ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2012, том 48, № 6, с. 674-681
УДК 551.511.61:532.529.2:536.24
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД БОЛЬЦМАНА-ДЖЕЙНИСА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИКОВ ПО ТЕМПЕРАТУРАМ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПРИЗЕМНОМ КОНВЕКТИВНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ
© 2012 г. А. Н. Вульфсон, О. О. Бородин
Институт проблем нефти и газа РАН 117701 Москва, ГСП 1, ул. Губкина, 3 E-mails: vulfson@ipng.ru, borodin@ipng.ru Поступила в редакцию 15.06.2011 г., после доработки 08.08.2011 г.
В исследовании рассмотрен статистический механизм формирования функций распределения тер-миков по пульсациям температуры. В рамках предложенного подхода, использующего вариационный метод Больцмана—Джейниса, статистический ансамбль конвективных термиков характеризуется классом стационарных плотностей распределения, зависящих от пульсаций температуры. При этом предполагается, что плотности вероятности функций этого класса могут зависеть как от потенциальной энергии, так и от доступной потенциальной энергии. На классе стационарных функций распределения задается функционал энтропии, представляющий аналог известной Н — энтропии Больцмана. Равновесные распределения термиков по пульсациям температуры соответствуют наиболее вероятным распределениям, реализующим максимум функционала энтропии. Построенные вариационным методом экспоненциальное и нормальное распределения термиков по пульсациям температуры вполне приемлемо аппроксимируют как данные натурных атмосферных наблюдений, так и результаты лабораторного моделирования.
Ключевые слова: конвективный ансамбль, термики, энтропия Больцмана—Джейниса, пульсации температуры.
Качественные представления о тонкой структуре турбулентного конвективного слоя атмосферы были впервые приведены в работе [1]. Согласно теории Скорера—Лудлама, в конвективно-неустойчивом слое атмосферы формируется неупорядоченная система турбулентных изолированных вихрей (термиков), характерные размеры которых изменяются от нескольких десятков до нескольких сотен метров. При этом движение термиков обусловлено действием силы плавучести и носит хаотический характер.
Температура атмосферных термиков несколько выше, чем температура окружения, поэтому конвективные элементы достаточно хорошо идентифицируются лидарами [2] и акустическими содарами [3]. Наглядные представления о системе атмосферных термиков можно получить на основе лабораторного моделирования, выполненного при высоких числах Релея. Результаты экспериментов [4], представленные на рис. 1, отчетливо демонстрируют хаотический характер движения термиков.
Следствием хаотического движения ансамбля термиков является формирование случайных пространственных полей пульсаций температуры. Специальная обработка случайных полей
позволяет построить на каждой фиксированной высоте эмпирические функции распределения термиков по пульсациям температуры. Этот подход был впервые реализован в исследовании [5] (см. также [6]).
Для описания экспериментальных распределений применяют различные аппроксимирующие функции. При этом основные контуры распределений можно задать, используя простейшие формы аппроксимации. Так в [7, 8] принималась экспоненциальная аппроксимация, в [9, 10] рассматривалась аппроксимация Гаусса. Существенно, что любая из допустимых аппроксимаций не объясняет механизм формирования наблюдаемых распределений.
В настоящем исследовании предложен статистический подход, объясняющий механизм формирования реальных функций распределения термиков по пульсациям температуры. В рамках этого подхода, использующего вариационный метод Больцмана—Джейниса [11, 12], статистический ансамбль конвективных термиков характеризуется классом стационарных плотностей распределения температуры. При этом плотности вероятности функций этого класса могут зависеть как от потенциальной энергии, так и от доступ-
Рис. 1. Ансамбль термиков под слоем воды, поднимающихся над нагретой однородной горизонтальной поверхностью.
ной потенциальной энергии. На классе стационарных функций распределения задается функционал энтропии, представляющий аналог известной Н — энтропии Больцмана. Равновесные распределения термиков по пульсациям температуры соответствуют наиболее вероятным распределениям, реализующим максимум функционала энтропии.
Построенные вариационным методом экспоненциальное и нормальное распределения тер-миков по пульсациям температуры вполне приемлемо аппроксимируют как данные натурных атмосферных наблюдений [7, 9, 10, 13], так и результаты лабораторного моделирования [14].
Существенно, что предложенный универсальный вариационный подход может быть использован для построения равновесных распределений по пульсациям плавучести в конвективных статистических системах произвольных турбулентных сплошных сред. В частности, при описании ансамбля всплывающих термиков в атмосферах других планет, системы опускающихся конвективных элементов поверхностного слоя океана и пресных озер, а также совокупности конвективных плюмов мантии Земли.
АНСАМБЛЬ КОНВЕКТИВНЫХ СТРУКТУР
Введем декартову систему координат х, у, z, расположенную на подстилающей поверхности так, что ось z противоположна ускорению силы тяжести g.
Пусть 0 = © (г) — фоновая потенциальная температура, Ш = й 1п 0 (г )/йг < 0 — параметр
стратификации, отрицательный в неустойчивых слоях атмосферы, выбранный так, что величина g |Г (г)| соответствует квадрату частоты Брента—
Вяйсяля. Допустим, что © — локальное значение
потенциальной температуры ©' = (0-0)/0 —
1
пульсация потенциальной температуры . При этом параметр ©' зависит от пространственных координат и времени.
