность тока (14) не равна нулю на границе плазмы, но имеет пьедестал. Поэтому канонические профили (12), (14) естественно называть "каноническими профилями для Я-моды".
Поставленная вариационная задача является сильно вырожденной в том смысле, что ни функционал (4), ни дополнительные условия (5)-(6) не зависят от производной й|/йг = В результате уравнение Эйлера (11) оказывается алгебраическим, а не дифференциальным уравнением второго порядка, как это получается в невырожденном случае. Решение уравнения Эйлера содержит только два неопределенных параметра X и С, а условий у нас четыре: граничные условия (7) и условия (5)-(6). Для того чтобы поставленная вариационная задача была разрешима, нужно чтобы условия (5)-(6) были согласованы с граничными условиями (7). Такие условия совместности получим, если найденное решение (12) подставим в условия (5)-(6):
52^ = 21(5|)2 (г2 + Х)гйг
(17)
положительна, в силу (13). Таким образом, решение (12) уравнения Эйлера (11) реализует минимум функционала (9).
Уравнение Эйлера (11) можно переписать в виде
2|г2 + Хй|2/й| + С = 0 (18)
или
2|г2 + Х(й|2/йг)/(й|/йг) + С = 0.
(19)
Для того чтобы можно было перейти от (18) к (19), нужно к ограничениям (5)-(7) добавить еще условие монотонност
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.