Опираясь на технику измерения метеопараметров, рассмотрим горизонтальную прямую а, направляющий вектор которой не зависит от направления ветра. Допустим, что za — высота, характеризующая горизонтальное расположение прямой а над подстилающей поверхностью.
Самолет с метеоприборами на борту, летящий вдоль прямой а, фиксирует поле пульсации температуры ©' (см. рис. 2а). Усреднение по траектории положительных значений пульсации температуры ©' приводит к формированию ступенчатых профилей температуры 0' (см. рис. 2б), соответствующих ансамблю конвективных термиков.
Допустим, что 9 = 0 '/ 0 — безразмерная пульсация потенциальной температуры термика, N — общее число всплывающих конвективных терми-
9 л
ков на единице длины прямой а, Nай0 — число конвективных элементов на единице длины прямой а, пульсации, температуры которых заключены в диапазоне от 9 до 9 + й 9. Пусть в (§) — произвольная функция микропараметра 0, (б) — статистическое среднее этой величины, тогда
да да
Na = <8> = N. |е0. (1)
^ ' а
1 В атмосфере влажного воздуха величина ©' соответствует возмущениям виртуальной потенциальной температуры, включающей влажность. В пресной воде под величиной ©' следует понимать пульсацию плотности.
676
3 2 1 0 -1 -2
3 2 1
ВУЛЬФСОН, (а)
(б)
Е (И = ^.
(2)
БОРОДИН
только от одного "микроскопического" параметра е так, что
Ее = Ее (в), 8 = 8(0) . В соответствии с (3) получим
да
|Ее (е)й0 = 1,
0
да
|еЕе (е) й0 = (б) ,
(4)
(5)
(6)
0
Рис. 2. Реальное и схематическое изображение профиля пульсации температуры вдоль горизонтальной прямой, соответствующей траектории полета самолета в конвективном приземном слое: а — измеренный профиль пульсации температуры ©' изображен непрерывной линией; б — шляпообразный профиль ©', построенный по реальным измерениям, изображен кусочно-постоянной линией.
Введем метрическое фазовое пространство
Больцмана 0 <0 < да. На фазовом пространстве Больцмана определим плотность вероятности
Fв (0) так, что величина Fв (5) й0 характеризует вероятность появления термика в элементарном
фазовом объеме й 0. В соответствии со статистическим определением вероятности, получим
где (б) — заданная функция переменной г.
Класс произвольных положительных гладких функций Ее (б) , удовлетворяющих условиям (4)—(6) с фиксированным параметром (б) характеризует статистический ансамбль Больцмана конвективных термиков. На этом классе введем обобщенный функционал Больцмана—Шеннона полагая, что
S
(Ее ) = -/■
= - Е 1п Ей0.
(7)
В соответствии с вариационным методом Больц-мана—Джейниса [11, 12] будем вычислять равновесную плотность распределения ЕЕо исходя из условия максимума функционала энтропии (7) при наличии ограничений (5), (6). Условный максимум функционала энтропии £ ( Ее ) вычисляется в соответствии с теорией вариационного исчисления [15].
Используя соотношения (5)—(7), построим функционал Лагранжа Ь ( Ее ) полагая, что
Подстановка статистического определения вероятности (2) в (1) приводит к следующим соотношениям
¡Ев (0)й0 = 1, |е (0)Ее (0)й0 = (е>. (3)
о о
Равенства (3) выражают условие нормировки и значения статистического среднего параметра е.
ЭНТРОПИЯ БОЛЬЦМАНА—ШЕННОНА И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим специальный класс распределений, плотности вероятности которых Ее зависят
Ь (Е) = ¡О (ЕЕ,б)й0,
(8)
О (Ее, б) = - [Ее (б) 1п Ее (б) + СоЕв (б) + С1бЕе (б)].
Здесь О ( Ее, б) — функция параметра 0, с0 и с1 — неопределенные множители Лагранжа.
Первая и вторая вариации функционала Лагранжа 8Е и 82Е имеют вид
5Ь = [— 5ЕЕй0 =
J 5Ее е
о Е
да
= - ¡{1п Ее (б) +1 + с0 + с1б} 5ЕЕй 0,
о
Но
>дЕ:
(9)
§2Ь = 0 )2 й0 = - Ы^Е )2 й 0, (10)
(е)
о
о
где 8Ее, 52Ее — первая и вторая вариации функции Ее.
0
1
о
0
1
да
о
ээ
о
да
Согласно известной теореме Эйлера [15], функция Г® (е), обеспечивающая условный максимум функционала энтропии £ (), реализует также максимум функционала Лагранжа Ь (Д).
Достаточные условия максимума функционала Лагранжа Ь (Д) имеют вариационную форму ЪЬ = 0 и Ъ2Ь < 0. С учетом (9), (10) эти условия примут вид
^ = 1п Ге (е) + 1 + с0 + С1е = 0,
дг,
д 20
1
(11)
< 0.
№2 (е) Следовательно, условный максимум функционала энтропии £ (Ве) достигается на функции Г®, где
1п Г? (е) = - (1 + со) - С1е.
(12)
При этом неизвестные параметры с0 и с1 определяются из интегральных условий (5), (6). Таким образом, абстрактное распределение Больцмана по параметру е примет вид
(е) = ^ в
гР
|е (6>й0.
, <е>=^ \
(13)
ее ®й0.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.